第三章 4 数据的离散程度-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

4数据的离散程度 第1课时极差、方差与标准差（答案P16) (课程标准变动内容) 通基础 6.为庆祝神舟十七号发射成功，学校开展航天知 识竞赛活动.经过几轮筛选，某班决定从甲、 知识点1极差 乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级 1.一组数据3,1,4,2，一1，则这组数据的极差 参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数 是() (单位：分)及方差如表所示： A.5 B.4 C.3 D.2 同学 分 丙 2.已知一组数据1,2,0，一1，x,1的平均数为1，则 平均数/分 98 96 98 95 数据的极差为 方差 0.4 2 1.6 0.4 知识点2方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛， 3.要判断小刚的数学考试成绩是否稳定，那么需 那么应该选择 要知道他最近连续几次数学考试成绩7.甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下 的( ) 各射靶5次，成绩统计如下表： A.方差 B.中位数 命中环数/环 9 o C.平均数 D.众数 甲命中相应环数的次数 0 4.如图所示，比较A组、B组中两组数据的平均 乙命中相应环数的次数 13 0 数及方差，以下说法正确的是( 若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人 的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？ 1组 B组 A.A组、B组平均数及方差分别相等 B.A组、B组平均数相等，B组方差大 C.A组比B组的平均数、方差都大 D.A组、B组平均数相等，A组方差大 5.在样本方差的计算公式，2=0[(x一30P+ (x2-30)2十…十(x20一30)2]中，数字20和30 分别表示样本中的( A.众数、中位数 B.方差、平均数 C.数据的个数、平均数 D.数据的个数、中位数 66 优社学泰·课时通 知识点3标准差 15.运算能力》某工厂甲、乙两名工人参加操作 8.班长调查了三班近10天的数学课堂小测验， 技能培训.现分别从他们在培训期间参加的 在这10天，小测验的不及格人数（单位：人） 若干次测试成绩（单位：分）中随机抽取8次， 为：0,2,0,3,1,1,0,2,5,1.在这10天中小测 记录如下表所示： 验不及格的人数() 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 A.中位数为1.5人 乙 83 92 80 95 90 80 85 75 B.方差为1.5人 (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数. C.极差为1.5人 (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从 D.标准差为1.5人 统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参 9.已知一组数据：1,3,2,5，x.它的平均数为3， 加合适？请说明理由. 则这组数据的标准差是 易错对于方差公式理解不透，计算错误 10.如图所示，是小明绘制的他在一周内每天跑 步圈数（单位：圈）的折线统计图.下列结论正 确的是( 十圈数 10-- 91 8 通素养a 7 02 :三四五六日岸期 16.数据观念某校八年级学生开展踢毽子比赛 A.众数是9圈 B.中位数是8.5圈 活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列 C.平均数是9圈 D.方差是7 名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100 通能力 ，修》净5>》》为沙为岁学>>>>沙》5学净少》 个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各 5名学生的比赛数据（单位：个）. 11.一组数据-1,0,3,5，x的极差是7，那么x的 班级 1号 2号 3号 4号 5号 值可能有( 总数 甲班 89 100 96 118 97 500 A.1个 B.2个 C.4个 D.6个 乙班 100 96 110 90 104 500 12.新视野》离差平方和的计算公式为s2= (x1一x)2十(x2-x)2+…十（xm-x)2.根据 统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以 计算公式解决问题.在某校举办的学习强国 通过考查数据中的其他信息来评判.试从两 演讲比赛中，六位评委给小华的评分（单位： 班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面 分)分别为8,7.5,9.5,8.5,8.5,9，则小华此 考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？ 次演讲比赛得分的离差平方和为 13.抽象能力》已知一组数据x1,x2,x3的平均数 和方差分别为5和2，则数据x1十1，x2十1，x3十 1的平均数是 ,标准差是 14.已知样本数据x1,x2,x3,x4的方差为2，则 4x1,4x2,4x3,4x4的方差是 一八年级·上册数学，色教版 67 第2课时 方差的应用（答案P17) 通基础 学的成绩较好？请简述理由 小聪、小明6次测试成绩统计图 知识点。方差的应用 成绩分 10 1010 小明 1.某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛， 小聪 对甲、乙两个车间进行了五次测试.其中甲车 间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分， 6 测试次序 方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是 90分，中位数是89分，方差是4.4.下列说法 正确的是() A.甲车间成绩的平均水平高于乙车间 B.甲、乙两车间成绩一样稳定 C.甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不 通能力学9 低于90分为优秀) 4.为了满足不同顾客对保温时效的要求，某保温 D.若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可 杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯.现从甲、 能性更大 乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温 2.学科融合》生物学研究表明，植物光合作用速 时效（单位：h)如下表： 率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了 甲款 11 12 13 15 解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研 乙款 6 人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在 如果甲款保温杯保温时效的平均数是乙款保 同等实验条件下，测量它们的光合作用速率 温杯保温时效平均数的两倍，那么乙的方差 (单位：mol·m2·s1),结果统计如下： 是 品种第一株第二株第三株第四株第五株平均数 5.某校举行了党史知识竞赛.为了解竞赛成绩 甲 32 30 25 18 20 25 (单位：分)，抽样调查了七、八年级部分学生的 28 25 26 24 22 25 分数，过程如下： 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 (1)收集数据.从该校七、八年级学生中各随机 (填“甲”或“乙”) 抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分 3.小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识” 数如下： 竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试， 81838485868787888990 获得如图所示测试成绩（单位：分）折线统计 92 92939595959999100100 图.根据图中信息，回答下列问题： (2)整理、描述数据.按下表分段整理描述样本 (1)要评价每位同学成绩的平均水平，你选择 数据： 什么统计量？求这个统计量 人数分数 80x 85x 90x 95x (2)求小聪成绩的方差， 年级 85 90 95 100 (3)现求得小明成绩的方差为s小明=3.根据折 七年级 6 2 8 线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同 八年级 3 68 优学奉·课时通 (3)分析数据.两组样本数据的平均数、中位 表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为 数、众数、方差如表所示： 什么？ 年级 平均数/分中位数/分众数/分 方差 七年级 91 89 97 40.9 八年级 91 b 33.2 根据以上提供的信息，回答下列问题： ①填空：a ,b= ,C= ②在样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同 通素养 学的分数都为90分， 同学的分数在本 7.某学校团委在八、九年级各抽取50名团员开 年级抽取的分数中从高到低排序更靠前.（填 展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整 “甲”或“乙”) 数的计分方式，满分10分.竞赛成绩如图所示： ③从样本数据分析来看，分数较整齐的是 16人数/人 年级.（填“七”或“八”） 14 12 ④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有 八年级 10 九年级 人的分数不低于95分. 6 6.教材P66议一议变式为了从甲、乙两名选手 4 6 10分数/分 中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次 (1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩 测验.两个人在相同条件下各射靶10次，为了 比较好吗？通过计算说明 比较两人的成绩（单位：环），制作了如下统计 (2)请根据图表中的信息，回答下列问题 图表（如图所示）： ① 年级 众数/分 中位数/分 方差 甲、乙射击成绩统计表 八年级 7 8 1.88 选手平均数/分中位数/分方差命中10环的次数 九年级 8 6 甲 7 表中的a= ,b= ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众 数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个 甲、乙射击成绩折线图 年级颁奖？ 成绩环 。甲 。--·乙 (3)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖， 8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？ 6 910次序 (1)请补全统计图表.（直接在表中填空和补全 折线图) (2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应 胜出？说明你的理由 (3)如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图 一八年级·上册数学，色教版 69(2)甲被录用，乙不一定被录用.理由如下： 因为85<85.5<90，所以甲的成绩落在第5组. 因为第5组只有7人，录用8人，所以甲一定被 录用. 因为80<84.885，所以乙的成绩落在第4组. 因为第4组共10人，乙不一定分数最高， 所以乙不一定被录用. 12.解：(1)804047% (2)200×35%=70(人)，200×25%=50（人）.设有 x人从甲部门改到丙部门报名，则(70一x)× 20%+40+(50+x)×80%=200×(47%+15%). 解得x=50. .有50人从甲部门改到丙部门报名. 2中位数与众数 1.D2.C3.B4.165cm5.156.中位数 7.C8.D9.B10.B11.众数 12.解：(1)这15名营业员该月销售量数据的平均数= 1770+480+220×3+180×3+120×3+90×4 15 278(件)，中位数为180件，因为90件出现了4次， 出现的次数最多，所以众数是90件！ (2)中位数最适合作为月销售目标. 理由：在这15人中，月销售量不低于278件的有 2人，月销售量不低于180件的有8人，月销售量不 低于90件的有15人，所以中位数最适合作为月销 售目标，有一半左右的营业员能达到销售日标. 13.8514.9环和8环15.A16.11 17.解：(1)中位数是4个. (2)4个或5个或6个或4个和5个或4个和6个， (3),抽查的50名工人需要接受技能再培训的频 是先云 '.估计该厂将接受技能再培训的人数为400× 25=64(人). 3从统计图分析数据的集中趋势 1.C2.18.75% 3.解：(1)1515 (2)50×(8X5+14X10+20X15+6×20+2× 25)=13(元). 答：这50名同学捐款的平均数为13元. (3)600×13=7800(元). 答：估计该校学生的捐款总数为7800元. 4.C 5.解：这个班学生捐款的众数是5元，中位数是5元 平均数为5×60%+10×10%+20×10%+50× 20%=16(元)，即平均数为16元. 6.C 7.解：(1)21 (2)9080 (3)①从平均数的角度看两班成绩一样，从中位数的 角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好. ②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度 看二班比一班的成绩好，所以二班成绩好. ③从B级以上（包括B级）的人数的角度看，一班人 数是18人，二班人数是12人，所以一班成绩好. 8.解：(1)xA= 3×190+4×195+5×200+6×205+2×210 3+4+5+6+2 200(km). 中位数为200km,众数为205km. (2)选择B型号汽车.理由：A型号汽车的平均里 程、中位数、众数均低于210km,且只有10%的车辆 能达到行程要求，故不建议选择；B,C型号汽车的 平均里程、中位数、众数都超过210km,其中B型号 汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行 程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更 经济实惠，故建议选择B型号汽车.（合理即可） 4数据的离散程度 第1课时极差、方差与标准差 (课程标准变动内容) 1.A2.43.A4.D5.C6.甲 1 7.解：因为xm=5X(7×2+8X2+10X1)=8(环)，xz ×7X1+8×3+9X1)=8(环).所以品=号× 1 [2×(7-8)2+2×(8-8)2+(10-8)2]=1.2,s2= 5×[(7-8)2+3×(8-8)2+(9-8)2]=0.4. 因为s>s2,所以乙同学的射击成绩比较稳定. 8.D9.√210.C11.B12.2.513.6√214.32 15.解：(1) xm=S5+82+8+81+98+79+84+78》=85(分. 8 r2-（83+92+80+95+90+80+85+7)-85(分. 8 这两组数据的平均数都是85分， 甲的中位数为82十84=83（分）， 2 ,83+85=84(分). 乙的中位数为2 (2)派甲参赛比较合适.理由如下：由(1)知x甲= 2=8×[(78-85)y2+(79-85)2+(81- 85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93- 85)2+(95-85)2]=35.5,s2=8×[(75-85)2+ (80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+ (90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.因为 x甲一x乙，s单<s乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛 比较合适. 16.解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个；乙班 5名学生比赛成绩的中位数是100个. 1 x甲=5×500=100（个）； 1 xz=5X500=100(个). 8=号×[(89-100)2+(100-10)2+ (96-100)2+(118-100)2+(97-100)2]=94: 2=号×[100-100y2+(96-10)2+110 100)2+(90-100)2+(104-100)2]=46.4. 甲班的优秀率为2÷5=0.4=40%； 乙班的优秀率为3÷5=0.6=60%. 选定乙班为冠军.因为乙班5名学生的比赛成绩的 中位数比甲班高，方差比甲班小，优秀率比甲班高， 综合评定乙班踢毽子水平较好，选定乙班为冠军. (合理即可) 第2课时方差的应用 1.D2.乙 3.解：(1)要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均 数即可， 小聪成绩的平均数：日×(7+8+7十10+7十9) 8(分)， 小明成绩的平均数：6×(7+6+6+9+10十10)= 8(分). (2)小聪成绩的方差：6×[3X(7-8)+(8-8)2+ (10-8)2+(9-8)2]=3: 4 (3)小聪同学的成绩较好. 理由：由(1)可知两人的平均数相同，因为小聪成绩 的方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定，故小聪 同学的成绩较好.（合理即可） 4.1 5.①69195②甲③八 ④160 6.解：(1)补全统计图表如下： 甲、乙射击成绩统计表 选手平均数/分中位数/分 方差命中10环的次数 甲 个 1 0 乙 7.5 5.4 甲、乙射击成绩折线图 牛成绩环 甲 10 ◆--7 012345678910次数 (2)甲胜出.理由：因为甲的方差小于乙的方差， (3)若希望乙胜出，可以将规则定为命中10环次数 多的胜出，因为乙命中10环为1次，而甲没有，所以 乙胜出.（答案不唯一） 7.解：(1)八年级成绩的平均数：(6×7+7×15+8× 10+9×7+10×11)÷50=8(分)， 九年级成绩的平均数：(6×8+7×9+8×14十9× 13+10×6)÷50=8(分)， 用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好. (2)①81.56 ②八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，九年 级的众数高于八年级的众数；八年级的方差为1.88， 九年级的方差为1.56，九年级的成绩波动小，所以 应该给九年级颁奖， (3)八年级的获奖率：(10+7+11)÷50=56%， 九年级的获奖率：(14+13+6)÷50=66%. .66%>56%, 九年级的获奖率高. 阶段检测三 （14) 1.B2.C3.A4.B5.D6.C7.乙 8.79.310.611.变大 12.解：(1).x甲=3×(91+80+78)= 3×249= 83(分)； 72=号×(81+74+85)=号×240=80（分）： w=日×(79+83+90)=3×252=84分). 1 因为84>83>80，所以从高分到低分小组的排名 顺序为丙、甲、乙 (2)根据题意，得x甲=91×40%十80×30%+ 78×30%=83.8(分)： xz=81×40%+74×30%+85×30%=80.1(分)： x丙=79×40%+83×30%+90×30%=83.5（分）. 由以上数据可知，甲组的成绩最高. 13.解：(1)696970 (2)86X4+84X4+70X2=82(分). 4+4+2 答：小涵的总评成绩为82分. (3)不能判断小悦能否入选，小涵能人选， 理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可 知，小于80分的有10人，超过80分的有10人. 因为小悦的总评成绩为78分，不能确定是否是前 12名，所以不能判断小悦能否入选： 小涵总评成绩为82分，进入前12名，因此小涵能 入选 本章综合提升 【本章知识归纳】 十+…十)最中间最多之差的平方 的平均数 [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x. n x)2]算术平方根 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：(1)根据数据所占比例得出结论即 可.(2)按平均数的概念求出平均数即可.(3)根据平均 数或中位数得出标准，并给出相应的理由即可. 解：1)30×100%=30%，360°X30%=108. 100 (2)x= 21×1+30×2+19×3+18×4+12×5 100 2.7(小时). 答：估计该校学生目前每周劳动时间的平均数约为 2.7小时.