第一章 3 公式法-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

3公式法 第1课时用平方差公式因式分解 1.D2.A3.B 4.(x-5y)(x+5y)5.2 6.解：(1)4a2-b2=(2a+b)(2a-b). (2)-4x2+9=(3+2x)(3-2x). (3)4n2-(m+n)2=(3+m)(n-m). 7.2(m+3)(m-3) 8.a(x+2y)(x-2y) 9.xy(x+4y)(x-4y) 10.解：(1)原式=3(m2-25n2)=3(m+5n)(m-5n). (2)原式=4a2(a2-9b2)=4a2(a+3b)(a-3b). 11.3(m2+4)(m十2)(m-2) 12.D13.B14.C 15.7a+2b16.51600017.10 18.解：(1)原式=x2(x-2y)(x2-1)=x2(x+1)· (x-1)(x-2y). (2)原式=(x十y十x+x-y-x)(x十y十x x+y+z)=2x(2y十2x)=4x(y+z). (3)原式=[9(a+b)]-[2(a-b)]2= [9(a+b)+2(a-b)][9(a+b)-2(a-b)]= (11a+7b)(7a+11b). 19.解：由图可得阴影部分的面积是πR2一4πr2. .元R2-4πr2=π(R2-4r2)=π(R+2r)(R-2r), .当π=3，R=6.8cm,r=1.6cm时，阴影部分的 面积为3×(6.8+2×1.6)×(6.8-2×1.6)=3× 10×3.6=108(cm2). 20.证明：(2a+1)2-1=(2a+1+1)(2a+1-1)=(2a+ 2)·2a=4a(a+1).,a为整数，∴.a十1也为整 数，.4a(a十1)能被4整除，.(2a+1)2-1能被4 整除 21.解：设两个连续的奇数分别为2n一1,2n十1. .(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2m-1)(2+ 1-2n+1)=8n, .任意一个“和谐数”均为8的倍数 、2 :2023÷8=2528, ∴.在不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为 8×252=2016. ∴.在不超过2023的整数中，“和谐数”分别为8， 16,24,32,…,2016. 又.8=32-12,16=52-32,24=72-52,32=92 72,…,2016=5052-503, .8+16+24+32+…+2016=32-12+52-3+ 72-52+92-7+…+5052-5032=5052-12= 255024. 第2课时用完全平方公式因式分解 1.D2.(1)9(2)4或-4(3)y 3.C4.(2-x)25.3x-y 6解：1)原式-（）广-6+6=（。- (2)原式=(x2-3-1)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2 (3)原式=[2-3(x-y)]2=(2-3.x+3y)2. 7.D8.a(a+b)29.x(.x-2)2 10.解：(1)原式=a(a2-6ab+9b2)=a(a-3b)2. (2)原式=ab2(b2-4b+4)=ab(b-2)2. 8原式=(-x+好）=1-名月 11.C12.C13.12 1 14.4x一4x16x'(答案不唯一)15.1 16.解：(1)原式=xy(x2-xy+y2)=xy[(x+y)2- 3.xy]. x十y=4,xy=2, .原式=2×(42-3×2)=2×10=20. (2)原式=(4x十x2+4)(4.x-x2-4)= -(x十2)(x-2)2. x=2, 原式=0. 17.解：a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0, .(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0, .a-6=0,b-8=0,c-10=0, .a=6,b=8,c=10. 62+82=102, .a2+b2=c2, .△ABC是直角三角形. 18.解：(1)x2-4x-5=x2-4.x+4-9=(x-2)2 32=(.x-2+3)(x-2-3)=(x+1)(x-5). (2)由题意，，-2x2-8.x+5=-2(.x2+4x+4)十 13=-2(.x+2)2+13, .当x=一2时，多项式一2x2一8.x+5有最大 值13. 第3课时因式分解方法的灵活运用 1.D2.y(x-2y)(x+2y)3.-a(a-1)2 4.(x-2)2 解析：x2-4(x-1)=x2-4x十4=(x-2)2. 5.解：(1)原式=x2(y2-49)=x2(y+7)(y-7). (2)原式=x(x-y)(x一2). (3)原式=x2+4x-4x-4=x2-4=(x+2)(x-2). (4)原式=a(2b+3c)2(c2-b2)=a(2b+3c)2(c+ b)(c-b). (5)原式=(a-b)2-16=(a-b+4)(a-b-4). m2+r2)9=[mw-(m+n)r门= 6.m2n21 2am十m2+i)(2m-m2-x）=-}(m十 1 n)2(m-n)2. 7.A8.C9.C10.D11.C 12.3(.x-1)213.(x+2)2(x-2)2 14.(①22212000 15.解：(1)原式=(x2-9)+3x(x-3)=(x-3)· (x+3)+3.x(.x-3)=(x-3)(4.x+3). (2)原式=-y(9.x2-6xy+y2)=-y(3x-y)2. 16.解：(1)x2+8.x-9 =x2+8.x+16-9-16 =(x十4)2-25 =(x+4+5)(x+4-5) =(x+9)(x-1). (2).x2-4x-5 =x2-4x+4-5-4 =(x-2)2-9 =(x-2+3)(x-2-3) =(x十1)(x-5). .x>5, .(x+1)(x-5)>0, .x2-4x-5>0. (3).a2+b2-2a-8b+17=0, .a2-2a+1+b2-8b+16=0, .(a-1)2+(b-4)2=0, .a-1=0,b-4=0, ∴a=1,b=4, .a+b=5. 17.解：(1)x2-a2+x十a=(x2-a2)+(x十a)= (x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1). (2)a.x+a2-2ab-bx+b2=(a.x-b.x)+(a2 2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+ a-b). (3)原式=(a4+2a2b2+b4)-(2ab3+2a3b) =(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2. .a2+b2=9,(a-b)2=1,.原式=9. 专题一因式分解的方法 1.解：(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+ c(a-b)=(a-b)(a+c). (2)原式=(m2-mm)+(5n-5m)=m(m-n) 5(m-n)=(-5)(m-n). 2.解：(1)原式=(4x2-y2)-(2x+y)=(2x十y)· (2.x-y)-(2x十y)=(2x+y)(2x-y-1). (2)原式=a2+2ab+b2-9=(a+b)2-9=(a+b+ 3)(a+b-3). 3.(2x+1)(x-2) 4.(a+1)(a-4) 5.解：(1).x2-5.x-36=(x-9)(x+4). (2)x2+3.x-18=(x+6)(x-3). (3)2.x2-3.x+1=(2x-1)(.x-1). (4)6.x2+5x-6=(2x+3)(3.x-2). 6.解：(x2-5.x)2-16 =(x2-5.x)2-42 =[(x2-5.x)+4][(x2-5.x)-4] =(x2-5.x+4)(.x2-5.x-4) =(x-1)(.x-4)(x2-5.x-4). 7.解：(1)(x十2)(.x2-2x十4) (2)64.x+1=64x+16.x2+1-16.x2=(8x2)2+ 2·8x2·1+12-16.x2=(8.x2+1)2-(4x)2= (8x2+1+4x)(8.x2+1-4x). (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： .3a2+4b2-6a-16b+19=0, ∴.3a2-6a+3+4b2-16b+16=0, ∴.3(a2-2a+1)+4(b2-4b+4)=0, ∴.3(a-1)2+4(b-2)2=0, ∴.a-1=0,b-2=0, ∴.a=1,b=2 a,b,c是△ABC的三边长， .b-a<c<b十a, .1<c<3. 又：c为整数， c=2, ..b=c=2, ∴△ABC是等腰三角形. 8.解：(1)原式=4x+4.x2+1-4x2=(2x2+1)2 4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2.x+1). (2)原式=x4+4y4+4x2y2-4x2y2 =(x2+2y2)2-(2.xy)2 =(.x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy. 9.解：(1)C(2)(a+2) (3)设x2-6x=y, 则原式=y(y+18)+81 =y2+18y+81=(y+9)2 =(x2-6.x+9)2=(x-3)4. 10.解：设x2+3.x=y, 则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+ 6)(y-4)=(.x2十3.x十6)(x2十3x-4)=(.x 1)(x+4)(x2+3.x+6). 专题二因式分解的应用 1.解：(1)0.84×12+12×0.6-0.44×12= 12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12. (2)50.22-49.82=(50.2+49.8)(50.2- 49.8)=40. (3) 552-452 (55+45)(55-45) 992+198+1 992+2×99×1+12 100×10 100×101 (99+1)2 100×10010 (4)原式 0-21--)(-)-0) 01-2)(1+2)1-3)(1+3)01-4)· 1+-+)…(1-(+） 100 1011、101101 100-2×100-200: 2.A3.2023 4.解：4ab+4ab2-4a-4b=(4a2b+4ab2)-(4a+4b)= 4ab(a+b)-4(a+b)=4(a+b)(ab-1), 把a十b=-4,ab=2代入，得 原式=4×(-4)×(2-1)=-16. 5.C 6.解：28-1=(224-1)(224+1)=(212-1)(212+ 1)(224+1)=(2-1)(2+1)(212+1)(224+1)=63× 65×(212+1)×(224十1)，.这两个数为63和65.3公式法 第1课时 用平方差公式因式分解（答案P2) 通基础 知识2综合应用提公因式法、平方差公式因 式分解 知识点1用平方差公式因式分解 7.(2023·辽宁抚顺、葫芦岛中考)因式分解： 1.下列多项式中能用平方差公式因式分解 2m2-18= 。 的是() 8.(2023·四川德阳中考)因式分解：ax2一 A.a2+(-b)2 B.3m2-12m 4ay2= C.-m2-n2 D.-x2+1 9.因式分解：x3y-16.xy3 2.(2023·浙江杭州中考)因式分解：4a2-1= 10.把下列各式因式分解： () (1)3m2-75n2; (2)4a4-36a2b2. A.(2a-1)(2a+1)B.(a-2)(a+2) C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1) 3.a2-(b-c)2有一个因式是a+b一c,则它的 另一个因式是() A.a-b-c B.a-b+c C.a+b-c D.a+b+c 4.(2023·甘肃兰州中考)因式分解：x2-25y2= 易错区因式分解不彻底 5.(2023·四川雅安中考)若a十b=2,a-b=1, 11.因式分解：3m4-48 则a2-b2的值为 6.把下列各式因式分解： 通能力>29 (1)4a2-b2; 12.小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了 x的指数，他只知道该数为不大于8的正整 数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在 作业本上的式子是x口一9y2(“口”表示漏抄 (2)-4x2十9； 的指数)，则这个指数可能的结果共有() A.1种B.2种C.3种 D.4种 13.若(9-10112-1D =8×10×12,则k= (3)4n2-(m+n)2. () A.12 B.10 C.8 D.6 14.若a十b=3,则a2+6b一b2的值为( A.3 B.6 C.9 D.12 15.已知长方形的面积是49a2一4b2,一边长为 (7a-2b),则另一边长为 8 优林学秦·课时通 16.计算：7582-2422= 20.已知a为整数，求证：(2a+1)2一1能被4 17.已知a+b=1,则代数式a2一b2+2b+9的值 整除. 为 18.因式分解： (1)x4(x-2y)+x2(2y-x); (2)(.x+y+x)2-(x-y-x)2; 通素第沙3 21.运算能力》如果一个正整数可以表示为两个 连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐 (3)81(a+b)2-4(a-b)2. 数”，比如8=32一12,16=52一3，即8,16均 为“和谐数”.试计算在不超过2023的正整数 中，所有的“和谐数”之和。 19.教材P1习题1.T3变式》如图所示，在一块半 径为R的圆形板材上，抠去半径为r的四个 小圆，小刚测得R=6.8cm,r=1.6cm,他想 知道剩余阴影部分的面积，你能利用学过的 因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求 解的过程.（π取3） 一八年级·上册：数学，色教版 9》 第2课时 用完全平方公式因式分解（答案P2) 通基学游 (3)4-12(x-y)+9(x-y)2. 知识点1完全平方式 1.下列各式不是完全平方式的是( B.4m2-2m+4 1 A.a2-2ab+b2 知识点3综合应用提公因式法、完全平方公式 因式分解 C.9-6y+y2 D.x2-2xy-y2 7.把代数式3x3一12x2+12x因式分解，结果正 2.(1)若x2一6.x十k是完全平方式，则k= 确的是( ) (2)若x2十kx十4是完全平方式，则 A.3.x(x2-4x+4)B.3x(x-4)2 k= C.3x(x+2)(x-2)D.3x(x-2)2 (3)若x2+2xy+m是完全平方式，则 8.(2023·湖南常德中考)因式分解：a3+2a2b+ m- ab2= 知识点2用完全平方公式因式分解 9.(2023·四川眉山中考)因式分解：x3一4x2+ 3.下列各式可以用完全平方公式进行因式分解 4x= 的是() 10.运算能力把下列各式因式分解： A.a2+a+1 B.x2+6x-9 (1)a3+9ab2-6a2b; 1 C.a2+a+4 D.x2-4y2 4.(2023·江苏无锡中考)分解因式：4一4x+ x2= 5.已知正方形的面积是9x2十y2一6xy(x>y> (2)ab4-4ab3+4ab2; 0),利用因式分解可知该正方形的边长 为 .(用含x,y的代数式表示) 6.把下列各式因式分解： (- ab+b2; (3)x-x2+ 1 4之” (2)(x2-3)2-2(x2-3)+1: 易借卤对完全平方式理解不透，不能灵活变形 1.若2+y=2.则多项式2+2y+2y的值 为( A.2 B.4 C.8 D.16 10 优林学奉课时通 通能分 通素翁8沙9 12.若P=(a+b)2,Q=4ab,则( ) 18.(2024·济宁任城区月考)教科书中这样写 A.P>Q B.P<Q 道：“形如a2士2ab+b2的式子称为完全平方 C.P≥Q D.P≤Q 式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们 13.若m十n=3,则2m2+4mn十2n2-6的值 常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子 为 中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式 14.结论开放》将多项式x2十4加上一个整式， 子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是 使它成为完全平方式，试写出满足上述条件 一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以 的三个整式： 将一个看似不能分解的多项式分解因式，还 能解决一些与非负数有关的问题或求代数式 15.计算：1012-102×202+1022= 最大值、最小值等问题， 16.(1)已知x+y=4,xy=2,求x3y-x2y2+ 例如：因式分解：x2+2x-3. xy3的值. 解：原式=x2+2x+1-1-3=(x+1)2-4= (x+1+2)(x+1-2)=(.x+3)(x-1). 再如：求代数式2x2十4x一6的最小值. 獬：2x2+4x-6=2(.x2十2x-3)=2(x2+ 2x+1-1-3)=2[(x+1)2-4]=2(x+ 1)2-8. (2)已知x=2,求16x2-(x2+4)2的值. (x+1)2≥0， .原式≥一8， 即当x=一1时，原式有最小值一8. 学以致用： (1)用配方法分解因式：x2一4x一5. (2)用配方法求多项式-2x2一8x十5的最大 值，并求出此时x的值. 17.已知a,b,c是△ABC的三边，且a2+b2+ c2-12a-16b-20c+200=0,试判断△ABC 的形状. 一八年级·上册数学，色教版 11》 第3课时 因式分解方法的灵活运用（答案P2) 通基础 》*学少+>>>>>>沙>>>>许》>> 通能力 海》*分>》>》》的5之》>沙海>>》》 知识点因式分解方法的灵活运用 7.下列因式分解结果正确的有() 1.多项式4m2一24m+36因式分解的结果 ①-4m3+12m2=-m2(4m-12)； 为() ②.x4-1=(x2+1)(x2-1); A.4(m2-6m+9) B.4(m-6)2 ③x2+2x+4=（x+2)2; C.4(m+3)2 D.4(m-3)2 ④(a2+b2)2-4a2b2=(a+b)2(a-b)2. 2.因式分解：x2y-4y3= A.1个 B.2个 3.因式分解：-a3十2a2-a= C.3个 D.4个 4.教材P14想-想变武)因式分解：x2一4(x 8.在有理数范围内把x9一x因式分解，结果中因 1)= 式有() 5.选择合适的方法因式分解： A.3个 B.4个 (1)-49.x2+x2y2; C.5个 D.6个 9.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册 (2)x2(x-y)-2x(x-y); 中有这样一条信息：x一1，a一b,5,x2+1,a, x十1，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学， 中.现将5a(.x2一1)-5b(.x2-1)因式分解，结果 (3)x(x+4)-4(x+1); 呈现的密码信息可能是( A.我爱学 B.爱中国 C.我爱中国 D.中国数学 10.运算能力》若a十b=3,x十y=1,则代数式 (4)ac2(2b+3c)2-ab2(3c+2b)2; a2+2ab+b2-x-y+2018的值是() A.2019 B.2020 C.2025 D.2026 (5)(a2-2ab+b2)-16. 11.三角形的三边长分别为a,b,c,且满足a4一 b4+b2c2一a2c2=0,则该三角形的形状 是() A.任意等腰三角形 易错三混淆因式分解与解方程，误去分母 B.等腰直角三角形 6.因式分解：mn2-(m2+n. C.等腰三角形或直角三角形 D.任意直角三角形 12.因式分解：3(x2+1)-6.x= 13.因式分解：(x2-8)2+8(x2-8)+16= 12 优林学奉课时通 14.用简便方法计算： 通素第%游 (1) 2222-222 222-444+1 17.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如 (2)4×1752-100×25= 下问题： 15.把下列各式因式分解： 将2a-3ab一4+6b因式分解 (1)x2+3.x(x-3)-9; 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下 的解决方法： 解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)= a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2). 解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)= 2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b). (2)6.xy2-9x2y-y3. 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因 式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再 利用提公因式法、公式法达到因式分解的目 的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解 法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习 中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一 定要分解到不能再分解为止) 【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a 16.阅读理解【阅读】下列是多项式x2一6x+5 因式分解. 因式分解的过程：x2一6x十5=x2一6x十9+ 【挑战】(2)请用分组分解法将a.x+a一 5-9=(x-3)2-4=(x-3+2)(x-3 2ab-bx+b2因式分解. 2)=(x-1)(x-5),请利用上述方法解决下 【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄 列问题， 傲，我们利用它验证了勾股定理.如图所示， 【应用】(1)因式分解：x2十8x-9. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成 (2)若x>5,试比较x2一4x-5与0的大小 的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直 关系 角三角形的两条直角边长分别是a和b(a> 【灵活应用】(3)若a2+b2-2a-8b+17=0, b),斜边长是3，小正方形的面积是1. 求a+b的值. 根据以上信息，先将a4-2a3b十2a2b2- 2ab3+b4因式分解，再求值. 一八年级·上册数学，色教版 13》