精品解析：四川省宣汉中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

四川省达州市宜汉中学2025-2026学年度 高三上学期10月份数学月考试题 注意事项： 1.选择题部分请全部填涂作答到答题卡上，非选择题部分用0.5m黑色签字笔在答题卡规定区域书写. 2.考试结束后，只交回答题卡. （预祝同学们考试旗开得胜!） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据、、、表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断 【详解】解：由表示自然数集，知，故A正确； 由表示有理数集，知，故B正确； 由表示实数集，知，故C错； 由表示整数集，知，故D正确. 故选：C 2. 在复平面内,复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限 考点：复数运算 3. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，，则或， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：若，，则或与相交， 例如在正方体中，//平面，//平面， 显然平面与平面相交，故B错误； 对于选项C：若，且，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于选项D：若，且与相交，由面面平行的性质可得与相交，故D正确； 故选：B. 4. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 5. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 6. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 7. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为， 所以， 又，则 故选D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 8. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则可得为偶函数，且在单调递增，所以的图象关于直线对称，在单调递增，则将转化为，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】设， 因为， 所以为偶函数， 所以的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称， 设，则， 令，则，得， 所以在上递增， 因为函数在定义域上单调递增， 所以在单调递增， 所以在单调递增， 因为， 所以， 所以，化简得，解得． 所以实数a的取值范围为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出的图象关于直线对称，在单调递增，从而可求解不等式. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得在上恒成立，由判别式小于等于0求出参数即可. 【详解】因为为二次函数，开口向下，必存在负值， 由题意得在上恒成立， 则，解得. 故选：ABC. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据，结合双曲线定义得到，然后在中，结合利用余弦定理求解. 【详解】， 由双曲线定义可知：， ， 由，得， 在中，由余弦定理可得：， 解得，或， 或， 或， 或， 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，离心率的求法以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的面积是 D. 若，则外接圆半径是 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知比例关系易得，应用正弦边角关系判断A；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得，再由面积公式求面积判断C；利用正弦定理求外接圆半径判断D. 【详解】令，则，，可得， 所以，由正弦边角关系易知：，A对； 若，则，故，，则， 所以，C错； 由，结合C可得，B错； 由，则，而，故外接圆半径是，D对. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可求角的大小. 【详解】由余弦定理可得，而，故， 故答案为：. 13. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解. 【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距. 故答案为：4. 【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键. 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 综上所述，甲队以获胜的概率是 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 【答案】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】 （1）a≥0，f（x）在（0，+）单调递增. a＜0，f（x）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为. 所以等价于，即. 设g（x）=lnx-x+1，则. 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增. 若a＜0，则当时，时；当x∈时，. 故f（x）在单调递增，在单调递减. （2）略 【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 17. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证明线面平行； （2）分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； （3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于长度的方程，解方程可得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的法向量，则，即. 不妨令，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意. 所以，线段的长为. 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 【答案】（1） （2）①；②，， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为列方程组，求出的值，即可求椭圆E的标准方程; （2）①设，则，利用斜率公式可求的值; ②联立直线与椭圆E的方程，利用斜率公式、结合韦达定理分别求出直线OA，OB的斜率之和，以及若直线OC，OD的斜率之和，根据斜率之和为零求出斜率，再根据直线交点坐标可求点P的坐标. 【小问1详解】 由，解得， 所以椭圆E的标准方程为 【小问2详解】 ①设，则， 因为，， 所以，， 则 ； ②联立直线与椭圆E的方程，得， 消去x，得， 设，，，， 则， 因为直线OA，OB的斜率存在，所以，， 又因为点P不在x轴上，所以，， 所以直线OA，OB的斜率之和 ， 同理，直线OC，OD的斜率之和， 所以， 因为直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0， 所以或 当时，结合，解得 联立，解得， 所以点P的坐标为 当时，结合，解得或， 联立， 解得，所以点P的坐标为 联立，解得 所以点P的坐标为 综上，点P的坐标为，， 【点睛】本题②的解题关键是先将用变量表示，然后证明其为定值，探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述. （1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数； （2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立. ①求的分布列和数学期望； ②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性. 【答案】（1）首先有， 去绝对值不影响数的奇偶性，故 与的奇偶性一致，而 为偶数，故的可能取值都为非负偶数； （2）①的分布列为 数学期望为； ②概率为，解释如下： 因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率， 而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理. 【解析】 【分析】（1）分析出且与的奇偶性一致，右由此可得出结论； （2）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值； ②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论. 【详解】（1）略 （2）①由（1）知当时，的可能取值为、、、、， ，，， ，， 所以的分布列为 从而的数学期望； ②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有” 为事件，则， 又各轮测试相互独立，， 因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率， 而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市宜汉中学2025-2026学年度 高三上学期10月份数学月考试题 注意事项： 1.选择题部分请全部填涂作答到答题卡上，非选择题部分用0.5m黑色签字笔在答题卡规定区域书写. 2.考试结束后，只交回答题卡. （预祝同学们考试旗开得胜!） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内,复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 4. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 8. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的面积是 D. 若，则外接圆半径是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则__________. 13. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 17. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述. （1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数； （2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立. ①求的分布列和数学期望； ②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $