专题突破(十一)勾股定理与实数 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

专题突破(十一) 勾股定理与实数 考试时间:120分钟 满分:100 分 成绩: 一、选择题(每题2分，共16分) 1.(2024·四川巴中)在0,1,—1,π中,最小的实数是 ( ) A. 0 B. - 1 C. 1 D. π 2. (2023·江苏扬州)已知 则a，b，c之间的大小关系是 ( ) A. b>a>c B. a>c>b C. a>b>c D. b>c>a 3.如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC= ,BC=1,∠AOB=30°,则OA 的长为 ( ) A. B. C. D. 1 4. 如图,长方形ABCD 的边AD 在数轴上,且AB=1,AD=2,点 A 表示的实数是-1,连接AC,以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交数轴于点E(点E 在点A 右侧)，则点 E 表示的实数是 () C. 5.如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点 B 折叠纸片,使点A 落在MN上的点F 处,折痕为BE.若AB=5,AD=6,则AE 的长为 ( ) A. B. C. 2 D. 6. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=12,D为边AC上的一个动点,连接BD,E 为BD上的一个动点,连接AE,CE.当∠ABD=∠BCE 时,线段AE长的最小值是 () A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知直角三角形的两条直角边长分别是整数a，b(其中(b<100),斜边长是b+1,则这样的直角三角形的个数为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D.7 8. (2025·江苏盐城期末)如图,在△ABC 中, 点M,N 在边 BC 上,且∠MAN=60°.若 BM=2,CN=3,则 MN 的长为 ( ) 二、填空题(每题2分，共20分) 9.据某平台数据统计，2025年春节档电影总票房约为95.10亿元，这个近似数精确到 位. 10. (2024·山东日照)计算: 11.(2024·广东深圳)如图，A，B，C 均为正方形.若A 的面积为10，C 的面积为1，则B 的边长可以为 .(写出一个即可) 12. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD 是角平分线.若AC=6,AD=7,则点 D 到直线AB 的距离是 . 13.为了比较 与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中 点D 在BC 上,且BD=AC=1,通过计算可得 (填“>”“<”或“=”) 14.若直角三角形的两直角边长 a，b满足 则该直角三角形斜边上的中线长为 . 15. 如图,在△ABC中,AD 为中线,延长AD 到点 E,使得ED=AD,连接EB.若AB=5,AC=3,AD=2,则△ABC 的面积为 . 16. 观察下列几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;···.按此规律,当直角三角形的较短直角边长是11时，较长直角边长是 ；当直角三角形的较短直角边长是2n+1(n为正整数)时，较长直角边长是 (用含n的代数式表示). 17. 如图,在四边形ABCD 中, ，则四边形 ABCD 的面积是 . 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 18.如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，D是斜边AB 的中点，E是边BC 上的一点，将 沿DE 翻折至△B'DE,B'E 与边AC 相交于点F.若 则 的周长为 . 三、解答题(共64分) 19.(4分) (1)(2024·浙江)计算: (2)求x的值: 20.(6分)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在图①中画出长为 的线段AB； (2)在图②中画出腰长为 ，面积为3的等腰三角形 DEF. 21.(6分)(2025·江苏淮安模拟)已知某正数的两个平方根分别是3a-14和a+2,b+11的立方根是-3,c 是 的整数部分. (1)求a+b+c 的值; (2) 求3a-b+c 的平方根. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 22.(5分)如图是一块草坪，已知 ，求这块草坪的面积. 23.(5分)如图，一棵8 m高的笔直的杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B 4m 远处，科研人员要查看断痕A 处的情况，在离树根B 1m 远的 D 处竖起一架梯子AD(点D，B，C 在同一条直线上)，问：这架梯子有多长?(结果保留根号) 24.(8分)如图,在△ABC 中, (1) AB 的长为 ; (2)用无刻度的直尺和圆规作AB 的垂直平分线l，l分别交AC，AB 于点D，E；(保留作图痕迹，不写作法) (3) 在(2)的条件下,连接BD,求 BD 的长. 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 25.(8分)如图，在 中， 于点D， 于点E,连接DE,M,N 分别是BC,DE 的中点,连接DM,EM,MN. (1) 求证: (2) 若BC=20,DE=12,求 的面积. 26.(6分)(2025·江苏连云港模拟)如图,在一张长方形纸片ABCD 中,AB=8,BC=6,P 为边AD上的一点,将△ABP 沿BP 翻折至△EBP,PE 与CD 相交于点O,且OE=OD.求AP的长. 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 27.(8分)在学习勾股定理时，我们学会了运用图①验证它的正确性.图中大正方形的面积可表示为(a+b)²,也可表示为 即 由此推出勾股定理 这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”. (1)用图②的面积表达式验证勾股定理；(其中四个直角三角形全等，且两条直角边的长分别为a,b) (2)用图③提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证： (3)自己设计图形的组合，用其面积表达式验证： 28.(8分)在△ABC中,AB=AC,G为△ABC 外一点,且△GBC 为等边三角形. (1) 如图①,求证:直线AG垂直平分BC; (2)如图②,以AB 为一边作等边三角形ABE,连接EG,EC.若 求 EG的长. 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. B参考答案 7. C解析：由题意，得 整理，得 因为 2b+1为奇数，所以a 为奇数.因为0<b<100,所以1<2b+1<201,所以 .因为196<201<225,所以 即 所以a 可取3,5,7,9,11,13,所以满足题意的直角三角形的个数为6. 8. A 解析:因为∠BAC=120°,AB=AC,所以 如图,将△ACN 绕点A 顺时针旋转120°得到△ABP,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H ,连接MP,则∠PHB=∠PHM=90°,AP=AN,BP=CN=3,∠ABP=∠C=30°,∠BAP=∠CAN,所以∠PBM=∠ABC+∠ABP=60°,所以 所以 所以 因为BM=2,所以 所以 因为∠MAN=60°,所以∠BAM +∠CAN = ∠BAC -∠MAN=60°,所以∠BAM+∠BAP=60°,所以∠MAP=60°,所以∠MAN=∠MAP.在 △AMN 和△AMP 中 所以 △AMN≌△AMP(SAS),所以 9. 百万 10. 1 11. (答案不唯一)2 13. > 14. 5 15. 6 16. 60 2n²+2n 17. 16 解析:连接AC.设 AB=a,BC=b,AD=CD=c.因为AB+BC=8,所以a+b=8.因为∠B=∠D=90°,所以 所以 所以 因为S△ABC= 所以S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = 故四边形ABCD的面积是 16. 18. 解析:如图,连接B'C,DC.因为∠ACB=90°,AC=BC,所以 ∠ACB)=45°.因为 D 是 AB 的中点,所以 45°.由折叠的性质，得 B'E = BE,B'D= BD,所以∠DB'F = 所以 所以 所以 所以B'F=CF,所以 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 EC+B'E=EC+BE=BC.因为 所以 所以 所以 所以 故△CEF 的周长为 19. (1) 原式:=4-2+5=7. 或 20.(1)图略. (2)图略. 21.(1)因为某正数的两个平方根分别是3a-14和a+2,所以(3a-14)+(a+2)=0,解得a=3.因为b+11的立方根是-3,所以b+11=-27,解得b=-38.因为 c 是 整数部分,所以c=2,所以a+b+c=3+(-38)+2=-33. (2)因为a=3,b=-38,c=2,所以3a-b+c=3×3-(-38)+2=49.因为 所以3a-b+c的平方根是±7. 22. 连接AC.因为AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,所以 因为AB=39m,BC=36 m,所以 所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,所以 S△ABC= 所以 故这块草坪的面积为216 m². 23. 由题意,得∠ABC=∠ABD=90°,BC=4m ,BD=1m.设AB= xm,则AC=(8-x)m.因为 所以 x)²,解得x=3,所以AB=3m,所以AD= 故这架梯子的长为 24. (1)10 (2)图略. (3)因为DE 垂直平分AB,所以AD=BD.设AD=BD=x.因为AC=8,所以CD=AC-AD=8-x.因为 BC=6,所以 解得x= ,即 BD 的长为 25. (1) 因为 BD⊥AC,所以∠BDC=90°.因为M 是BC 的中点，所以 同理可得 所以 DM=EM.因为 N 是DE 的中点,所以MN⊥DE. (2)因为BC=20,所以 因为 N 是 DE 的中点,DE=12,所以 DN= 因为 MN⊥DE,所以∠MND=90°,所以 所以 故△MDE 的面积为48. 26. 设BE 交CD 于点 F.因为四边形 ABCD 是长方形,所以CD=AB=8,AD=BC=6,∠A=∠D =∠C = 90°. 设 AP = x,则DP=AD-AP=6-x.由折叠的性质,得BE=AB=8,PE=AP=x,∠E=∠A=90°,所以∠E=∠D.在△OEF 和△ODP 中, 所以△OEF≌△ODP (ASA),所以 EF=DP=6-x,OF=OP,所以 BF=BE-EF=x+2,OF+OD=OP+OE,所以 DF=PE=x,所以CF=CD-DF=8-x.因为 所以 解得x=4.8,即 AP 的长为4.8. 27. (1) 由题意,得 即 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图①，大正方形的边长为x+y，所以大正方形的面积为(x+y)²,它的面积也等于两个边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为 y 的长方形面积之和，即 所以 (3)如图②，大长方形的长、宽分别为x+p,x+q,则其面积为((x+p)(x+q).从图形关系上可得大长方形是由一个边长为x的正方形和三个小长方形构成的，则其面积又可表示为 q)x+ pq,所以( q)x+ pq. 28. (1) 因为△GBC 为等边三角形,所以GB=GC，所以点 G 在 BC 的垂直平分线上.因为AB=AC,所以点 A 在BC 的垂直平分线上，所以直线AG 垂直平分BC. (2) 因为△GBC 和△ABE 都是等边三角形，所以 ∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG=60°,所以∠EBA+∠ABC=∠GBC+∠ABC,所以∠EBC=∠ABG.因为AG 垂直平分 BC,所以 在△EBC 和△ABG 中. 所以△EBC≌△ABG(SAS),所以. ∠AGB=30°,所以∠ECG=∠ECB+∠BCG=90°,所以 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $