第09讲 整式的加法与减法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第09讲 整式的加法与减法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.同类项 2.合并同类项 3.去括号 4.整式的加减 题型巩固 一、同类项的判断 二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 三、合并同类项 四、去括号 五、添括号 六、整式的加减运算 七、整式的加减中的化简求值 八、整式加减中的无关型问题 九、整式加减的应用 十、带有字母的绝对值化简问题 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，几个常数项也是同类项. 2. 判断同类项时的“两相同，两无关” 知识点2.合并同类项 1. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 3. 合并同类项的一般步骤 (1)找：找出同类项.当项数较多时，通常在同类项的下面做出相同的标记. (2)移：利用加法交换律与结合律把同类项放在一起. 在交换位置时，连同项的符号一起交换. (3)合：利用合并同类项的法则合并同类项. 系数相加，字母及其指数不变. (4)写：写出合并后的结果.结果可能是单项式，也可能是多项式. 知识点3.去括号 1.去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 特别地，+(a- 6)与-(a- 6)可以看作是1 与- 1 分别乘(a- 6)，利用分配律去括号得+(a- 6)=a-6，-(a- 6)= -a+6. 规律总结：去括号时： (1)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；→如a+(b+c)=a+b+c. (2)如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. →如a-（b+c）=a-b-c. 2. 去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序. 一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，但有时也可以由外向内，先去大括号，再去中括号，最后去小括号. 知识点4.整式的加减 1. 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2. 整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算：依据有理数的运算法则进行计算. 题型巩固 题型一、同类项的判断 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列式子中互为同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项的判断，理解同类项的定义是解题关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A． 与是同类项，符合题意； B． 与相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； C． 与，字母不同，不是同类项，不符合题意； D． 与，字母不同，不是同类项，不符合题意． 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． （1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与． 【答案】见解析 【知识点】同类项的判断 【分析】根据同类项的定义含有相同的字母，并且相同字母的次数也相同的项是同类项，另单独的数字也是同类项，逐一判断即可解题． 【详解】解：（1）（2）（5）都符合同类项的定义，都是同类项； （3）与虽然所含的字母相同，但相同字母的指数都不相同，所以它们不是同类项； （4）与所含的字母不相同，故它们不是同类项． 【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（24-25七年级上·广东清远·期中）如果单项式与的和是单项式，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：单项式与的和是单项式， 与是同类项， ， 故选：A． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与单项式的和仍是单项式，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义可知，，进而代入计算即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）如果单项式与单项式可以合并为一个单项式，请你求出、与的值． 【答案】m为任意实数， 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【详解】本题考查同类项的定义，代数式求值，同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 根据题意可得单项式与单项式为同类项，从而得到m为任意实数，，即可求解． 解：∵单项式与单项式可以合并为一个单项式， ∴单项式与单项式为同类项， ∴m为任意实数，， ∴m为任意实数，． 题型三、合并同类项 7．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 根据合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A、、不是同类项，无法合并，故A错误； B、，故B正确； C、、不是同类项，无法合并，故C错误； D、、不是同类项，无法合并，故D错误． 故选：B． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）合并同类项： （1） ；  （2） ；  （3） ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项、字母部分不变、系数相加减是解题的关键． 根据合并同类项的法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）；   （3）． 故答案为：，，． 9．（25-26七年级上·上海·阶段练习）合并同类项：． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的运算法则是解题的关键，合并同类项法则：“合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母连同它的指数不变”，根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ． 题型四、去括号 10．（25-26七年级上·江苏·期中）下面去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号的方法，熟练掌握去括号的方法是解决本题的关键． 根据去括号的法则，即去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号直接求解即可． 【详解】解：A选项、，错误； B选项、，错误； C选项、，错误； D选项、，正确． 故选：D． 11．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号，法则：括号前是负号，去括号时各项都要变号．根据去括号法则进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）去括号： (1) ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【知识点】去括号 【分析】此题考查了去括号，去括号时，若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不变符号；若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变符号． 根据去括号的法则直接求解即可． 【详解】（1）解：． （2）． 题型五、添括号 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）对多项式添括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添括号 【分析】本题考查了添括号法则，明确“所添括号前面是+号，括到括号内的各项都不改变符号，所添括号前面是-号，括入括号内各项都改变符号”是解题的关键. 【详解】解：根据添括号法则，括号前是“”号，括到括号里的各项都要改变符号， 故． 故选： A． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 【答案】 【知识点】添括号 【分析】本题考查了添括号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据添括号的方法直接进行解答即可； （2）根据添括号的方法直接进行解答即可； （3）根据添括号的方法直接进行解答即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）照样子给下列多项式添括号，使括号里的最高次项的系数为正数．例： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】添括号 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号． （1）（2）（3）（4）最高次项的系数是负数，则多项式放在带负号的括号内，依据添括号法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）. 题型六、整式的加减运算 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）减去的差为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的减法运算，先理解题意，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）整式与的和为 ； （2）整式与的差为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整式的加减运算法则计算即可； （2）利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：（1）由题意得 ， 故答案为：； （2）由题意得 ， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． （1）直接去括号进而计算加减即可得出答案； （2）直接去括号进而计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型七、整式的加减中的化简求值 19．（24-25七年级上·广西百色·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及整式的加减运算，化简求值，先由非负性，得出，然后去括号合并同类项，得，然后把分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∴把分别代入， 得， 故选：B． 20．（24-25七年级上·山东济南·期末）如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减与化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将原式去括号，合并同类项并整理后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算及求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先去括号再合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 题型八、整式加减中的无关型问题 22．（24-25七年级上·陕西西安·期末）无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，掌握整式的加减是解题的关键．先化简代数式，再根据题意得出，得出n的值． 【详解】解： ， ∵无论x，y取什么值的值都等于定值8， ∴， ∴， 故选：B． 23．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于x、y的多项式 化简后不含项，则 ． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减中无关型问题，根据化简后不含的项，即的系数为0，进而可求解． 【详解】解： ， ∵化简后不含的项， ∴， 解得：， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）若多项式合并同类项后不含项，求的值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先合并同类项，再根据结果不含项得到含项的系数为，解之即可求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴． 题型九、整式加减的应用 25．（24-25七年级上·福建漳州·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个两位数，则下列说法正确的是（　　） A．这两个两位数的和是 B．这两个两位数的和是 C．这两个两位数的和是 D．这两个两位数的差是 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减. 根据题意表示出两位数及对调后的两位数，计算后即可做出判断． 【详解】解：两位数为，对调后的两位数为， 则两个两位数之和为，之差为或， 故选：C． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：．则所捂的部分为 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题需要根据整式的加减运算，通过已知的和与其中一个加数，求出被捂住的加数，即所捂的部分． 【详解】设所捂的部分为A，根据题意可得： ， 则：， 去括号得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 27．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，即设是一个三位数，如果是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数．为什么？请说明理由． 【答案】这个数一定是3的倍数．理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用．将这个三位数写成，进而变形为，即可判断． 【详解】解：这个数一定是3的倍数．理由如下： 由题意知，这个数可以表示为： ， 其中是3的倍数，是3的倍数， 所以这个数一定是3的倍数． 题型十、带有字母的绝对值化简问题 28．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． 根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可． 【详解】解：当a、b、c同为正数时，不满足条件； 当a、b、c为两正一负时，满足条件，此时， ∴； 当a、b、c为两负一正时，不满足条件； 当a、b、c同为负数时，不满足条件， 综上，， 故选：A. 29．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由题意可得，，再根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 30．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则x=________； (2)式子的最小值为________； (3)根据所表示的几何意义，可求出x的值为________． 【答案】(1)1； (2)4； (3)几何意义：在数轴上与3和的距离和为7的点对应的x的值，或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解答此类问题时要用到分情况讨论的思想． （1）根据绝对值的意义，可知是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离，若，则此点必在与3之间，故，，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可； （2）求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值； （3）由于及的符号不能确定，故应分情况讨论． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可知，此点必在与3之间，故，， ∴原式可化为， ∴； 故答案为：1； （2）解：根据题意，可知当时，有最小值． ∴，， ∴； 故答案为：4； （3）解：几何意义：在数轴上与3和所表示的点的距离和为7的点对应的x的值． 在数轴上3和的距离为4，则满足方程的x的对应点在的左边或3的右边． 若x的对应点在的左边，则； 若x的对应点在3的右边，则； 所以原方程的解是或． 故答案为：或． 强化训练 一、单选题 1．下列式子变形正确的是（   ） A．） B．） C．） D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号法则、乘法分配律以及绝对值的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 依次对每个选项根据去括号法则、乘法分配律、绝对值的性质进行分析判断． 【详解】解：．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项符合题意； 故选：． 2．下列运算正确的是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减运算，根据同类项的定义、合并同类项法则及去括号法则计算即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 3．已知，则的值是(   ) A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，将原代数式进行适当的变形是解决问题的关键．将式子化为，再代入求值即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 4．如果时，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 先去括号，再进行整式的加减，最后将代入求值，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 故选D． 5．多项式与多项式相加后，不含二次项，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【答案】A 【分析】先计算整式的加法，再根据不含二次项，令二次项的系数为0解答即可． 本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由多项式与多项式相加后，不含二次项， 故， 解得， 故选：A． 6．已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，利用整体思想解题是关键．将代数式去括号、合并同类项后变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解： 原式， 故选：D． 7．已知和是同类项，则的值是（　　） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的概念，求代数式的值，根据同类项的概念求得m与n的值是关键． 若两个单项式所含的字母相同，且相同字母的指数也相同，则称这两个单项式为同类项．根据同类项的概念即可求得m与n的值，从而求得结果． 【详解】解：根据题意得：， 则， 则． 故选：C． 8．已知小明的年龄是岁，哥哥的年龄比小明年龄的倍小岁，姐姐的年龄比小明年龄的倍多岁，则小明的哥哥和姐姐的年龄和是（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式的加法运算，根据题意先列式表示出哥哥和姐姐的年龄，再相加即可求解，掌握整式的加法运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，哥哥的年龄为岁，姐姐的年龄为岁， ∴小明哥哥和姐姐的年龄和为：， 故选：． 9．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，根据数轴判断式子的大小，化简绝对值． 根据数轴求出a，b，c取值范围，再逐一判断即可． 【详解】由数轴可知：，④正确， ∴，①正确， ③正确， ∵， ∴，②错误， ∴正确的有3个， 故选：C． 10．已知表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理表示数轴上有理数对应的点到和对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得的最小值为．利用该方法，可得的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简问题，整式的加减计算，难度较大，解题的关键利用分类讨论的思想求解． 分五种情况讨论，分别去绝对值，再进行整式加减计算，然后计算最值并比较即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 当时， ， 当时， ， 所以当时，有最小值是16， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴的最小值为16， 故选：B． 二、填空题 11．去括号得 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，即“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”，属于基础题型，关键要令相同字母的指数相等列式计算．根据同类项的定义“相同字母的指数相等”，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 13．在等式的括号内填上恰当的项：（____________），括号内应填入 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了添括号法则，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据添括号法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知、均为有理数，满足且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法的相关知识，化简绝对值等知识，根据有理数乘法的法则可知，，然后再化简绝对值计算即可得出答案． 【详解】解：∵且， ∴，， ∴， 故答案为： 15．若，则代数式的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了整式的化简求值知识点，解题的关键是对代数式进行变形，然后整体代入已知条件． 先对代数式去括号，合并同类项进行化简，再将已知条件整体代入求值． 【详解】 已知，将其代入上式可得： ． 故答案为：15． 16．若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算整式的加减可得两个多项式的和为，再根据二次项的系数等于0求解即可得． 【详解】解： ， ∵多项式与多项式的和不含二次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 17．立华奏在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，设左边第一列第个方框内的数为，中间方框的数为，根据题意表示出其他方框内的数，进而列式求出的值即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设左边第一列第个方框内的数为，中间方框的数为，则其他方框内的数如下： ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 19．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 【答案】(1)<；<；>；< (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、有理数的加减法、绝对值等知识点，根据有理数在数轴上的位置确定其取值范围是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的取值范围，进而确定各代数式的正负即可解答； （2）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可； （3）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可． 【详解】（1）解：由有理数a，b，c在数轴上的位置，可得：， ∴，，，． 故答案为：，，，． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 20．已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 【答案】(1) (2)19 (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值，无关型问题，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）去括号，合并同类项进行计算即可； （2）整体代入法进行计算即可； （3）根据的值与y的值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，时， ； （3）∵的值与y的值无关 ∴， 解得． 21．先化简，再求值： (1)，其中，，； (2)其中，； (3)，其中． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查整式的化简求值，绝对值的非负性，偶次方的非负性． （1）先去括号，再合并同类项，最后代值计算即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，最后代值计算即可求解； （3）先根据几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零可求出a、b的值，再将前面式子进行化简求值． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当，时，原式； （3）解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 22．阅读材料：有一种定义：若，则称与是关于1的平衡数．举个例子说明，因为，我们就说3和是关于1的平衡数．再比如，那么3和1就不是关于1的平衡数．请根据以上材料，回答下列问题： (1)6与______是关于1的平衡数，与______是关于1的平衡数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)； (2)不是，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，理解新定义是解题的关键； （1）根据平衡数的定义，若两个数的和为，则它们是关于的平衡数．因此，已知一个数时，另一个数即为减去该数． （2）先化简和的表达式，再计算它们的和，判断是否等于．若和为，则是平衡数；否则不是． 【详解】（1）解：根据定义，若与是关于的平衡数，则． 已知，则． 因此，与是关于的平衡数． 设另一个数为，则， 解得 ． 因此， 与 是关于的平衡数． 故答案为：；． （2）解：， 由于 ，因此与不是关于的平衡数． 23．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键． （1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案； （2）先求出的结果，再根据求解即可； （3）先求出的值，再根据求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 24．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2)不能，见解析 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 整式的加法与减法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.同类项 2.合并同类项 3.去括号 4.整式的加减 题型巩固 一、同类项的判断 二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 三、合并同类项 四、去括号 五、添括号 六、整式的加减运算 七、整式的加减中的化简求值 八、整式加减中的无关型问题 九、整式加减的应用 十、带有字母的绝对值化简问题 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，几个常数项也是同类项. 2. 判断同类项时的“两相同，两无关” 知识点2.合并同类项 1. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 3. 合并同类项的一般步骤 (1)找：找出同类项.当项数较多时，通常在同类项的下面做出相同的标记. (2)移：利用加法交换律与结合律把同类项放在一起. 在交换位置时，连同项的符号一起交换. (3)合：利用合并同类项的法则合并同类项. 系数相加，字母及其指数不变. (4)写：写出合并后的结果.结果可能是单项式，也可能是多项式. 知识点3.去括号 1.去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 特别地，+(a- 6)与-(a- 6)可以看作是1 与- 1 分别乘(a- 6)，利用分配律去括号得+(a- 6)=a-6，-(a- 6)= -a+6. 规律总结：去括号时： (1)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；→如a+(b+c)=a+b+c. (2)如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. →如a-（b+c）=a-b-c. 2. 去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序. 一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，但有时也可以由外向内，先去大括号，再去中括号，最后去小括号. 知识点4.整式的加减 1. 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2. 整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算：依据有理数的运算法则进行计算. 题型巩固 题型一、同类项的判断 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列式子中互为同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． （1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与． 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（24-25七年级上·广东清远·期中）如果单项式与的和是单项式，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与单项式的和仍是单项式，则的值为 ． 6．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）如果单项式与单项式可以合并为一个单项式，请你求出、与的值． 题型三、合并同类项 7．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）合并同类项： （1） ；  （2） ；  （3） ． 9．（25-26七年级上·上海·阶段练习）合并同类项：． 题型四、去括号 10．（25-26七年级上·江苏·期中）下面去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）化简： ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）去括号： (1) ． (2) ． 题型五、添括号 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）对多项式添括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）照样子给下列多项式添括号，使括号里的最高次项的系数为正数．例： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 题型六、整式的加减运算 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）减去的差为（    ）． A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）整式与的和为 ； （2）整式与的差为 ． 18．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算． (1)； (2)． 题型七、整式的加减中的化简求值 19．（24-25七年级上·广西百色·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．8 D．10 20．（24-25七年级上·山东济南·期末）如果，那么代数式的值为 ． 21．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 题型八、整式加减中的无关型问题 22．（24-25七年级上·陕西西安·期末）无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 23．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于x、y的多项式 化简后不含项，则 ． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）若多项式合并同类项后不含项，求的值． 题型九、整式加减的应用 25．（24-25七年级上·福建漳州·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个两位数，则下列说法正确的是（　　） A．这两个两位数的和是 B．这两个两位数的和是 C．这两个两位数的和是 D．这两个两位数的差是 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：．则所捂的部分为 ． 27．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，即设是一个三位数，如果是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数．为什么？请说明理由． 题型十、带有字母的绝对值化简问题 28．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 29．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 30．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则x=________； (2)式子的最小值为________； (3)根据所表示的几何意义，可求出x的值为________． 强化训练 一、单选题 1．下列式子变形正确的是（   ） A．） B．） C．） D． 2．下列运算正确的是（　　） A．2 B． C． D． 3．已知，则的值是(   ) A．0 B．3 C．5 D．8 4．如果时，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．2 5．多项式与多项式相加后，不含二次项，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 6．已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 7．已知和是同类项，则的值是（　　） A． B． C．4 D．8 8．已知小明的年龄是岁，哥哥的年龄比小明年龄的倍小岁，姐姐的年龄比小明年龄的倍多岁，则小明的哥哥和姐姐的年龄和是（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 9．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理表示数轴上有理数对应的点到和对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得的最小值为．利用该方法，可得的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．去括号得 ． 12．若与是同类项，则 ． 13．在等式的括号内填上恰当的项：（____________），括号内应填入 ． 14．已知、均为有理数，满足且，则 ． 15．若，则代数式的值为 ． 16．若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 17．立华奏在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和为，则 ． 三、解答题 18．先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 19．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 20．已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 21．先化简，再求值： (1)，其中，，； (2)其中，； (3)，其中． 22．阅读材料：有一种定义：若，则称与是关于1的平衡数．举个例子说明，因为，我们就说3和是关于1的平衡数．再比如，那么3和1就不是关于1的平衡数．请根据以上材料，回答下列问题： (1)6与______是关于1的平衡数，与______是关于1的平衡数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 23．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 24．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 学科网（北京）股份有限公司 $