第二章 3 分式的加减法-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

3分式的加减法 第1课时同分母分式的加减运算（答案6） 通基础 2x2+1x2-14-5x (5) x2-5x+6x2-5x+6x2-5x+61 知识点1同分母分式的加减法 1.(2023·河南中考)化简0二1+上的结果 a 是() A.0 B.1 C.a D.a-2 6.(2023·湖北鄂州中考)先化简，再求值： 2.计算1a a一1a7的结果是( 1,其中a=2. a2-1a2-1 A+智R91C-1 D.2 3.(2023·湖北黄冈、孝感、咸宁中考)化简： x2+12x x-1x-1 知识点2分母互为相反数的分式加减法 2.x 2y 4计算二yxy 7.化简a+b2+2a6 a-bb-a 的结果是() 5.运算能力计算： A.atb B.a-b 1)4b+66-u: abc abc abci Ca+6) D.(a6) a-b a+b 8.运算能力》化简： )+4+4z x-2T2-x9 (2)、2x2 z)十x义2—2y2 （y-x)2x2-2ay+y2 +号产 (3)a+9ba+36 3ab a2-4 Aa (3) a2-4a+4a2-2a )x24x4 x-2x-2x-2 30 优*学奉·课时通 易精三减式的分子是多项式，忽略添加括号导 通素第%游 致符号错误 14.阅读理解》阅读下面材料，并解答问题， 9.计算m 2m-1 m-1m-1 的结果是() 材料：将分式3拆成一个整式与一 A.m+1 B.m-1 个分式（分子为整数）的和的形式. C.m-2 D.-m-2 解：由于分母为一x2+1,可设一x4一x2十3= 通能力》%% (-x2+1)(x2+a)+b. 10.计算3x一y 则-x4-x2十3=(-x2+1)(x2+a)+b= (x-y)2 y)的结果为( ) -x4-ax2+x2+a+b=-x4-(a-1)x2+ 2x+2y 2x (a+b). A.(a-y) B. x-y)2 a-1=1, 所以 a=2, 解得 C.(a-y) D、2 a+b=3. b=1. x-y 所以4-x2+3 ,知果8十6=2，都么。。十”能值足 -x2+1 (-x2+1)(x2+2)+1 -x2+1 12.求代数式8x十2y+x (-x2+1)(x2+2) 1 x2-y2y2-a 2的值，其中x=2十y -x2+1 -x2+1 1 =x2+2+ -x2+1 这样，分式2+3 一x+1°被拆成了一个整式 x2+2与一个分式-x2+1 1 解答：将分式十，°拆成一个整式与 一个分式（分子为整数）的和的形式. 13.计算：+y十x十之一y十 x-y十之y-x-22十x-y 一八年级·上册·数学，色教版 31》 第2课时 异分母分式的加减运算（答案P7) 通基学游 知识点2异分母分式的加减法 6.下列计算正确的是( ) 知识点1最简公分母与通分 1分式与。的最简公分号是 A.1+1=1 x 2x 3x B.11=1 x y x-y ) A.10x7 B.7x7 C.10.x1D.7x1 D.21-2-x x+1 xy y xy 1 与 1 2 2.(2023·淄博张店区期中)分式 x2+5.x 7.(2023·天津中考)计算。-1-1的结果 x2一25的最简公分母是( 1 等于() A.-1 B.x-1 A.x(x+5) B.(x+5)(x-5) 1 1 D.- C.x(x-5) D.x(x+5)(x-5) C.- x+1 x2-1 a 56 3.分式6a+)‘06'4a”的最简公分8.计算： 4 a+2a2+2a 母是() A.24(a+b)(a-b)(a2-b2) 9对于公式其-后十官若已知R和R则 B.12(a-b)(a2-b2) R2= C.(a+b)(a2-b2) 10.计算： D.12(a2-b2) 1)5 213 6ab 3ac Abci 4(2024·烟台菜洲期中)分武23V4v了 的最简公分母是 5.通分： (2) 2a1 'a2-9a-3 1Da(6+1)'6(b+1) 1 2y (3 6x-4y6x+4y4y2-9x2 2a 4(2a-1) (2)2a+1'4a2-4a+1 知识点3分式加减法的应用 11.甲、乙两个码头相距s千米，某船在静水中的 速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则 1-a (3) a-1 船一次往返两个码头所需的时间为() (a+1)2-4'2-4a+2a2 2s 2s A. B +b a-b Ca+ D.s 'atb a-b 32 优女学奉·课时通一 12.教材P34习题2.6T2变式》某市地铁1号线在 16.(2023·湖南衡阳中考)已知x=5,则代数式 修建过程中准备打通一条长600米的隧道， 24的值为 3 由于采用新的施工方式，实际每小时打通隧 x-4x2-16 道长度比原计划增加5米，从而缩短了工期. 17.(2023·黑龙江大庆中考)先化简，再求值： 若原计划每小时打通隧道a米，求实际打通这 2x十2_4，其中x=1, x+2x-2 条隧道的工期比原计划缩短的时间 2x+3 18.(2024·东营广饶期中)若(x+1)(x+2) 十1z十2恒成立，求3A-2B的值. AB 易精固通分与解方程的去分母混淆，丢掉分母 1以化商”名。1 4x2 圆圆的解答如下：24z一2一1=红一2x+ 2)-(x2-4)=-x2+2x. 0通素第》 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确 19.模型观念》王阿姨与李阿姨上街买菜，但两 的答案. 个人买东西的习惯不一样，王阿姨喜欢买定 量的菜，李阿姨喜欢买一定总钱的菜，她们总 是一起在同一个地方买相同价格的菜.以购 买两次东西为例，设两次购买东西每千克的 价格分别为a元，b元(a≠b).试分别表示出 王阿姨和李阿姨平均购买菜的价格，并利用 作差法求出两种购买方式中哪一种更合算， 通能力刀》沙 14.几何直观》如图所示，若x为正整数，则表示 (x+2)2 x十的值的点落在( ) x2+4x+4 ① ③④ -0.2 0.4 1 1.6 2.2 A.段① B.段② C.段③ D.段④ 3 15.分式2(x+1D'51-)'2=1 2x ,1一2x的最简公分母 是 一八年级·上册·数学，色教版 33) 第3课时 分式的混合运算（答案P8) 通基学游 知识点2分式的化简求值 知识点1分式的混合运算 5.当a=2时，4-20+中÷（公-1）的结果 a? 4 1.化简十2十x一2的结果是(） 是( 22 C. A爱 c D.-2 A.1 B x2-4 x+2 D.x+2 6.先化简，再求值： 2化简。)：。的结果是( ) ωg*28 ）,其中x=5; A.a-b B.atb C.1 "a-b D.1 'atb 4.计算：1)a+3a):a2-9。 a-3 (2.2.20.0),我中2a6= a (2) _n2m2 易错五① 分式与整式相加减时，缺乏整体观 m十nm-nm2-n29 念，符号处理错误 7.阅读下列计算过程，回答问题： x2 x+1-x+1 a+）小+加 x+1-(x十1)0 (x+D'@ x+1x+1 -x2-x2+2x+18 1-32 x+1 2a+69 -2x+1 x+1 以上过程有两处关键性错误，分别是 请写出此题的正确解答过程 5)(1。-1)÷x x-2x十2x2-4 34 优*学奉·课时通 易精②代值时，忽略分母不为0的条件 14.运算能力以下是某同学化简分式a二b 8.先化简，再求值：( a+1-a+1)÷ a2-4 a2+2a+1' (a-2ab-b2 的部分运算过程： a 其中a从一1,2,3中取一个你认为合适的数代 入求值. 解：原式=a一b a-a-b.2ab-b …第一步 a a a a-b 1 a-b a a a a 2ab-b2…第二步 a-b a-b 2ab-一62…第三步 (1)上面的运算过程从第 步开始出 通能力 现了错误。 (2)请你写出完整的解答过程. 9.计算4-4：(a+1-50-4)的结果是( A.Q+2 a-2 B.4-2 a+2 C.（a-2)(a+2) D.a+2 a a 15.先化简，再求值：a一-6ab十962 a2-2ab a-2b 10.老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结 果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图 u-26)-号其中a,b满足0十6=8， a-b=1. 所示，则被遮住的部分是( x2-1 x x+1 x2-2.x+1x+1x-1 x-1 2x-1 A.2x+1 B. x-1 c 2x+1 D. 通素养3 x-1 山若+3=0，则-》·司 16宝集能先化简求值：·（十 x+1≥0， 1),其中x是不等式组 的整数解 5-2x>3 12.已知m十n=-3,则分式m+” (仁m2-”2-2n）的值是 m 11 1 13.设a,b是实数，且1十一1中6一a则 1+b+1+0的值是 1+a1+b 一八年级·上册·数学，色教版 35a 9a 14,A15.D16.B17.6d18.46 19.-6°c20.8 21解：1原式=3××)·6· a6·ab3 2.解：原式-a-儿a+)a+)· 。+北。+) -ae-e+是++》 =aa-(e+)a+) -ala-a)(w+) 第2课时分子、分母为多项式的分式 的乘除运算 1.A2.1十x 1 3.a+2 4解：1原式+少.2兰=2x x+1 (2)原式=，x+3.x-1)1 (x-1)2`x(x+3)x 1 5.B6.B7. a-2 8.解：1)2=Dx-1 x+1x+1x十1 (2)x-y÷ x2-y2 x-2y'x2-4xy+4y2 =t-y (x-2y)2 _x-2y x-2y‘(x+y)(x-y)=x+y 8.6÷8 。a-4 =二a+40a-4 (a+4) 2(a+4)--2. a-4 9.解：原式=a十.a-2》.a+1a-1)。-2 (a-1)·a+1‘(a+2)(a-2)-a-1 10,解：原式=9一a)9十a).2a+3).12 (a+3)2 9-aa+9a+3 当a=3时，原式=3十33 21 山B12.13 "n+1 14.解：a-1, a2-4 1 :a+2‘a2-2a+1÷a2-1 -a-.a-2)a+2.a+1a-1D a+2'(a-1)2 =(a+1)(a-2)=a2-a-2. a2-a=0, .原式=0-2=-2. 15.解：原式=m+1)m-1).1·m(m+2)_ (m+2)2 m+1 102-1 63 m十2当m=6时，原式=十2手（答案不唯-， m≠-2，士1) (x-1)2 ,x+1 16.解：原式=x+D-D‘x-D·r=r.因 为当x=2和x=一2时，x2的值都等于4，所以虽 然李明同学把“x=2”错抄成“x=一2”，但是他的 计算结果也是正确的， 17.解：(1)“惠民1号”玉米试验田面积是π(R一 450 1)m,单位面积产量是x(R1Dkgm； “惠民2号”玉米试验田面积是π(R2一1)m,单位 面积产量是450 π(R2-1)kg,m. .R2-1-(R-1)2=2(R-1),且R-1>0, .0<(R-1)2<R2-1. 450 450 π(R2-1)π(R-1)2: ∴.“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量高. 450 450 (R-DRD (2) (RIXR 1)R 450 450R-1' 故高的单位面积产量是低的单位面积产量的 食二 3 分式的加减法 第1课时同分母分式的加减运算 2 1.B2.C3.x-14. x+y 5.解：1)原式=a-6+6-一a十c=0. abc (2)原式= 2x2 x2-4xy x2-2y2 (x-y)2(x-y)2(x-y)月 2x2-4xy+2y2 (x-y)2 2(x-y)2 （x-y)=2. (3)原式=a+96-(a+36)6b2 3ab 3ab a (4)原式=-4红+4(x-2) x-2 x-2 =x-2. (5)原式=2x2+1-x2+1+4-5x x2-5.x+6 =x2-5x+6 =1. x2-5.x+6 1=a-1= a-1 1 6.解：。1a2-1a-1(a+1)a-1D)a+T 11 当a=2时，原式=2十1=3 7.B 6 8.解：1)原式=-+44红。-x+4-4r--2》 x-2x-2x-2 x-2 x-2 (2)原式=- y 1-x2 1-.x2 x+2y-y+1-y x+1 1 1-x2 (1-x)(1十x)1-x -2-8号 3)原式a十2a24a 4a+2-4=1. a-2a-2 9.B10.D11.2 12.解 3x+2y+x x2-yy2-x2 3.x+2y (x+y)(x-y)(x+y)(x-y) 2(x+y) 2 (z+y)(x-y)x-y' 当x=2+y时，原式=2+y-y 2 =1. 13.解：原式=x十y一x十x y十z x一y十之x一y十zx-y十之 =x十y一x一之一y一之 x一y十之 x-y十 14.解：由于分母为一x2十1，可设一x4一6.x2十8= (-x2+1)(x2+a)+b. 则-x4-6.x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b= -x-a.x2+x2+a+b=-x4-(a-1)x2+ (a+b). 所以a-1=6, a+b=8. 解得7， b=1. 所以x6x+8==x+1)x2+7)+1_ -x2+1 -x2+1 (-x2+1)(x2+7) 1 1 -x2+1 +-+x+7+-+ 第2课时异分母分式的加减运算 1.A2.D3.D4.12x2y2x3 5.解：(1)最简公分母为ab(b十1)， b a(b+1)ab(b+1) a a b(b+1)-ab(b+1) (2)最简公分母为(2a+1)(2a-1), 2a 2a(2a-1) 4a2-2a 2a+1(2a+1)(2a-1)(2a+1)(2a-1)’ 4(2a-1)4(2a-1) 4 4(2a+1) 4a2-4a+1=(2a-1)=2a-1=(2a+1(2a-1D 8a+4 -(2a+1)(2a-1) (3)最简公分母为2(1一a)(a十3)， a-1 a-1 (a+1)2-4(a+1+2)(a+1-2)-a+3 2-2a 2(1-a)(a+3)' 1-a 1-a 2-4a+2a22(1-a)22(1-a) a+3 2(1-a)(a+3) 6.D7.C8.a-2 RR a 9.R,-R 10c 86 9a 10. 解：(1)原式= 12abc 12abc +12abc 10c-8b+9a 12abc 2a-(a+3) (2)原式= a-3 (a-3)(a+3) =(a-3)(a+3) 1 a+3 1 (3)原式-2(3x-2y)2(3x+2y） -2y 3x+2y-3x+2y4y=0. (3x+2y)(3x-2y)）-2(3-2y)(3x+2y 11.D 12.解：原计划每小时打通隧道a米，实际每小时打通 隧道(a+5)米.由题意，得 600600600(a+5) 600a 3000 a a+5a(a+5)a(a+5)a(a+5) （小时. 所以实际打通这条隧道的工期比原计划缩短的时 3000小时. 间为。+5d 13.解：圆圆的解答不正确. 4x2 正确解法：二4一2一1 2(x+2)(x-2)(x+2) (x-2)(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)(x+2) 4x-2.x-4-x2+4 2x-x (x-2)(x+2)(x-2)(x+2)x+2 14.B15.10(x+1)(x-1)16.3 2x(x-2) 17.解： 解：22二2-4十2z-2 x(x+2) Ax (x+2)(x-2)十(x+2)(x-2) 2x2-4x-x2-2x十4x= x2-2x (x+2)(x-2) x+2)(x-2) x(x-2) (x+2)(x-2)x+2 11 当x=1时，原式=1十23 2x+3 18.解：“(x+1)+2)x+1x+2 A(x+2)-B(x+1) (x+1)(x+2) ∴.2x+3=Ax十2A-Bx-B=(A-B)x+(2A-B), ∴.A-B=2,2A-B=3. 将两式相加，得3A-2B=5. 19.解：设王阿姨每次购买mkg,则王阿姨买菜每千克的 平均价格为2十m=“，b(元). 2m 设李阿姨每次总是购买元的菜，则李阿姨买菜每 千克的平均价格为，2n=2ab (元). ”+”a+b a'b a+b_2ab_(a+b)2-4ab_(a-b)2 2a+b2(a+b)2(a+b)' :a,b是正数，且a≠b, ÷08o2 “2>a+b 即王阿姨买菜的平均价格比李阿姨的平均价格高， 因此每次总是购买一定总钱的方式更合算. 第3课时分式的混合运算 1.D2.B3.-a 4.解：1)原式-a(a十3)÷(a+3)(a-3) a-3 =a(a十3)· a-3 (a+3)(a-3)-a. m2-m1 mn (2)原式= (n十n)(m-n)(m十n)(m-n) 十 2m2 m2-2m十n2_n-n (m+n)(m-n)(m+n)(m-n)m+1 (3)原式= x一x十x÷2x-2+x+1一x+1 (x+1)(x-1) (x+1)(.x-1) ,(x+1)(x-1)_x (x+1)(x-1) 2.x2 2 (4)原式=a+3-4.2(u+3)-a-1,2(a+3》 a+3(a-1)a+3(a-1)7 2 a-1 原式--分.4+-》 4 (x+2)(x-2)4 x-2)(x+2)· 5.D 6潮：0号(g =x-1÷「x(x+3)5x-17 x2-glx2-9x2-9」 =x-1÷x2-2x+1 x2-9x2-9 =t-1 x2-9 x2-9(x-1)2x-11 当x=5时，原式=4 1 (2a-b:(a 2ab-b2 a =a-b、a2-2ab+62 =q-b 1 ‘(a-b)-a-b 5 因为2a-2b=5,所以a-b=2: 听以原式=日号 7.解：①③ 正确解答过程：x十1一x十1 +1-(x-1) = =-x-1D(x+1) x+1x+1 =x2-x2+11 x+1x+1 8解：(3 a+1-a+1)÷ a2-4 a2+2a+1 3-(a-1)(a+1Dx,(at1) a+1 (a+2)(a-2) =-(a+2)(a-2) (a+1)2 a+1 ×a+2a-2)-a-1. 要使原式有意义，只能a=3. 当a=3时，原式=-3-1=-4. 9.A10.D11.312.3 13.3 3。÷(。26)--6-2h+6 14.解：(1)一 a =q-b 1 a ‘(a-b)2-a-b 15.解：原式=(a-36)2÷962-a21 Γa(a-2b)·a-2ba =(a-3b)2 a-26 1 a(a-2b)(3b+a)(3b-a)a 3b-a1 2 a(3b+a)a 3b+a a+b=8, la-b=1, 9 a=2' 7 b=2’ .a+3b=15. 六咏式=忌 6解号) x+1 1+x+1 =(x+2)(x-2)x十1 1 x-2 舒不等式年十 得-1≤x<1. :x是不等式组女十0，的整数解， 5-2.x>31 x=-1,0. .当x=一1时，原分式无意义，x=0. 当=0时原式=己之=分 1 专题三分式的运算与化简求值 1解）号 x+y x十y 2x-y(x-y)21.x+y Lx+y (x+y)(x-y)]x-y =(2x-y-x-).+y x+y z+y!x-y = xx十yx x+y x-y x-y “x=(分)=2y=(-2026)°=1， 原式-2名2 2解(m+2-)÷09 m-2 _(m+2)(m-2)-5.m-2 1m-2 2(m-3) _m2-4-5_(m+3)(m-3)_m+3 2(m-3) 2(m-3) 2 当m=()=4时，原式=4牛37 2-2 3.解：心-y=2,x=3y. y (1+1)÷ x-y r+y(x-y)2 2x (x-y)2 =(x+y)(x一y) -2(x-2=4=1. x+y 4y 4期-1)2 x2-4 =「x-1Dx+1)-37,(x+1)2 Lx+1x十1x2-4 =x2-4.(x+1D x+1x2-4 =x+1. x+1≠0，x2+2x十1≠0，x2-4≠0， x≠-1，x≠士2. 当x=1时，原式=1+1=2. 5.解：原式=[-1x-+2x-2.(x-2 x(x-2)x(x-2)」-(x-4) =2-x-x+4,(x-2)2 x(x-2) -(x-4) x-4(x-2)2x-2 = x(x-2)一(x-4) 医使号生)有在义 ·x2-4x+4 必须x≠0且x-2≠0且4一x≠0且x2-4x 4≠0 所以x不能为0,2,4， 所以x可以取一2或一4.取x=一2， 当工=一2时，原式=2,2=2.（答案不唯一） 一2 6.解：原式= 「(x-1)2,(x+2)(x-2) x(x-1) x(x+2) ·x= ·x=2x-3. x为满足-3<x<2的整数， x可以取-2，-1,0,1 x要使原分式有意义，x≠-2,0,1，x=-1. 当x=-1时，原式=-5. 7.解：原式=m(m2÷「9+m-3)m+3 (m-2)2、m-3 m-3 m2(m-2)÷9+m2-9=m2 ÷m2 (m-2)2·m-3m-2°m-3 m2,m-3_m-3 m-2n21-2 ,m是已知两边分别为2和3的三角形的第三 边长， .3-2<m<3+2,即1<m<5. ,m为整数，.m的值可以为2,3,4， 由分式有意义的条件，可知n≠0,2,3， w=原式-号号 8.解：原式= (m+2)(m-2)-5.mm-2） m-2 13 (m十3)(m-3).m(m-2) m-2 m-3 =m(m十3)=m2+3m. .m2+3m-4=0,.m2+3m=4, .原式=4. 9.解：原式=十4÷4-(a十2) a2-4 a+2 a+4 a+2 (a+2)(a-2) -a2-4a a+4 ·+2 (a+2)(a-2)-a(a+4) 1 三 a(a-2) 1 三 a2-2a a2-2a-1=0, .a2-2a=1. 当。-2a=1时，原式=一}-1 解：-1z）时4 x+1 -x2-1-3.x+1=(x+2)(x-2)_x-2 x十1(x十2)2 (x+2) x+2 1 解方程之一1-x一2=0，得x=3 25 当x=时，原式-十号一 x+2-7 9