第十二章 分式和分式方程 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

项目学习一主题探究（二） 最优设计方案 解：(1)在题图②Rt△ABM1中，BM1=300m,AM1= 500m, .AB=√AM-BM=400m. 5000 :村落与河流邻接长度5000m,400 =12.5(个)， .该水利部门至少需要布设13个监控器。 (2)如图所示，过点M1作M1V⊥AB于点N,依题意 M,N=300m. 1 在Rt△M1NB中，BM1=375m, .BN=√/M1B2-MN2=√/3752-3002=225(m). 设AN=xm,则AB=AN+BN=(225+x)m, 在Rt△AM1N中，AM=AN+M1N2=x2+3002, 在Rt△ABM1中，AM=AB2-BM=(225+ x)2-3752, .x2+3002=(225+x)2-3752, 解得x=400,.AN=400m, 在Rt△AM1N中，AM1=√AN+NM=500m. ,监控器有效监测距离500m,∴.符合题意， ∴.AB=AN+VB=400+225=625(m). :村落与河流邻接长度5000m,625 5000 =8(个)， ∴.该水利部门至少需要布设8个监控器. 项目方案3：600解析：AM,BM,,且AM,= BM, ∴.△ABM1是等腰直角三形. 如图所示，过，点M,作M,N⊥AB于点N. .∴.AB=2M,N=600m. 即监控器M1监测范围AB的距离为600m. 反思提升：二监控器M1监测范围AB的距离最大， 则水利部门布设监控器个数最少 限时训练 12.1分式(1) 1.解：1当1-2x≠0，即x≠时，分式有意义. (2)当x|-1≠0，即x≠士1时，分式有意义. (3)因为当x取任意实数时，x2十50， 所以当x取任意实数时，分式都有意义. (4)因为x2-2.x+1=(x-1)2, 所以当x≠1时，x2-2x十1≠0，分式有意义. 2解，1原式-长-器（2原式- 解析：(1)分式的分子与分母同乘6，得 2 3 原式3无文6一2少×6 4x-9y 5 X6+6y 5x+6y (2)分式的分子与分母同乘10，得 原式= 3a-20b -10a+7b 12.1 分式(2) 1.解：(1)原式=-6xyz. (2)原式= ab3 =a2b2 ab(a+1)a+1 (3)原式=（a+3b)(a-3b)_a+36 (a-3b)2 a-36 2.解：原式= 3(.x-1)3 (x-1）=-1 要使得原式为正整数，则x-1=1或x-1=3, 解得x=2或x=4. 12.2分式的乘除(1) 解：(1)原式= .5(x-y) 9.xy2 3.x2y (x+y)(x-y) 15y 15y x(x+y)x2+zy (2)原式=xy.y 之2 z0-y. (3)原式=-3(-a)2b·(-3b)=9ab2. (4)原式=4(a+b).15a2b12a 5ab (a+b)(a-b)a-b (5)原式=4-m)(4+m).m+34+m (m十3)2 4-mm+3 6)原式-·( ）=4xy. y 2 12.2分式的乘除(2) 解：(1)原式=(a+2)(a-2)·a +21 =a2-2a. (2)原式=a-2.,a+3)2a+3 a+3(a+2)(a-2)a+2 (3)原式=m一n. 1 1 m+n m(m-n)m2+mn (4)原式=x(x-2).x-3 x-3(x-2)=x-2 2(x-3)(x-2)(x+3)2x+6 (5)原式-x-2)· 3-x 2-x 6 (6)原式=x(x+y).1.y(x-y)1 x(x-y)x+y 12.2分式的乘除(3) 解0原式兰()字-·( (2原式=4ah.6._27c c‘d2‘6a·（-6°） 4X27a2b9c3 18b3 6a'bcd=- cd2 (3)原式= (x+y)2(x-y)2 1 x2y2 (x十y)2 x3(x+y)2(x-y)2 (r-y)-y (y)(r-y)-y(r-y) ty:-y3. (4)原式=x+y).y(x-y), y=x十y y(x-y)y(x+y)x-y x-y' (5)原式= 2(x-3) 1 (2-x)2·x+3· (x+3)(x-2)= 3-x x-2 (6)原式= (b-a)·（a+b)·(a-b). a (a-b)3a2+ab ab3 63 12.2分式的乘除(4) 1.解：原式=a(a-3) a-3 ,a+1 (a+1:(a+1D(a-1)‘2 a(a-3),(a+1)(a-1),a+1 a(a+1) a-3‘a-i=a+1. 当a=-3时，原式=-3十1=-2. 2.解：原式三a十6。÷a十b)(a-b)2 a2bo 1 (a+b)3 a2b6 4(a-b)2=8a°6° (a+b)2(a-b)·4(a b)2=946 2a 1 2 当a=- 6=号时，原式 1 2+3 2x() 6 12.3分式的加减(1) 解：1)原式=3m+2n十2n-3m_4r_4 mn mn m (2）原式=x一1D=x (3)原式=a--a+ba-)-a+b. Γa-ba-ba-b (4)原式=a+26)-(4-b_a+26-4a+b a-b a-b 37 -3a+3b=-3(a-b）=-3. a-b a-b (5)原式= a3a+12a+3 a2-1a2-1a2-1 a-3a-2a-4-4(a+1) 4 a2-1 (a+1)(a-1)a-1' (6)原式=x-4x+4(红-2) x-2 x-2 =x-2. 12.3分式的加减(2) x-3 6 解：1)原式=(c+3)(x-3)(x+3)(x-3) x-3+6 x+3 1 (x+3)(x-3)(x+3)(x-3)x-3· 、2 1 (2)原式=(0+2)(x-2)2(x-2) 4 x+2 =2(x+2)(x-2)2(x-2)(x+2) 4-x-2 =2(x+2)(x-2) 1 2.x+4 (3)原式=a(a十1)+1+a+1 (a+1)2 a+1 =a1a十2 a+1a+1 =2a+2=2. a+1 2+3.x 1+3.x2 (4)原式=(2+3x)(2-3x)2-3x3x-2 11+3x 2 2-3x2-3xT2-3x =1-1-3x+2 2-3x =1. (5)原式=-a+1.1 a-1a-1 (6)原式=x+1x-124 x2-1x2-1x2+1x+1 224 x2-1x2+1x+1 4 4 x-1x+1 8 x8-1 12.3分式的加减(3) a+3 1 解：(1)原式= a+3)+aa+3)=a十3+ 1 2 a+3a+3' (2)原式=362-+2+ 2x x2-4 x2-4 x2-4 3.x-6-x-2+2.x_4x-8_4 x2-4 x2-4x+21 1 x十3 (3)原式=x+1D+(x+1)(-D (x-1)2 1 (x+1Dx+3)x+1)+x于1-C, x (4)原式=4红+13--4x=4.(x+2 x十2 （x-3)2 ，-3)2-+3r (3-x)(3+x).x(x+2) x+2 x-3 (5)原式=-2.x+1D(x-1)_1=x+1 x-1 (.x-2)2x-2x-2 1 x x-2x-2 (6)原式=a-4a+4+8a·a(a-2》 a2-4 a+2 (a+2)2 ,a(a-2) (a+2)(a-2)·a+2 12.3分式的加减(4) 1解420÷(2a-1 a2-1 a-i-a-1) a(a-2).2a-1-a2+a-a+1 (a+1)(a-1) a-1 a(a-2) .2a-a2 (a+1)(a-1)·a-1 a(a-2) .a1 (a+1)(a-1)a(2-a) 1 a+1 因为分式要有意义， 周以. 所以a≠士1且a≠0且a≠2， 1 所以当a=-2时，原式=一-2+1=1. (a-b)2 a-b 2解：1A=。“6×aw88-8 = a a-b a+b a+b b 一a十 (2)由条件可知b=2a, b 2a 2 A= a+b a+2a 3' 12.4分式方程(1) 解：(1)1 5 -12x+1' 去分母，得2x+1=5.x-5,解得x=2, 经检验x=2是分式方程的解. e4+1- x-2 去分母，得16十x2-4=(2十x)2, 即16+x2-4=x2十4.x十4，解得x=2, 检验当x=2时，x2-4=0, 所以x=2是增根，分式方程无解. (3)等式两边同乘(x+3)(x-3),得 x-3+2(x+3)=12, 解得x=3, 检验：当x=3时，(x+3)(x-3)=(3+3)(3一 3)=0, 所以x=3是增根，原方程无解. (4)方程两边同乘x(x十2)(x-2),得3(x一2)一 (x十2)=0.解这个整式方程，得x=4. 经检验，x=4是原分式方程的解， (5)方程两边同乘3x(x+8),得3.x×14=3(x+ 8)X4+10.解得x=经检验是原分式 方程的解。 (6)等式两边同乘2(1一3.x),得 -1=1-3.x+4, 解得x=2, 检验：当x=2时，2(1-3x)=2(1-3×2)= 一10≠0. 所以原方程的解为x=2. 12.4分式方程(2) 解：(1)方程两边同乘x(x一2)，得x2一4x+4一 4 4 3x=x2-2x,解这个方程，得x=5·经检验，x=5 是原分式方程的解. (2)方程两边同乘(x十2)(.x-2),得 (x-2)2-(.x十2)(.x-2)=16.解这个整式方程，得 x=-2 检验：当x=一2时，(x十2)(x一2)=0， 则x=一2是分式方程的增根，所以该分式方程 无解. (3)方程两边同乘(x一2)，得1=x-1一3x+6. 解这个整式方程，得x=2.检验：当x=2时，x 2=0, 则x=2是分式方程的增根，所以该分式方程无解. (4)方程两边同乘3(x+2)(x-2), 得-3(x+2)=3(x十2)-6+x. 解这个整式方程，得x=一7· 6 经检验，江=一9是原分式方程的解。 6 (5)方程两边同乘(.x一1)(.x+2),得x2十2.x-3= (x-1)(x十2).解这个整式方程，得x=1.检验：当 x=1时，(x一1)(x十2)=0，则x=1是分式方程的 增根，所以该分式方程无解. (6)方程两边同乘(x一2)2，得x（x一2)一(x一 2)2=4.解这个整式方程，得x=4.经检验，x=4是 原分式方程的解. 8 12.4分式方程(3) 1.解：1)由题意，得2。 1一x二0， x-2十2-x 整理，得十=0， x-2 解得x=-1, 经检验x=一1是分式方程的解，即x的值是一1. (2)由题意，得2。=1-x x-22-x 去分母，得2=x-1, 解得x=3, 经检验，x=3是原分式方程的解，即x的值是3. m 2 2.解：x-33-x 1, 1十2=x-3,解得x=m+5, 经检验，当x=m十5时，x-3=m+5一3≠0， 即m≠-2.x=m十5是分式方程的解 因为m+5>0, 解得>-5， 所以m>-5且m≠-2. 12.4分式方程(4) 解：(1)错误错误 2)2-3-1 x22-x x十(x-3)=x-2, x+x-3=x-2, x+x-x=-2十3， x=1, 经检验，x=1是方程的根， 12.5分式方程的应用(1) 解：(1)AC (2)聪聪甲队修路400米与乙队修路600米所用 时间相等（答案不唯一） (3)选第一个方程400=600 xx+20 解得x=40, 经检验x=40是原分式方程的解，且符合题意. 答：甲队每天修路的长度为40米. 选第二个方程600400=20. y y 解得y=10, 经检验y=10是原分式方程的解，且符合题意. 所以400=40. 答：甲队每天修路的长度为40米. 12.5分式方程的应用(2) 1.解：设甲步行的速度为每分钟x米，则乙骑自行车的 速度为每分钟4x米，公交车的速度为每分钟 8x米， 由题意，得60+5000-600+2-500， 4.x 解得x=50, 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， 所以甲步行的速度为每分钟50米，乙骑自行车的速 度为每分钟200米. 因为200×2=400（米）， 所以甲到达科技馆时，乙离科技馆还有200米. 2.解：设大巴车的平均速度为xkmh,则小轿车的平 均速度为1.5.xkmh, 由题意，得1501501515 c-1.5x-60+60 解得x=100, 经检验，x=100是原方程的解，且符合题意， 所以大巴车的平均速度为100kmh. 12.5分式方程的应用（3) 解：(1)设上周生物老师购买洋葱的单价为每斤x 元，则本周所买洋葱的单价为每斤(1十20%)x元， 根据题意，得20-，30 一10， x(1+20%)x 解得x=0.5, 经检验：x=0.5是原方程的解，且符合题意. 答：上周生物老师购买洋葱的单价为每斤0.5元. (2)设生物老师再买m斤洋葱， 题意，得。6.2x2士（00+10X12×2m 12×2≥2784，解得m≥26. 答：生物老师至少再买26斤洋葱才能供给本校参加 生物实验的同学所用. 12.5分式方程的应用(4) 解：设A4薄型纸每页的质量为xg,则A4厚型纸每 400 页的质量为(x十0.8)g,根据题意，得 =2× x+0.8 160 解得x=3.2.经检验，x=3.2是原分式方程的 解，且符合题意， 答：A4薄型纸每页的质量为3.2g. 13.3全等三角形的判定(1) 1.证明：，AE=CF,.AE+EF=CF+EF, 即AF=CE. AF=CE, 在△ADF和△CBE中，AD=CB, DF=BE, ∴.△ADF≌△CBE(SSS). 2.证明：，CE=DE,EA=EB, .CE+EB=DE+EA,即BC=AD 在△ABC和△BAD中， AC=BD, AB=BA, BC=AD, ∴.△ABC≌△BAD(SSS). 13.3全等三角形的判定(2) 1.解：轮船航行没有偏离指定航线.限时训练 八年级·上册·数学·J 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.1分式(1)（答案P36) 1.当x取何值时，下列分式有意义？ 1 (1)1-2x e号 (3)3+1 x2+59 (4) x2-2x+1 2.不改变分式的值，把下列各分式的分子、分母中的各项系数都化为整数. 23 1)3 5 (2)0.3a-26 -a+0.7b1 6x+y 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.1分式(2)（答案P36) 1.约分： (1)36y232 (2) a3b3 a2-9b2 a'btabi (3) a2-6ab+9b2 2.先化简，再求值. 先化简分式3x3 x2-2x+ ,再判断当整数x取何值时，分式的值是正整数. △八年级·上册·数学、」H 1 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.2分式的乘除(1)（答案P36) 计算： 1)5.x-5y.9y2 到 -3b 3xy y2i (3)6(-a)6·2a (4)4如+46.15a'6 5ab a?-62i (5)16-m2.m+3 m2+6m+9`4-m 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.2分式的乘除(2)（答案P36) 计算： (1)(a2-4)÷a+2」 (2)02. a2-4 a+3a2+6a+9 (3)m-0÷(m2-mn); m+n （4-2x:2-4红+4 x-3x-3;(5) 2x-6. 3一x 44+2)x+3（6)2÷+D0 x2-xy xy-y2 2 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.2分式的乘除(3)（答案P37) 计算： )()广÷ ,c+ (4x+y)2÷y+y .y xy-y2'xy-y2 t-yi 68.0 3-x; o6aa-.0 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.2分式的乘除(4)（答案P37) 1先化简，求值其中4=-3 2兆化衡再求的：。产)：2一其中。- 262 31 △八年级·上册·数学，」 3 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.3分式的加减(1)（答案P37) 计算： (1)3m+2m+2m-3m 62 (2) 2 mn x-1x-19 (3)Q2 a-b b-a (4)0+2b_4a-b a-b a-bi 022 4 x-2x-2Tx-2 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.3分式的加减(2)（答案P37) 计算： 1) 6 2 1 x+3x2-9 (2 x2-42x-4 (3)2+a a42++++: 49z2-33x2(5)a (4 2+3x1+3.x2 0a-1-a-1; (6)1,-124 x-1x+1x2+1x4+11 4 A 建议用时10分钟，实际用时分钟 12.3分式的加减(3)（答案P37) 计算： (1)a+3 a (2)3-112x a2+6a+9a2+3a x十2x-2x2-43 (3) 11x+3x2-2x+1 (x+1)2十x2-1‘2+4x+3 ● a--2小9 x2+2x (5)2-2.x2-1 1 a+2 x-1‘x2-4x+4x-2 (6)-2+8a1」 a+2a2-4/'a2-2a1 建议用时10分钟，实际用时分钟 12.3分式的加减(4)（答案P38) 1先化简，：。一，然后从2≤a≤2的范用肉选取一个合适的整数作为0 的值代入求值. 2.(沧州吴桥期末)已知A=a,÷Q2-62a-6 a-b'a2-2ab+62 a+b' (1)化简A. (2)若a,b满足b一2a=0,求A的值. △八年级·上册·数学，刂r 5 建议用时10分钟，实际用时分钟 12.4分式方程(1)（答案P38) 解方程： 5 1)x-12x+7: (2) 16+1= 2+x x2-4 x-2 (3)1。-2 12 1 x+33-xx2-9 (4) 3 =0; x2+2xx2-2x (5)14-4+10 112 x+8x3x+249 (6) x-22T1-3x 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.4分式方程(2)（答案P38) 解方程： (1)2-23 =1; x x-2 2+2116 (2)x2 x2-41 (31。=-t-3: 、1=1-6-x x-22-x (4)2-x=x-23x2-12 (6) x-1(x-1)(x+2)=1: -21-4 (6) x2-4x+41 6 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.4分式方程(3)（答案P39) 1已知A=兰28-号 1-x (1)若A与B互为相反数，求x的值. (2)若A与B的值相等，求x的值. 2关于x的分式方程，”写己。1的解是正数：求m的原值范批 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.4分式方程(4)（答案P39) (邯郸丛台区一模)小丁和小迪分别解方程，22二 ,一一3=1的过程如下： 小丁： 小迪： 解：去分母，得x一(x-3)=x一2， 解：去分母，得x十(x一3)=1， 去括号，得x一x十3=x一2， 去括号得x+x一3=1， 合并同类项，得3=x一2， 合并同类项得2.x-3=1, 解得x=5, 解得x=2, .原方程的解是x=5. 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解， (1)你认为小丁的解法 ,小迪的解法 .（填“正确”或“错误”) (2)请写出你的解答过程. △八年级·上册.数学·」HHr 7 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.5分式方程的应用(1)（答案P39) (石家庄新华区期末)学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下： 分式方程 甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修 20米，求甲队每天修路的长度， 聪聪，400600 zxF20明明：600400=20 根据以上信息，解答下列问题： (1)选择：聪聪同学所列方程中的x表示 ,明明同学所列方程中的y 表示 A.甲队每天修路的长度；B.乙队每天修路的长度；C.甲队修路400米所用的时间. (2)你喜欢 列的方程，该方程的等量关系为 (3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.5分式方程的应用(2)（答案P39) 1.甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为5000米.甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同 学先步行600米，然后乘公交车，乙同学骑自行车.已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的 4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学早到2分钟.求甲到达 科技馆时，乙离科技馆还有多远. 2.中秋假期学校组织学生到某研学基地进行“研学”活动，全程150千米，学生队伍8：00从学 校乘坐大巴车出发，白老师8：15从学校自驾小轿车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴 车后继续前行，结果比大巴车提前15分钟到达研学基地.求大巴车的平均速度， 8 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.5分式方程的应用(3)（答案P39) (石家庄栾城区期末)生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上 周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋 葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱. (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元. (2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同 学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少再买多少斤洋葱才能供给本校参 加生物实验的同学所用？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 12.5分式方程的应用(4)（答案P39) (沧州期中)为了响应绿色环保的倡议，某校文印室提议每个人都应践行“双面打印，节约用 纸”.已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400g,将其全部改成双面打 印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160g.已知每页薄 型纸比厚型纸轻0.8g,求A4薄型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计) △八年级，上册.数学，J1H 9