第一章 专题二 因式分解的应用-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

专题二因式分解的应用（答案3） 类型1用于简便计算 3.(2023·四川凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则 1.运算能力利用因式分解的方法计算： 3.x3-10x2+5.x+2027的值为 (1)0.84×12+12×0.6-0.44×12; 4.已知a十b=-4,ab=2,求多项式4a2b+ 4ab2-4a-4b的值. (2)50.22-49.82； 552-452 (3 992+198+1 类型3翻用于判断整除 5.对于任意的正整数n,能整除代数式(3m+1)· (3n-1)-(3-n)(3十n)的整数是() (4)1-0--0-)·…· A.3 B.6 C.10 D.9 6.248一1可以被60和70之间某两个数整除，求 1〉 1-10000 这两个数. 类型2用于化简求值 2.若c2-a2-2ab-b2=10,a+b+c=-5,则 a十b-c的值是() A.2 B.5 C.20 D.9 16 优*学素·课时通 拥类型4用于判断三角形的形状 11.‘阅读理解》先阅读下列材料，再解答下列 7.若三角形的三边长分别为a,b,c,满足a2b 问题： a2c十b2c一b3=0,则这个三角形是() 因式分解：(a+b)2-2(a+b)+1. A.等腰三角形 解：将“a十b”看成整体，设M=a十b,则原 B.直角三角形 式=M2-2M+1=(M-1)2. C.等边三角形 再将“M”还原，得原式=(a十b-1)2. D.三角形的形状不确定 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想” 8.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+ 是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿 2b2+c2=2ab+2bc,那么据此判断△ABC的 照上面的方法解答下列问题： 形状是() (1)因式分解：(2a+b)2-9a2= A.等边三角形 B.直角三角形 (3a+2b)2-(2a+3b)2= C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 (2)因式分解：(x-y)2+2(x-y)十1= 9.已知BC=a,AC=b,AB=c,且满足a2+ ;(a+b)(a+b-4)+4= (3)求证：若n为正整数，则式子(n+1)(n+ b+c2=ac+bc,试判定a,b,c能否构成目 2)(n2+3n)+1的值一定是某一个正整数的 角形？如果能，请判定三角形的形状，如果不 平方. 能，请说明理由 类型5瞄用于推理证明 10.推理能力》求证：不论x取何实数，多项式 -2.x4+12x3-18.x2的值都不会是正数， 一八年级·上册：数学，色教版 17(2).x2-4x-5 =x2-4x+4-5-4 =(x-2)2-9 =(x-2+3)(x-2-3) =(x十1)(x-5). .x>5, .(x+1)(x-5)>0, .x2-4x-5>0. (3).a2+b2-2a-8b+17=0, .a2-2a+1+b2-8b+16=0, .(a-1)2+(b-4)2=0, .a-1=0,b-4=0, ∴a=1,b=4, .a+b=5. 17.解：(1)x2-a2+x十a=(x2-a2)+(x十a)= (x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1). (2)a.x+a2-2ab-bx+b2=(a.x-b.x)+(a2 2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+ a-b). (3)原式=(a4+2a2b2+b4)-(2ab3+2a3b) =(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2. .a2+b2=9,(a-b)2=1,.原式=9. 专题一因式分解的方法 1.解：(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+ c(a-b)=(a-b)(a+c). (2)原式=(m2-mm)+(5n-5m)=m(m-n) 5(m-n)=(-5)(m-n). 2.解：(1)原式=(4x2-y2)-(2x+y)=(2x十y)· (2.x-y)-(2x十y)=(2x+y)(2x-y-1). (2)原式=a2+2ab+b2-9=(a+b)2-9=(a+b+ 3)(a+b-3). 3.(2x+1)(x-2) 4.(a+1)(a-4) 5.解：(1).x2-5.x-36=(x-9)(x+4). (2)x2+3.x-18=(x+6)(x-3). (3)2.x2-3.x+1=(2x-1)(.x-1). (4)6.x2+5x-6=(2x+3)(3.x-2). 6.解：(x2-5.x)2-16 =(x2-5.x)2-42 =[(x2-5.x)+4][(x2-5.x)-4] =(x2-5.x+4)(.x2-5.x-4) =(x-1)(.x-4)(x2-5.x-4). 7.解：(1)(x十2)(.x2-2x十4) (2)64.x+1=64x+16.x2+1-16.x2=(8x2)2+ 2·8x2·1+12-16.x2=(8.x2+1)2-(4x)2= (8x2+1+4x)(8.x2+1-4x). (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： .3a2+4b2-6a-16b+19=0, ∴.3a2-6a+3+4b2-16b+16=0, ∴.3(a2-2a+1)+4(b2-4b+4)=0, ∴.3(a-1)2+4(b-2)2=0, ∴.a-1=0,b-2=0, ∴.a=1,b=2 a,b,c是△ABC的三边长， .b-a<c<b十a, .1<c<3. 又：c为整数， c=2, ..b=c=2, ∴△ABC是等腰三角形. 8.解：(1)原式=4x+4.x2+1-4x2=(2x2+1)2 4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2.x+1). (2)原式=x4+4y4+4x2y2-4x2y2 =(x2+2y2)2-(2.xy)2 =(.x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy. 9.解：(1)C(2)(a+2) (3)设x2-6x=y, 则原式=y(y+18)+81 =y2+18y+81=(y+9)2 =(x2-6.x+9)2=(x-3)4. 10.解：设x2+3.x=y, 则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+ 6)(y-4)=(.x2十3.x十6)(x2十3x-4)=(.x 1)(x+4)(x2+3.x+6). 专题二因式分解的应用 1.解：(1)0.84×12+12×0.6-0.44×12= 12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12. (2)50.22-49.82=(50.2+49.8)(50.2- 49.8)=40. (3) 552-452 (55+45)(55-45) 992+198+1 992+2×99×1+12 100×10 100×101 (99+1)2 100×10010 (4)原式 0-21--)(-)-0) 01-2)(1+2)1-3)(1+3)01-4)· 1+-+)…(1-(+） 100 1011、101101 100-2×100-200: 2.A3.2023 4.解：4ab+4ab2-4a-4b=(4a2b+4ab2)-(4a+4b)= 4ab(a+b)-4(a+b)=4(a+b)(ab-1), 把a十b=-4,ab=2代入，得 原式=4×(-4)×(2-1)=-16. 5.C 6.解：28-1=(224-1)(224+1)=(212-1)(212+ 1)(224+1)=(2-1)(2+1)(212+1)(224+1)=63× 65×(212+1)×(224十1)，.这两个数为63和65. 7.A8.A 9.解：不能构成三角形.理由：α2+b2十 cia+6+2-ac-灰=02-ac+子)十 6-c+)=0(。2)+6-)°=0 a-2c=0咀6-c=0,即a=且6=20 .a十b=c,∴.无法构成三角形. 10.证明：原式=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2. .-2.x2≤0，(x-3)2≥0， .一2x2(x一3)2≤0，.不论x取何实数，原式的 值都不会是正数. 11.解：(1)(b-a)(5a+b)5(a+b)(a-b) (2)(x-y+1)2(a+b-2)2 (3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2. 所以若n为正整数，则式子(n十1)(n十2)(n2+ 3n)+1的值一定是某一个正整数n2+3n+1的 平方. 本章综合提升 【本章知识归纳】 整式的积m(a十b十c)(a+b)(a-b)(a士b)2 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：利用代数式分别表示出图①，图②阴 影部分面积即可解答问题. a2-2ab-3b2=(a十b)(a-3b)解析：由题可知，题 图①阴影部分面积为a-2ab-3b2,题图②是长为 a十b,宽为a-3b的长方形，因此面积为(a十b)(a 3b). ,两个图形阴影部分面积相等， .a2-2ab-3b2=(a+b)(a-3b). 【变式训练1】(a+b)(a+2b) 【例2】思路分析：首先利用公式法将a2一b2因式分解， 再将a十b看成一个整体，充分化简运算. 2029 【变式训练2】36 【例3】思路分析：通过已知条件，找到a,b,c的关系： ab十ac=-bc,ac+bc=-ab,abc=-2023,即可获 得答案. -1解析：.a2(b+c)=b2(a十c), ..a'b+a2c-ab2-b2c=0, .ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, .(a-b)(ab+ac+bc)=0. .a≠b, .a一b≠0， .∴.ab+ac+bc=0,即ab+ac=-bc,ac+bc=-ab. ,a2(b+c)=a(ab+ac)=2023, .∴.a(-bc)=2023, ..-abc=2023, .∴.abc=-2023, .c2(a+b)-2024=c(ac+bc)-2024=c(-ab) 2024=-abc-2024=-1. 【变式训练3】解：(1)直接配方，得(a十2)2=0，解得 a1=a2=-2. (2).x2-4x+y2+6y+13=0, .(x-2)2+(y+3)2=0, 解得x=2,y=一3. .(.x十y)2024=(2-3)-2024=(-1)-2024=1. (3)a2-2a-8=0, .(a-1)2=9, 两边开平方，得a-1=士3， ∴.a1=4,a2=-2. 【通模拟】 1.B2.D3.C4.B5.B6.125 7.a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)(a-1)(a2+a+1) 8.解：(1)原式=n3(m-2)-n(m-2) =n(m-2)(n2-1) =n(m-2)(+1)(n-1). (2)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a) =(a+2)2(a-2)2. 9.解：(1)原式=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2. (2)原式=(m2-5+1)2 =(m2-4)2=[(m+2)(m-2)]2 =(m+2)2(m-2)2. 10.解：(1)(x-1)(x4+x3+x2+x+1) (2)(.-1)(x"-1十x”-2+…十x+1) (3)根据上述规律，可得2一1=(2-1)(2+2+ 2+23+22+2+1), .26+2+2+23+22+2+1=27-1. 【通中考】 11.C 12.2(a+2b)(a-2b) 第二章分式与分式方程 1认识分式 第1课时认识分式 2S 1.B2.C3m+n 4.A5.B6.-3 7.解：0要使有意义，需2x-3≠0. 解得x≠1.5. 当1.5时二号有意义。 6(x-3)」 (2)要使x-12有意义，需1x-12≠0. 解得x≠士12. 当士12时二2有意义 （3)要使十6有意义，需x2+1≠0. x2+1 肖x为任意实数时，有意义， (4)要使x2-4x十4 1 意义，需x2-4x十4≠0. 即(x-2)2≠0，∴x≠2. 当x≠2时，x2-4x+4 1 有意义. 8.A