第10讲 立方根（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第10讲 立方根（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.立方根及开立方 2.立方根的事实 题型巩固 一、立方根概念理解 二、求一个数的立方根 三、已知一个数的立方根，求这个数 四、立方根的实际应用 五、与立方根有关的规律探索 六、算术平方根和立方根的综合应用 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.立方根及开立方 名称 内容 立方根 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根。 立方根的表示 的立方根，记作，其中 是被 开方数，3是根指数，符号“ ” 读作“三次根号”。____ 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 说明：（1） 中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角； （2）开立方与立方是互逆的运算，所以可以运用立方运算求一个数的立方根； （3）开立方时，被开方数可以是任意实数，且立方根的符号与被开方数的符号相同。 知识点2.立方根的事实 1.立方根的事实：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 2.平方根与立方根的区别与联系 名称 关系 平方根 立方根 区别 被开方数的取值范围不同 在中，≥0 。 在中， 为任意实数。 特征不同 正数有两个平方根，它们互为相反数。 只有非负数才有平方根。 正数的立方根是正数。 负数也有立方根。 负数没有平方根。 负数的立方根是负数。 表示不同 联系 零的平方根和立方根都是零。 题型巩固 题型一、立方根概念理解 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）立方根是它本身的数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】立方根概念理解 【分析】根据立方根的定义即可解答．本题考查了立方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：立方根是它本身的数有，所以有3个， 故选：D． 2．若，则 ． 【答案】或或 【知识点】立方根概念理解 【分析】根据立方根定义计算即可． 【详解】解：由，得， 或或， 或 或， 经检验：或 或 符合题意． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 题型二、求一个数的立方根 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的定义及性质，由，通过立方根的定义及性质求出满足条件的最小正整数即可，掌握知识的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数是， 故选：． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了对立方根定义的应用，主要考查学生的计算能力． （1）根据立方根定义求出即可； （2）根据立方根定义求出即可； （3）根据立方根定义求出即可． 【详解】（1）6； （2）； （3）． 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 7．若，则与的关系是　　 A． B．与相等 C．与互为相反数 D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题． 【详解】解：， ， 与的关系是互为相反数（或，或． 故选：C． 【点睛】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步． 8．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 9．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）已知既是的一个平方根，又是的立方根，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出的值，再求出的值，然后求出它的平方根即可． 【详解】解：∵既是的一个平方根，又是的立方根， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为：． 【点睛】解：本题考查平方根和立方根．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 题型四、立方根的实际应用 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义； 首先设这个储水池的棱长为，根据题意可得， 然后根据立方根的定义计算出的值即可． 【详解】解：设这个储水池的棱长为， 这个储水池是正方体，且容积为， ， ， 即该容器的棱长是， 故选：C． 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长为 厘米． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据题意，虽然形状发生了变化，但是其体积仍然是没有变化的，以此计算即可． 【详解】解：由题意得长方体体积为：（立方厘米） 所以立方体棱长（厘米） 故答案为：． 12．（22-23七年级上·浙江温州·期中）图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27 (1)求出这个魔方的棱长． (2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【答案】(1)3 (2)5； 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长； （2）根据魔方的棱长为3，所以小立方体的棱长为1，阴影部分由大正方形的面积减去四个三角形的面积即可；开平方即可求出边长． 【详解】（1）解： ∴这个魔方的棱长是3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴小立方体的棱长为1， ∴ ∴阴影部分的边长是 【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 题型五、与立方根有关的规律探索 13．已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 14．已知，，，，，则 ， ． 【答案】 1.285 2.342 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值． 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 15．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【知识点】乘方的应用、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 题型六、算术平方根和立方根的综合应用 16．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 17．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题重点考查​算术平方根和立方根的概念与计算​，​准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键​． 根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可​． 【详解】∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴． 故答案为：． 18．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 强化训练 一、单选题 1．如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据立方根的定义化简，再判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握． 2．下列关于读法正确的是（   ） A．负的三次方根负3 B．负的负3的立方根 C．负3的立方根的相反数 D．负的3的相反数的立方根 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键． 【详解】解：读作负3的立方根的相反数， 故选：C． 3．是的平方根，是64的立方根，则＝（　   ） A．3 B．7 C．3，7 D．1，7 【答案】D 【分析】根据平方根和立方根的性质求解即可； 【详解】∵是的平方根，y是64的立方根， ∴＝±3，＝4则＝3＋4＝7或＝－3＋4＝1； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，准确计算是解题的关键． 4．一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是（    ） A．1 B．0 C．1或0 D．1或0或－1 【答案】B 【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是0． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键． 5．的算术平方根是（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】D 【分析】首先求解，再求解其对应的算术平方根． 【详解】解：，4的算术平方根为2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查开立方和算术平方根的定义，难点是准确理解题意和识别各自算式． 6．下列说法是8的立方根；是64的立方根；是的立方根；的立方根是，其中正确的说法有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据立方根的概念即可求出答案． 【详解】①2是8的立方根，故①正确； ②4是64的立方根，故②错误； ③是的立方根，故③正确； ④由于（﹣4）3＝﹣64，所以﹣64的立方根是﹣4，故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了立方根的概念，解题的关键是正确理解立方根的概念，本题属于基础题型． 7．若，则x和y的关系是(　　)． A．x＝y＝0 B．x和y互为相反数 C．x和y相等 D．不能确定 【答案】B 【详解】分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可． 详解： ∵, ∴, ∴x=-y， 即x、y互为相反数， 故选B． 点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y． 8．下列说法中，正确的是(　　　) A．等于15 B．-11的立方根可表示为 C．负数没有立方根 D．任何一个正数都有两个立方根，它们互为相反数 【答案】B 【分析】根据立方根的定义与性质解题即可． 【详解】A.因为2＜＜3，所以不等于15，故选项A是错误的； B、-11的立方根可表示为，故本选项正确； C、负数有立方根，如-8的立方根是-2，故本选项错误； D、正数、零、负数都有唯一一个立方根，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根的定义与性质，解题的关键是牢记定义和性质，此题比较简单，易于掌握． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若的立方根是，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，再根据平方根的定义求 【详解】解：由题可知， 解得：， 10， 的平方根为， 故答案为：． 11．1.若是4的平方根，则 ；若是的立方根，则 ． 【答案】 1或 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义．根据平方根定义得出，根据立方根定义求出，然后求出x、y的值即可． 【详解】解：∵4的平方根是， ∴， ∴或， ∵的立方根是， ∴， ∴． 故答案为：1或；． 12．(规律探究题)若≈1.442，≈3.107，则≈ ，≈ ． 【答案】 0.3107 0.1442 【分析】根据被开方数的小数点每移动三位，其立方根的小数点就相应的移动一位得出即可． 【详解】解：∵≈3.107， ∴≈0.3107； ∵≈1.442， ∴≈0.1442， 故答案为：0.31.7；0.1442 【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，能找出移动规律是解此题的关键． 13．已知的算术平方根是3，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根定义得出4a+1＝9，求出a＝2，求出a﹣10的值，再根据立方根定义求出即可． 【详解】∵4a+1的算术平方根是3，∴4a+1＝9，∴a＝2，∴a﹣10=－8，－8的立方根是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解答此题的关键是能关键题意求出a的值，难度适中． 三、解答题 14．已知，求的立方根. 【答案】-7 【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性可求出a及b的值，进而可得出答案． 【详解】解:由题意，得，， 所以，， 解得，. 因此. 故的立方根为． 故答案为-7. 【点睛】本题考查绝对值及算术平方根的非负性，以及立方根的定义，属于基础题，计算出a与b的值是关键． 15．已知的算术平方根是2，的立方根是，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出，的值，求出，再求它的平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是2，的立方根是， ，， ，， ， 的平方根为． 答：的平方根为． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解． 16．已知m+n与m－n分别是9的两个平方根，m+n－p的立方根是1，求n+p的值． 【答案】当n=3，p=2时，n+p=5；当n=－3，p=－4时，n+p=－7． 【分析】根据平方根与立方根的性质即可求出m、n、p的值 【详解】由题意可知：m+n+m－n=0，（m+n）2=9，m+n－p=1， ∴m=0， ∴n2=9， ∴n=±3， ∴0+3－p=1或0－3－p=1， ∴p=2或p=－4， 当n=3，p=2时，n+p=3+2=5， 当n=－3，p=－4时，n+p=－3－4=－7． 【点睛】本题考查平方根与立方根的性质，解题的关键是根据平方根与立方根的性质列出方程，然后求出m、n、p的值即可． 17．已知的平方根是，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的意义，求出a，b的值； （2）利用算术平方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：因为的平方根是，的立方根是， 所以，，， 解得，，． （2）解：因为， 所以的算术平方根是． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的运算，解题关键是明确平方根和立方根的意义，利用它们求解． 18．解答下列各题： （1）已知，求a的值； （2）若与互为相反数，求的值. 【答案】（1）0或或；（2） 【分析】（1）直接利用立方根的性质分析得出答案； （2）利用相反数、立方根的性质求出b的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）立方根等于它本身的数有0，1，. 当时，，则； 当时，，则； 当时，则. 所以a的值为0或或. （2）因为与互为相反数. 所以，所以. 所以. 【点睛】本题考查相反数，立方根和算术平方根的性质，要掌握一些特殊数字的特殊性质，如1，-1和0． 19．根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，c是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算、估算． （1）运用平方根和立方根知识进行计算、求解； （2）运用非负数和算术平方根的知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得，； （2）解：， ，， 解得，， ，， 的整数部分是2，的整数部分是2， 的小数部分是， 即，， ． 20．某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可； （）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根等于它本身， ∴或或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的立方根是或或． 21．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 22．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】(1)两，，， (2)26 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方． （1）根据题中所给的过程方法，即可解答； （2）先求出的立方根是两位数，然后根据示例分别求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是9 ∵ ∴ ∴的十位数是3 ∴． 故答案为：两，，，； （2）∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵只有个位数是的立方数的个位数依然是 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是2 ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 立方根（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.立方根及开立方 2.立方根的事实 题型巩固 一、立方根概念理解 二、求一个数的立方根 三、已知一个数的立方根，求这个数 四、立方根的实际应用 五、与立方根有关的规律探索 六、算术平方根和立方根的综合应用 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.立方根及开立方 名称 内容 立方根 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根。 立方根的表示 的立方根，记作，其中 是被 开方数，3是根指数，符号“ ” 读作“三次根号”。____ 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 说明：（1） 中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角； （2）开立方与立方是互逆的运算，所以可以运用立方运算求一个数的立方根； （3）开立方时，被开方数可以是任意实数，且立方根的符号与被开方数的符号相同。 知识点2.立方根的事实 1.立方根的事实：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 2.平方根与立方根的区别与联系 名称 关系 平方根 立方根 区别 被开方数的取值范围不同 在中，≥0 。 在中， 为任意实数。 特征不同 正数有两个平方根，它们互为相反数。 只有非负数才有平方根。 正数的立方根是正数。 负数也有立方根。 负数没有平方根。 负数的立方根是负数。 表示不同 联系 零的平方根和立方根都是零。 题型巩固 题型一、立方根概念理解 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）立方根是它本身的数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．若，则 ． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型二、求一个数的立方根 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，则 ． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 7．若，则与的关系是　　 A． B．与相等 C．与互为相反数 D． 8．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则 ． 9．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）已知既是的一个平方根，又是的立方根，求的平方根． 题型四、立方根的实际应用 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长为 厘米． 12．（22-23七年级上·浙江温州·期中）图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27 (1)求出这个魔方的棱长． (2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 题型五、与立方根有关的规律探索 13．已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 14．已知，，，，，则 ， ． 15．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 题型六、算术平方根和立方根的综合应用 16．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 17．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 18．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 强化训练 一、单选题 1．如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．下列关于读法正确的是（   ） A．负的三次方根负3 B．负的负3的立方根 C．负3的立方根的相反数 D．负的3的相反数的立方根 3．是的平方根，是64的立方根，则＝（　   ） A．3 B．7 C．3，7 D．1，7 4．一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是（    ） A．1 B．0 C．1或0 D．1或0或－1 5．的算术平方根是（    ） A．8 B． C． D．2 6．下列说法是8的立方根；是64的立方根；是的立方根；的立方根是，其中正确的说法有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，则x和y的关系是(　　)． A．x＝y＝0 B．x和y互为相反数 C．x和y相等 D．不能确定 8．下列说法中，正确的是(　　　) A．等于15 B．-11的立方根可表示为 C．负数没有立方根 D．任何一个正数都有两个立方根，它们互为相反数 二、填空题 9．计算： ． 10．若的立方根是，则的平方根是 ． 11．1.若是4的平方根，则 ；若是的立方根，则 ． 12．(规律探究题)若≈1.442，≈3.107，则≈ ，≈ ． 13．已知的算术平方根是3，则的立方根是 ． 三、解答题 14．已知，求的立方根. 15．已知的算术平方根是2，的立方根是，求代数式的平方根． 16．已知m+n与m－n分别是9的两个平方根，m+n－p的立方根是1，求n+p的值． 17．已知的平方根是，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 18．解答下列各题： （1）已知，求a的值； （2）若与互为相反数，求的值. 19．根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，c是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 20．某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 21．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 22．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $