第二章 1 认识分式-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

7.A8.A 9.解：不能构成三角形.理由：α2+b2十 cia+6+2-ac-灰=02-ac+子)十 6-c+)=0(。2)+6-)°=0 a-2c=0咀6-c=0,即a=且6=20 .a十b=c,∴.无法构成三角形. 10.证明：原式=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2. .-2.x2≤0，(x-3)2≥0， .一2x2(x一3)2≤0，.不论x取何实数，原式的 值都不会是正数. 11.解：(1)(b-a)(5a+b)5(a+b)(a-b) (2)(x-y+1)2(a+b-2)2 (3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2. 所以若n为正整数，则式子(n十1)(n十2)(n2+ 3n)+1的值一定是某一个正整数n2+3n+1的 平方. 本章综合提升 【本章知识归纳】 整式的积m(a十b十c)(a+b)(a-b)(a士b)2 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：利用代数式分别表示出图①，图②阴 影部分面积即可解答问题. a2-2ab-3b2=(a十b)(a-3b)解析：由题可知，题 图①阴影部分面积为a-2ab-3b2,题图②是长为 a十b,宽为a-3b的长方形，因此面积为(a十b)(a 3b). ,两个图形阴影部分面积相等， .a2-2ab-3b2=(a+b)(a-3b). 【变式训练1】(a+b)(a+2b) 【例2】思路分析：首先利用公式法将a2一b2因式分解， 再将a十b看成一个整体，充分化简运算. 2029 【变式训练2】36 【例3】思路分析：通过已知条件，找到a,b,c的关系： ab十ac=-bc,ac+bc=-ab,abc=-2023,即可获 得答案. -1解析：.a2(b+c)=b2(a十c), ..a'b+a2c-ab2-b2c=0, .ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, .(a-b)(ab+ac+bc)=0. .a≠b, .a一b≠0， .∴.ab+ac+bc=0,即ab+ac=-bc,ac+bc=-ab. ,a2(b+c)=a(ab+ac)=2023, .∴.a(-bc)=2023, ..-abc=2023, .∴.abc=-2023, .c2(a+b)-2024=c(ac+bc)-2024=c(-ab) 2024=-abc-2024=-1. 【变式训练3】解：(1)直接配方，得(a十2)2=0，解得 a1=a2=-2. (2).x2-4x+y2+6y+13=0, .(x-2)2+(y+3)2=0, 解得x=2,y=一3. .(.x十y)2024=(2-3)-2024=(-1)-2024=1. (3)a2-2a-8=0, .(a-1)2=9, 两边开平方，得a-1=士3， ∴.a1=4,a2=-2. 【通模拟】 1.B2.D3.C4.B5.B6.125 7.a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)(a-1)(a2+a+1) 8.解：(1)原式=n3(m-2)-n(m-2) =n(m-2)(n2-1) =n(m-2)(+1)(n-1). (2)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a) =(a+2)2(a-2)2. 9.解：(1)原式=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2. (2)原式=(m2-5+1)2 =(m2-4)2=[(m+2)(m-2)]2 =(m+2)2(m-2)2. 10.解：(1)(x-1)(x4+x3+x2+x+1) (2)(.-1)(x"-1十x”-2+…十x+1) (3)根据上述规律，可得2一1=(2-1)(2+2+ 2+23+22+2+1), .26+2+2+23+22+2+1=27-1. 【通中考】 11.C 12.2(a+2b)(a-2b) 第二章分式与分式方程 1认识分式 第1课时认识分式 2S 1.B2.C3m+n 4.A5.B6.-3 7.解：0要使有意义，需2x-3≠0. 解得x≠1.5. 当1.5时二号有意义。 6(x-3)」 (2)要使x-12有意义，需1x-12≠0. 解得x≠士12. 当士12时二2有意义 （3)要使十6有意义，需x2+1≠0. x2+1 肖x为任意实数时，有意义， (4)要使x2-4x十4 1 意义，需x2-4x十4≠0. 即(x-2)2≠0，∴x≠2. 当x≠2时，x2-4x+4 1 有意义. 8.A 9.解：当x=-1时，=二1-1 x+2-1+2-2: 当x=2时，x一1-2-11 ”x+22+241 10.B11.B12.D13.A14.B15.A16.A 4 1500 17.318.2x+35 19.解：当x=2时，分式2无意义， x-2m .∴.x-2m=2-2m=0. .∴.m=1. 把m=1=3代入得 mx 1X3 3 x十m3+14 2解：1分情况计论：当后90时。 y的值为正数解得2>1<号无解。 当侣0时y的值为正数。 解得子<<1. 当号<<1时y的值为正数。 (2)分情况讨论： 当任8时的值为负数， 解得<号 当后一时y的简为负数 解得x>1, 当>1或x<号时y的值为负数。 (3)当x一1=0且2-3.x≠0，即x=1时，y的 为零 (4)当2-3红=0，即x=号时，分式无意义. 第2课时分式的基本性质 1.D2.B3.B 4.(1)6a2(2)a-2 5号2)-品 6.解：(1)分子、分母都乘y,条件是y≠0. (2)分子、分母都除以m一n,条件是m一≠0. 7.D 8.x-1解析 x2-1_(x+1)(x-1D=x-1. x+1 x+1 9.解：(1)原式=-3ab. (2)原式=a+b)(a-b)_a-b (a+b)2 a+6' 10.B 112+y x+y 12.B13.A14.C 1 15.2 16.解：1)2-a=-(a-2) _a-2 a2-4a2-4 a2-41 (2) x一x2 一(x2一x) x2-x 2.x-x2-1 -(.x2-2.x+1)x2-2.x+11 17,解：原式十 (2原式=10x-12y 16.x+5y 18.解：(1) m2-9_(m+3)(m-3)_m-3 m2+6m+9 (m+3)2 m+3 当m=5时，原式=6十3 5-31 (2)n+n2 n(m+n) n m2-n2 (m+n)(m-n)m-n' 当m=3, 4 n=4时，原式=3-4一4. 19.解：a-2+162-251=0. b-5 ÷0.且650解释份2 b=-5. :6a a-b 1 a2-62= (a+b)(a-b)=a+b' .当a=2,b=-5时， 1 1 原式=一2+(-5)3 20.解：不正确. 理由：当x=1时，原分式没有意义，故x的取值不 能为1，也不能为0，-1. 21.解：y2+4y+2=0,y2=-4y-2, -4y-2 原式=(-4-2)+2(4y+2)+4 -4y-2 值 16y2+24y+12 -4y-2 16×(-4y-2)+24y+12 -4y-2 -40y-20 1 10 2分式的乘除法 第1课时分子、分母为单项式的分式的乘除运算 2c 1.C2.C3.5m64.-8xy 3 5.C6.A7.C a2a9. 36 3 8 2ac10.D11 3 1y12.- 13.解：1)原式=2ry.5mm,3n1 3mn2 4xy2 5xym 2y2' (2)原式=-3mb.8a2c2.7a4a 3cd2·21bd·-2c-3d (3)原式=06.c2.4626 2c‘ab2‘a2c=c （4)原式=·之 y° 5第二章分式与分式方程 一大单元建构 注意分付不为零的条件 分式有、无意义的条件 (乘除冫一乘力 分式的定义 分式的运算 加减 〔分式值为季的条件 混合达算)运算顺序 依据 分式与分式方程 (定义) (通分 分式的基木性质 分式方程 (解法)一思格：化为整式方程 〔最简分式 实际应用 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 通过分析实际问题中的数量关系列代数式，抽象出分式的概念：类比分数的基本性质抽象出分式 抽象能力 的基本性质；借助分数知识抽象出最简分式、最简公分母的概念；借助实际问题列出分母中含有未 知数的方程，抽象出分式方程的概念 利用分式的基本性质进行分式的变形、约分、通分；能进行分式的加、减、乘、除、乘方及混合运算； 运算能力 利用比例的基本性质求值；解分式方程及列分式方程解决实际问题 模型观念 利用表格、线段等分析实际问题中的数量关系，建立分式方程模型解决实际问题 分式与分数、因式分解、一元一次方程、函数等联系密切，在中学数学、物理、化学等学科和生产实 应用意识 践中有着广泛的应用 一八年级·上册：数学，色教版 21 1 认识分式 第1课时 认识分式（答案P4) 通基础 、6(x-3) (2)x1-12 知识点1分式的概念 1.(2023·江苏无锡滨湖区期末)下列式子是分 式的是() A B. (3)+6 "x+1 x2+19 C.x+y n 2湾能方水列名式“中3之中拾 (4) 品红一)，罗其中分式共有( x2-4.x+4 ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.某水库大坝的横截面梯形的面积为S,上底长 为m,下底长为n,则梯形的高写成分式 知识点3分式的值 为 知识点2分式有、无意义及值为0的条件 8.当a=-1时，分式a+a( a2-a ) 4.(2023·广西中考)者分式十有意义，则x A.等于零 B.等于1 C.等于-1 D.没有意义 的取值范围是() A.x≠-1 B.x≠0 9当12时，分别求分式的值。 C.x≠1 D.x≠2 5(②023，江茶含州中考)若代数式，二的值是 0,则实数x的值是() A.-1B.0 C.1 D.2 6苦分式的值无意义，则2的值 是 易错三判断分式，忽略π是常数，或是误约分 7.当x满足什么条件时，下列分式有意义？ 判断 (1)x2 2x-3 10.下列各式：5(1-x) 5 4x m+n a-x’π-3'm-n y,5x,其中分式有( 2， ) A.2个B.3个 C.4个 D.5个 22 优林学奉课时通 通能刀沙 17.已知x=6时，分式+ 无意义；x=一8时， x-a 11.下列各式的值可能为零的是() 分式x+b的值为0，则2 Am2+1 B.m-1 x一a m2-1 m2+1 18.应用意识》某市对一段全长1500米的道路 C.m+1 D.m2+1 进行改造，原计划每天修x米，为了尽量减少 m2-1 .m+1 施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每 12.若2m 着m一1一6(m一2)°有意义，则m的取值范 天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这 条路实际用了 天 围是() A.m>2 B.m<1 9当x=2时，分式，22无意义，则当x三3 C.m≠2或m≠1 D.m≠2且m≠1 13.在下列各式中，无论x取何值，分式都有意义 时求分式n的值 的是() x 2x2 A.x2+2x+4 B 2x+1 e 0.2d 14.下列关于分式的判断，正确的是() A.当x=2时，+1 'x-2的值为零 通素家》n B.无论x为何值· ,的值总为正数 .x-1 20.运算能方》已知y一2-3z,x取哪些值时： C无论x为何值，不可能得整数值 (1)y的值是正数.(2)y的值是负数.(3)y的 值是零.(4)分式无意义. D.当x≠3时，乙一3有意义 15.探究拓展》已知一列均不为1的数a1,a2, 1+a1 a3…,an满足如下关系：a=1-41 1+a21+a3 1-a ,d一1一a 1十m,若a1 ,…,am+1=1-an 2,则a2o27的值是( ) A司 B. C.-3 D.2 6若分式。2的值是正整数，则m可取的整数 有() A.4个 B.5个 C.6个 D.10个 一八年级·上册：数学，色教版 23 第2课时 分式的基本性质（答案P5) 通基仙 (2) （m-n) 学沙少》>>>冷沙>>>5>许》冷>净少> 2(m-n)22(m-n) 知识点1分式的基本性质 1.下列变形正确的是( 号日 B.4=ac D.8- 知识点2约分 2下列分式与分式+的值相等的是( .当x6y2时，代数式的值 为( ) A B.之1 x+1 b.3 1 A.2 C.1 D.2 C.-1 x+1 D+1 x-1 8.(2023·四川自贡中考)化简： x2-1 x+1 3.不改变分式0.2一1 0.5十3的值，把它的分子和分母中 9.约分： 各项系数都化为整数，则所得结果为( (1)- 6ab2 a2-b2 26 (2 2.x-1 2x-10 a2+2ab+b2 A.5x十3 B. 5x+30 2x-1 2x-10 C.5x+30 D.5x+3 4.教材P24随堂练习T变式利用分式的基本性质 填空 (1)3a =() (a≠0). 知识点3最简分式 5xy 10axy a-2 10.在下列分式中，属于最简分式的是() 2)。“a+4(y 1 4 2x B x2+1 C.1 ·x2-1 D.I-z 5.不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含 x-1 负号 11.在分式，22十y,x-1ab -5.x 八2a'x+y'2-1'a6-26中，是最 (1) 2y 简分式的有 (2)一-3b1 -a 易精约分时，忽略分子、分母的因式分解，误 约部分项 6.教材P22例2变式》下列各式是怎样从左边变形 12.(2024·烟台莱州期中)下列式子一定成立的 到右边的？需要满足的条件是什么？ 是() A.=y+3 xx+3 B. 2x “x+32x+6 C.x=x x r2 D.'y y 'x-xy 1-y 24 优社学秦·课时通一 通能刀沙 (2)n+n2 m-2其中m=3,m=4. 13.计算x+y)2-(x-y) 的结果为( Axy A.1 . c D.0 14.设分式2a-3 19.若a6为实数，且a-2》十2-25=0，求 =k,若把分式中的a和b都扩 b-5 6ab b-a 大至原来的2倍，则分式的值为() a6的值. A.2k B.k D.4k 15.已知x-y=4xy,则2x+3xy-2y x-2xy-y 16.不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的 最高次项的系数都是正数 20.图图碰到这样一道题： (1)24 a2-49 （2)x2 2.x-x2-1 将分式+2)(x-1)约分，并选择一个你喜 x3-x 欢的数代入求值. 图图这样解： (x十2)(x-1)=(x+2)(x-1)x十2 17.不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中 r-x x(x+1)(x-1)x(x+1)1 的各项系数都化为整数，且使分子和分母不 含公因式. 当x=1时，原式=) 11 4 图图的解法正确吗？试说明理由. 2a+36 (1) 21, （2)5+0.25y 1 30-4b 21-0.6y 道素第9999n9 21.运算能力》若y2+4y十2=0，求- y-2y2+4 的值. 18.先化简，再求值： (1)m2-9 m+6m十9其中m=5. 一八年级·上册·数学，色教版 25