精品解析：河南省焦作市山阳区河南理工大学附属中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025~2026学年八年级第一学期第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 7，8，10 C. 8，15，17 D. 8，24，25 2. 实数，0，，，，，，……（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 5. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 109 B. 119 C. 129 D. 139 6. 估计的值在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间 7. 若最简二次根式与可以合并，则合并后的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，点是上的一点，且，，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ） A. 13 B. 15 C. 16 D. 17 9. 当1＜x＜4时，化简－结果是（　　） A. －3 B. 3 C. 2x－5 D. 5 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 11. 若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 _____． 12. 如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为___________． 13. 若，则的值是_______． 14. 如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连结，则的面积为______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？ 19. 如图1，每个小正方形的边长均为1． （1）图1中长方形的面积是______，与长方形面积相等的正方形的边长是______； （2）在如图2所示的数轴上作出（1）中表示正方形边长的点P（要求：保留作图痕迹）． 20. 李爷爷家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：，，，，且．请你帮李爷爷计算一下这块草坪的面积． 21. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为， （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 22. 佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度． 23. 阅读材料： 黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． （2）①已知，，求的值． ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年八年级第一学期第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 7，8，10 C. 8，15，17 D. 8，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键． 判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】、，不能构成直角三角形，故不符合题意； 、，不能构成直角三角形，故不符合题意； 、，能构成直角三角形，且都是正整数，故符合题意； 、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 2. 实数，0，，，，，，……（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解决本题的关键是注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴无理数有、、……（相邻两个1之间依次多一个0），共有3个， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，掌握概念是解题的关键． 根据立方根，平方根和算术平方根的概念逐项分析即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 109 B. 119 C. 129 D. 139 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据题意求出，根据即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是， 的面积是， 阴影部分的面积是， 故选：D． 6. 估计的值在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的大小估算．根据题意，先确定的范围，再进行估算即可． 【详解】解：，即， ， 故选：C． 7. 若最简二次根式与可以合并，则合并后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据这两个最简二次根式可以合并，得出它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出方程求出m，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：， ∴最简二次根式，， ∴合并后的结果=， 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和合并同类二次根式，根据被开方数相同，列出方程求出m是解题的关键． 8. 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，点是上的一点，且，，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ） A. 13 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， ∵圆柱的底面周长为， ， ，， ， 在中， ∴． 故选：A． 9. 当1＜x＜4时，化简－结果是（　　） A. －3 B. 3 C. 2x－5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质进行化简，再利用绝对值的性质进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】解：当1＜x＜4时， - =|1-x|-|x-4| = x-1+（x-4） =x-1+x-4 =2x-5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|． 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 11. 若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义以及解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， 故答案为：1． 12. 如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是3， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 13. 若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，即几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0； 根据非负数的性质列出方程，求出，的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连结，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出，故，设，则，在中根据勾股定理求出x的值，利用面积公式计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则的面积， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算加减即可； （2）将提取，分别根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？ 【答案】（1）修建的公路的长为 （2）一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）先根据勾股定理得出，再根据列出方程计算即可； （2）先根据勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴修建的公路的长为． 【小问2详解】 解：∵， ∴根据勾股定理可得：， ∴ 答：一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程为． 19. 如图1，每个小正方形的边长均为1． （1）图1中长方形的面积是______，与长方形面积相等的正方形的边长是______； （2）在如图2所示的数轴上作出（1）中表示正方形边长的点P（要求：保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 点P为所求： 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、数轴、基本作图，解题的关键是在数轴上构造斜边长为的直角三角形． （1）根据勾股定理求出长方形的长和宽，即可求出面积，面积的算术平方根即为正方形的边长； （2）根据在数轴上构造斜边长为的直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 与长方形面积相等的正方形的边长是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 李爷爷家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：，，，，且．请你帮李爷爷计算一下这块草坪的面积． 【答案】这块草坪的面积是 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， ∵， ， ∵，，， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积． 21. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为， （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）6600元 【解析】 【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可； （2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可． 【小问1详解】 解：长方形的周长， 答：长方形的周长是； 【小问2详解】 解：购买地砖需要花费 （元） 答：购买地砖需要花费6600元． 【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键． 22. 佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度． 【答案】绳子的长度为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，四边形是矩形，，设绳子的长度为，则，再由勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，四边形是矩形， ， ， 设绳子的长度为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：绳子的长度为． 23. 阅读材料： 黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． （2）①已知，，求的值． ②求的值． 【答案】（1），； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可； （2）①将与分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． ②原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式可以是， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意，①， ， 则 ． ②依题意， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $