精品解析：河南省洛阳市强基联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试卷

洛阳强基联盟高一10月联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集运算的概念直接求解即可. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式，可得答案. 【详解】，或. 故选：. 3. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】，故其真子集的个数为. 故选：. 4. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，结合不等式性质逐项分析判断. 【详解】因为，所以， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：取，，则，，即，故C错误； 对于选项D：因为，，所以，故D正确. 故选：C. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，所以“”不能得出“”； 若，则，所以“”不能得出“”. 综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知不等式的解集求出，再求解不等式. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以1是方程的解，所以，解得， 所以不等式可化为， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 7. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得，故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故选：C 8. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据元素与集合关系，集合与集合的关系即可判断. 【详解】，故A正确； 由于空集是任何非空集合的真子集，是单元素非空集合，故B正确； 是两个元素的实数集，是一个元素的点集， 元素类型都不相同，因此不具有包含关系，故C错误； ，这两个集合中的元素分别是，， 显然这两个点不是同一个点，于是两个集合不相等，故D错误. 故选：AB 10. 对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解含参一元二次不等式即可求得结果. 【详解】因为， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式变为， 方程的根为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当且时，不等式的解集为或， 综上所述，当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当且时，不等式的解集为或， 故选：BD. 11. 已知实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为6 C. 的最大值为4 D. 的最大值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断ACD，利用不等式的性质判断B． 【详解】因为，当且仅当，即，或，时等号成立，故A错误； 因为，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 因为，当且仅当或时等号成立，故C正确； 因为，当且仅当，或，时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词求解即可. 【详解】命题的否定为. 故答案为：. 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得①或②，再求出参数的值，从而得解，需代入检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】因为，所以①或②， 由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，故符合题意，此时； 由②得符合题意，此时； 综上，的值为. 故答案为： 14. 已知，，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由是的必要不充分条件可得对应的集合是对应的集合的非空真子集，再根据集合的包含关系列式即可求解. 【详解】等价于关于的方程有实数根， 当时，方程无解，不符合题意； 当时，，解得或. 因为是的必要不充分条件，所以或真包含于或， 则解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合和，再根据交集的定义即可求解； （2）先求出的补集，再根据并集的定义即可求解. 【小问1详解】 因为， ， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以或， 所以或. 16. 已知集合，. （1）若AB，求实数的取值范围； （2）若集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出集合B，根据AB，列出不等式，即可得答案. （2）由（1）可得，集合中含有整数元素-1，0，1，根据题意，可得满足要求的元素为0，1，列出不等式，即可得答案. 【小问1详解】 由， 因为AB，且， 所以或， 解得或， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知，，则集合中含有整数元素-1，0，1， 由集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知，元素为0，1， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 17. 为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 【答案】（1） （2）小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求 【解析】 【分析】（1）由题意，根据矩形的面积公式，建立方程，整理为函数，可得答案； （2）利用基本不等式，整理为关于的不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以，又，所以， 所以. 【小问2详解】 法一：由，得， 解得，或（舍去），所以， 当且仅当时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 18. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围， （2）若存在两个实数，且，使得或，求实数的取值范围； （3）李华说集合中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由. 【答案】（1） （2） （3）李华的说法不正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，结合二次函数的性质可得答案； （2）由一元二次不等式的解集结合一元二次方程根的分布可得答案； （3）集合中可能仅有一个整数，结合二次函数的性质可得，解不等式可得答案. 【小问1详解】 不等式，其解集. ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则， 解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为不等式的解集为或， 且，所以关于的方程有一正一负两个实数根. 可得即， 解得， 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 李华的说法不正确，理由如下： 若解集中仅有一个整数，则有， 二次函数，开口向下，对称轴为， 因为不等式的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1. 则， 解得.即中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳强基联盟高一10月联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. ，或 3. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 14 D. 15 4. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 7. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ） A. B. C. 或 D. 11. 已知实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为6 C. 的最大值为4 D. 的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定为__________. 13. 若，则__________. 14. 已知，，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）. 16. 已知集合，. （1）若AB，求实数的取值范围； （2）若集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数的取值范围. 17. 为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 18. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围， （2）若存在两个实数，且，使得或，求实数的取值范围； （3）李华说集合中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $