12.5 分式方程的应用-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

12.5分式 第1课时分式方程的应用之 通基f础恤 知识点1列分式方程解工程问题 1.(石家庄栾城区开学)甲安装队为A小区安装 66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调， 两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每 天多安装2台.若设乙队每天安装x台，则下 面所列方程中，正确的是( A.66_60 B.6660 x+2 x x-2 x C.6060 6660 D. xx+2 x x-2 2.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承 包单位派遣一号施工队进行施工，计划用40天 时间完成整个工程.当一号施工队工作5天 后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该 田径场举行，要求比原计划提前14天完成整 个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号 施工队共同完成剩余工程，并按通知要求如期 完成整个工程. (1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需 要多少天？ (2)若此项工程一号、二号施工队同时进行施 工，完成整个工程需要多少天？ 20 方程的应用 工程问题和行程问题（答案P6) 知识点2列分式方程解行程问题 3.(邯郸鸡泽期中)随着生活水平的提高和环保 意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车， 这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时 间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度 是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为 8千米.若设乘公交车平均每小时走x千米， 则可列方程为( A.8+15= 8 B. 8 8 +15 x .5x x2.5x C.8+1-8 88 1 xT42.5.x D.x-2.5x4 4.下图是学习分式方程应用题时，老师板书的问 题和两名同学所列的方程： 12.5分式方程的应用 一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h,它 以最大航速沿江顺流航行110km所用时间 与以最大航速逆流航行90km所用时间相 等，江水的流速为多少？ 11090 甲：50+x50一7 110,90 乙 =50×2 根据题干信息，解答下列问题： (1)甲同学所列方程中的x表示 乙同学所列方程中的y表示 (2)从两个方程中任选一个，解方程并回答老 师提出的问题 1411154114451141551514 通能力 111 5.(唐山期中)义务献血利国利民，是每个健康公 民应尽的义务.一个采血点通常在规定时间接 受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库， 且采血和送到血库的时间必须在4小时内完 成，超过4小时送达，血液将变质.已知A,B两 个采血点到中心血库的路程分别为30km、 36km,经过了解获得A,B两个采血点的运送 车辆有如下信息： 信息一：B采血点运送车辆的平均速度是A采 血点运送车辆平均速度的1.2倍： 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间 之和为2小时. (1)求A,B两个采血点运送车辆的平均速度各 是多少 (2)若B采血点完成采血的时间为2.5小时， 判断血液运送到中心血库后会不会变质. △八年级·上册·数学·J小H 通素养 6.(秦皇岛海港区期末)随着科技的创新，高铁建 设领域也随之改革，某建筑集团承接了高铁线 路的革新工作.以下是记者与工程师的一段 对话： 记者：听说你们在高铁线路工作中，技术进行 了创新，工作效率取得了显著提升？ 工程师：是的，现在甲工程队使用新技术，单独 完成这项工程，刚好按规定工期完成.乙工程 队没有使用新技术，单独完成这项工程要比规 定工期多用7天， 记者：这听起来效率有了很大的提升，那甲、乙 两工程队的工程款有怎样的区别？ 工程师：每施工一天，需付甲工程队工程款 2.8万元，付乙工程队工程款2.1万元.现在工 程领导小组出于实际的考虑，可有三种施工 方案： 方案一：甲工程队单独完成这项工程； 方案二：乙工程队单独完成这项工程； 方案三：若由甲、乙两工程队合作做6天，剩下 的工程由乙工程队单独做，也正好按规定工期 完工 通过以上对话，请你回答下列问题： (1)求这项工程的规定工期. (2)如果要求正好按规定工期完工，你认为工 程领导小组将选择哪一种方案？并说明理由. 21 第2课时分式方程的应用之 通基础 W111111111111113111111 知识点1营销问题 1.(承德兴隆期末)某学校篮球社团要购买一定 数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌 篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促 销活动，甲商店：购买篮球消费满699元，送两 个篮球；乙商店：篮球单价打七折.如果到甲商 店购买，正好能用720元经费买够数量；如果 到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩下 48元.两位同学分别就两种方案给出了两个方 程：0720×0.7=720-48.②720+2x= x-2 720-48 其中x表示的意义是( 0.7x A.均为篮球的数量 B.均为篮球的单价 C.方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的 x表示篮球的单价 D.方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的 x表示篮球的数量 2.(石家庄期中)某商场计划购进一批篮球和足 球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已 知用360元购进的足球和用480元购进的篮 球数量相等. (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)已知篮球售价为每个150元，足球售价为 每个110元.若商场售出足球的数量比篮球数 量的三分之一还多10个，且获利超过 1300元，求篮球最少售出了多少个. 22 营销问题和其他问题（答案P6) 3.“垃圾分一分，环境美十分”.某校为积极响应 有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A,B 两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他 垃圾桶.已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每 个贵40元，用6400元购买A品牌垃圾桶的 数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的 2倍 (1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各 需要多少元？ (2)若该校决定再用不超过6000元购进A,B 两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这 两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上 一次购买时售价的九折出售，B品牌比上一次 购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多 可购买多少个B品牌垃圾桶？ 知识点2其他问题 4.某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每 名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩 5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差 6个苹果.若设该哨卡共有x名战士，则所列 方程为( 60+6_60-5-1 A 60+6_60-5+1 B C.60-6_60+5-1 、60-6_60+5+1 D. 511154141445114144534 5.今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，再过 5年，父亲与儿子的年龄的比是22：9，求今年 父亲和儿子的年龄. 之通能力wL 6.将三支长度相同的蜡烛A,B,C同时点燃，当 蜡烛A剩一半时，蜡烛B和蜡烛C剩余部分 的长度之比为28：33，当蜡烛B剩一半时，蜡 烛A和蜡烛C剩余部分的长度之比为16： 25.若整个燃烧过程中，每支蜡烛燃烧速度均 保持不变，则当蜡烛C剩一半时，蜡烛A和蜡 烛B剩余部分的长度之比为 7.(石家庄新乐期末)某公司会计欲查询乙商品 的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染 商品进价/（元/件） 数量/件 总金额/元 甲 9300 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采 购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件 高50%. 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件， 求甲、乙每件商品的进价是多少元. △八年级·上册·数学.J小 通素养m 8.(石家庄期末)研学旅行继承和发展了我国传 统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人 文精神，成为素质教育的新内容和新方式.冬 季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研 学活动.为了让学生切身体会城市之美来之不 易，特设了种草实践活动.活动中(1)、(2)两班 需各种植36m的草地，已知(2)班每小时比 (1)班多制作6m2的草地，(1)班完成任务所 需要的时间是(2)班完成任务所需时间的 1.5倍，求(1)、(2)两班每小时各种植多少平方 米的草地。 (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程， 请将画横线的部分补充完整， 小聪：设(1)班每小时种植xm的草地，所列 36 方程为： =1.5× 小慧：设 36 ,所列方程为： y 36 1.5y (2)任选其中一种方法求出(1)班、(2)班每小 时各种植多少平方米的草地 (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通 知所有学生1小时后集中乘车返回.由于 (1)班无法在规定时间完成，(2)班决定在完成 本班任务后，立即帮助(1)班共同完成剩余任 务.如果两班速度保持不变，他们能在乘车前 完成任务吗？请说明理由. 23因为不等式组所有的解都是正数， 所以0a十15，解得-1a4, 解分式方程2十十2=0，得y=“2 y-1 1-y 2 因为y≠1，所以a≠0. 因为方程的解为整数，所以a是2的倍数，所以a的 值为2. 所以符合条件的所有整数α的和为2. 6.解：关于x的方程2mx1 x+2 =1, 去分母，得2mx-1=x十2，则x=2m- 3 因为方程有解，且解为负数， 1 2m-1≠0， m≠2 3 所以2n-1<0, .1 解得m<2' 3 (2m-1≠-2， ≠一 1 4 1 4 厅以m的取值范围为m<,且m≠ 41 7.解：(1)去分母，得1十3(x一2)=一1一mx, 移项、合并同类项，得（十3）x=4, 因为分式方程无解， 所以①当方程有增根时，原方程无解，即x=2, 2(m十3)=4，解得m=-1; ②当m十3=0时，原方程无解，即m=-3, 综合①②，若分式方程无解，m的值为一1或-3. (2)由(1)可得(m+3)x=4, 因为原分式方程的解为正数， 所以x>0,x一2≠0， 所以m+3>0,且2(m+3)≠4， 所以m>-3且m≠-1. 12.5分式方程的应用 第1课时分式方程的应用之工程问题和行程问题 1.A 2.解：(1)设二号施工队单独施工需要x天. 根据题意，得01440-5-4=1 解得x=60. 经检验，x=60是原分式方程的解. 答：若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要 60天。 (2)根据题意，得1÷（品+动）=24（天）。 答：若由一号、二号施工队同时进行施工，完成整个 工程需要24天 3.D 4.解：(1)江水的流速轮船以最大航速沿江顺流航行 110km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行 90km所用时间) 11090 (2)选甲：50十x50一x 两边同乘(50+x)(50一x), 得110(50-x)=90(50+x), 解得x=5. 经检验，x=5是原方程的根，且符合题意. 答：江水的流速为5kmh. 10+90=50×2 选乙：y y 两边同乘y,得110+90=100y,解得y=2. 经检验，y=2是原方程的根，且符合题意. 10-50=5(kmh). 答：江水的流速为5kmh.(任选一个解答即可) 5.解：(1)设A采血点运送车辆的平均速度是xkmh, 则B采血点运送车辆的平均速度是1.2xkm/h. 依题意得+5=2，解得0、 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意. 1.2.x=36(kmh). 答：A采血点运送车辆的平均速度是30km/h,B采 血点运送车辆的平均速度是36km/h. (2)因为B采血点运送车辆的行驶时间为36÷36= 1(h), 2.5+1=3.5(h)<4(h), 所以B采血点采集的血液运送到中心血库后不会 变质. 6.解：(1)设完成这项工程的规定工期为x天，则甲队 单独完成这项工程需x天，乙队单独完成这项工程 需(x十7)天， 卜1】×6+7×(x=6)=1, x+7 解得x=42, 经检验，x=42是原分式方程的解. 答：完成这项工程的规定工期为42天 (2)如期完工，只有方案一和方案三符合条件， 方案一工程款：42×2.8=117.6（万元）， 方案三工程款：6×(2.8+2.1)+(42-6)×2.1= 6×4.9+36×2.1=29.4+75.6=105(万元)， 因为117.6>105， 所以选择方案三 答：选择方案三.理由如下：既节省了工程款且又能 如期完工. 第2课时分式方程的应用之营销 问题和其他问题 1.C 2.解：(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x十 30)元. 由密在得20 x十30’ 解得x=90, 经检验，x=90是原分式方程的解，且符合题意， 则x+30=90十30=120（元）. 答：足球的单价为90元，篮球的单价为120元. (2)设售出篮球m个，则售出足球（令m十10）个. 由题意得(150一120)m+(110-90)× (3m+10)>1300,解得m>30. 因为m,3m十10均为整数，所以m的最小值为33， 所以篮球最少售出33个 答：获利超过1300元，篮球最少售出33个. 3.解：(1)设购买一个A品牌的垃圾桶需要x元，则购 买一个B品牌的垃圾桶需要(x十40)元.根据题意， 、得6400-2×40，解得x一80. 经检验，x=80是该分式方程的解，且符合题意. 所以x+40=120(元). 答：购买一个A品牌的垃圾桶需要80元，购买一个 B品牌的垃圾桶需要120元. (2)设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买 (60一n)个A品牌垃圾桶.根据题意，得 90%×80(60一n)+(1+20%)×120n6000, 解得n≤23 因为n取整数，所以n的最大值为23. 答：该学校此次最多可购买23个B品牌垃圾桶. 4.B 5.解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是 3x岁， 根据趣意，得若9解得=13 经检验，x=13是原方程的解，且符合题意，则3.x= 39(岁). 答：今年父亲和儿子的年龄分别是39岁、13岁. 6.3:5 7.解：设每件乙商品的进价是x元，则每件甲商品的进 价是(1+50%)x元， 根据题意，得1十50%)z 9300 3200=60, 解得x=50, 经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意， 所以(1+50%)x=(1+50%)×50=75(元). 答：每件甲商品的进价是75元，每件乙商品的进价 是50元. 8解：(1)36 x+6 设(2)班所用时间为y小时6 (2)设(1)班每小时种植x2的草地，(2)班每小时 种植(x十6)m的草地.根据题意，得 36=1.5×36 x十6解得x-12, 经检验，x=12是原方程的解，所以x十6=18. 答：(1)班每小时种植12m的草地，(2)班每小时种 植18m的草地. 小时， (3)不能.理由如下：1小时20分钟=3 (1)班已完成：12×4=16(m): 3 (2)班已完成：18×营=24(m》 还剩余：36-16+36-24=32(m), 两队合作1小时可完成：(12+18)×1=30(m), 因为30<32，两班速度保持不变， 所以他们不能在乘车前完成任务 特色素养专题（一）跨学科专题 RR2 1.C2.A3.A4R2-R 5解：1号 (2)因为1 1 x(x+1)=2, \xx+1 )=2,所以 x+12, 1 解得x=一 2’ 经检验，x=一 是原方程的解。 1 1 1 (3)因为2zx(x+2)(x+2)(x+)m 1 所以+×+2×+号× 11 1 1 11 x十4m9 所以2十8，所以2x+8=m.因为原方程有 增根， 所以当x=0时，m=8,当x=一2时，m=4, 当x=-4时，m=0(舍去). 综上所述，m的值为4或8. 特色素养专题（二） 新定义题型专题 1.C2.37654 3.解：(1)②③ a (2)设分式2a十1的“美妙分式”为A,则 a A-2a+1=3, 所以A-2a十-3或A2a十-3， a a 0当A2a+1=3时，A=2a+1+3=2a+7+ 6a+37a+3 2a+12a+1