专题突破(十) 线段垂直平分线、角平分线与等腰三角形 专项练习 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题突破(十) 线段垂直平分线、角平分线与等腰三角形 考试时间:120分钟 满分:100分 成绩: 一、选择题(每题2分，共16分) 1.(2023·贵州)2023年5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高为 ( ) A. 4m B. 6m C. 10m D. 12m 2.(2024·云南)已知AF 是等腰三角形ABC 底边 BC 上的高.若点 F 到直线AB 的距离为3,则点 F 到直线AC 的距离为 ( ) A. B. 2 C. 3 D. 3.已知∠AOB=30°,点 P 在∠AOB 的内部.若点 P 与点 P₁关于射线OA 对称,点 P 与点 P₂关于射线 OB 对称,则△P₁OP₂是 ( ) A.含30°角的直角三角形 B.顶角是30°的等腰三角形 C.等腰三角形(非等边) D.等边三角形 4.(2023·台湾)如图,在△ABC 中,点 D 在边BC上,且 BD 的垂直平分线与AB 相交于点E,CD 的垂直平分线与AC 相交于点 F，连接DE，DF.若△ABC 的三个内角互不相等，则下列结论正确的是 ( ) A. ∠1=∠3,∠2=∠4 B. ∠1=∠3,∠2≠∠4 C. ∠1≠∠3,∠2=∠4 D. ∠1≠∠3,∠2≠∠4 5.如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别交AB,AC 于点D,E,BC 的垂直平分线分别交 BC,AC 于点F,G.若AC=14,GE=4,则△BEG 的周长为 ( ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 6.(2025·江苏镇江期末)如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠BAC=50°,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交∠BAC 的平分线于点O,点 E,F 分别在边BC,AC 上,将△CEF 沿直线EF 折叠后,点 C 与点O 重合,则∠OEF 的度数为 ( ) A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 7. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是边AB 上的点,过点 D 作 , 交 BC 于点 F,交AC 的延长线于点E,连接CD.若∠DCA=∠A,给出下列结论:①∠DCB=∠B;②CD= AB;③△ADC 是等边三角形;④ 若∠E=30°,则DE=EF+CF.其中正确的是 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是角平分线,过点 B 作 BD⊥AE,交AE 的延长线于点 D,过点 D 作 DF⊥AC,交AC 的延长线于点 F,连接CD.给出下列结论:①∠ADC=45°;② BD= AE;(③AC+CE=AB;④AB-BC=2CF.其中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(每题2分，共20分) 9.(2024·江苏镇江)若等腰三角形的两边长分别为6 和2，则第三边的长为 . 10.(2023·湖北荆州)如图,CD 为 Rt△ABC 斜边AB上的中线,E 为AC 的中点,连接DE.若AC=8,CD=5,则DE= . 11.(2023·广东广州)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE,DF 分别是△ABD 和△ACD 的高,AE=12,DF=5,则点 E 到直线AD 的距离为 . 12. 已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c 满足( 且x=a 为方程|x-4|=2的解,则△ABC 的形状为 三角形. 13. 如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD 是斜边BC上的中线,将△ACD 沿AD 对折,使点 C 落在点 F 处,DF 与AB 相交于点E,则∠BED 的度数为 . 14.(2025·江苏常州模拟)如图,在△ABC 中,BA=AC,∠BAC=20°,点 D 在边AB 上,且DA=BC,过点D 作DE∥BC,且DE=BA,连接CD,CE,则∠DCE= . 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 15. 在等腰三角形ABC 中,BD⊥AC,垂足为 D,且 则等腰三角形 ABC 底角的度数为 . 16. 如图,△ABC 是等边三角形,D 是BC 延长线上一点,DE⊥AB 于点E,EF⊥BC于点F.若CD=3AE,AC=5,则CF= . 17. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4 cm.动点D 从点A 出发,以1cm/s的速度沿射线AC 运动.设运动的时间为 ts，则当t= 时，△ABD 为等腰三角形. 18. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,角平分线 AE 与中线BD 交于点F,P 为CE 的中点,连接 PF.若( ,则AB 的长为 . 三、解答题(共64分) 19.(6分)如图，已知△ABC(AC<AB<BC)，请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图：(保留作图痕迹，不写作法) (1)在边AB 上找一点M,使得点 M到AC,BC 的距离相等; (2) 在边 BC上找一点N,使得 NA+NB=BC. 20.(4分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线分别交AB,BC 于点 D,E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB 的度数. 21.(6分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC的平分线交CD 的延长线于点E,F 是BE的中点，连接CF 并延长，交 AD 于点G. (1) 求证:CG平分∠BCD; (2) 若∠ADE=120°,∠ABC=52°,求∠CGD 的度数. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 22.(4分)如图，在 中，AB=AC,,D 是 BA 延长线上一点,E 是 AC 的中点,连接DE 并延长,交 BC 于点M,∠DAC 的平分线交DM 于点F.求证:AF=CM. 23. (6分)(2025·江苏泰州期末)问题:如图,在△ABD 中,BA=BD,，在BD 的延长线上取点E，C,作△AEC,使EA=EC.若. ,求∠DAC 的度数. 答案： 思考： (1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗?说明理由； (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“ 其余条件不变，求∠DAC 的度数. 24. (6分)已知△ABC. (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠BAC的平分线和BC 的垂直平分线，它们的交点为 D；(保留作图痕迹，不写作法) (2)若AB=15,AC=9,过点D 作DE⊥AB 于点E,则BE 的长为 .(如需画草图,请使用备用图) 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 25.(8分) (1)如图①,E,F 分别是正方形ABCD 的边AB 及边 DC 延长线上的点,且.BE=CF,连接EF,交 BC 于点G,则BG 与BC 之间的数量关系是 ; (2)如图②，D，E 分别是等腰三角形ABC 的边AB 及边AC 延长线上的点，且AB=AC,BD=CE,,连接 DE 交 BC 于点 F,过点 D 作. 于点G，试判断FG 与BC 之间的数量关系，并说明理由. 26.(8分) (1)如图①,在四边形ABCD 中,AB∥CD,E 是BC的中点,连接AE.若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，CD 之间的数量关系. 解决此问题可以用如下方法：分别延长AE，DC 交于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，CD转化到一个三角形中即可判断. AB,AD,CD 之间的数量关系为 ; (2)如图②,在四边形ABCD 中,AB∥CD,AF 与DC的延长线交于点F,E 是BC的中点,连接AE.若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB，AF，CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 27.(8分)(2025·江苏扬州期末)在等边三角形 ABC 中， E是边AC 上一定点，D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边三角形DEF，连接CF。 【问题解决】 (1)如图①，若点 D 在边 BC 上，求证： CE+CF=CD； 【类比探究】 (2)如图②，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究：线段 CE，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由。 28.(8分)在等边三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点， E，F 分别是边 AB，AC 上的动点(含线段AB，AC 的端点)，且∠EDF=120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究。 (1)如图①，小明发现：当∠DEB=90°时，BE+CF=nAB，则 n 的值为 ； (2)如图②，在点 E，F 的运动过程中，小慧发现下面两个有趣的结论：① DE 始终等于 DF；② BE+CF 的值始终不变。请你选择其中一个进行证明； (3)若 AB=4，在点 E，F 的运动过程中，记L=DE+AE+AF，则L的取值范围是 . 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C参考答案 7. B 解析:因为∠ACB=90°,所以∠DCA + ∠DCB=90°,∠A+∠B=90°.因为∠DCA =∠A,所以∠DCB =∠B,故①正确;因为 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∠DCB=∠B,所以 CD=BD.因为∠DCA=∠A,所以 CD=AD,所以 AD=BD,所以 故②正确；因为∠A 的度数无法确定，所以无法证明△ADC 是等边三角形，故③错误;因为 DE⊥AB,所以∠ADE =90°.若∠E=30°,则 所以△ADC 是等边三角形,所以∠ACD =∠ADC=60°,所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°,∠CDE=∠ADE-∠ADC=30°,所以∠BCD=∠CDE,所以DF=CF,所以DE=EF+DF=EF+CF,故④正确. 8. D 解析:分别延长BD,AF 相交于点G.因为AE是△ABC 的角平分线,所以∠BAD=∠GAD.因为 BD⊥AE,所以∠ADB=∠ADG=90°.在△ABD 和△AGD中, 所以△ABD≌△AGD(ASA),所以∠ABD=∠G,AB=AG,BD=GD,所以 因为AC=BC,∠ACB=90°,所以∠CAB= 所以∠ABD= 所以∠CBD=∠ABD-∠ABC = 22.5°. 因为∠BCG = 所以 所以CD=BD,所以∠DCB=∠CBD=22.5°,所以∠CDB=180°-∠DCB-∠CBD=135°,所以∠ADC=∠CDB-∠ADB=45°,故①正确;因为∠GAD+∠CEA =90°,∠GAD+∠G=90°,所以∠CEA=∠G.在△ACE 和 △BCG中 所以△ACE≌ △BCG(AAS),所以CE=CG,AE=BG,所以 故 ②正确;AC+ CE=AC+CG=AG=AB,故③正确;因为CD=BD=GD,DF⊥AC,所以CG=2CF,所以AB-BC=AG-AC=CG=2CF,故④正确.综上所述，其中正确的结论有4个. 9. 6 10. 3 11. 12. 等腰 13. 108° 14. 70°15. 45°或75°或15° 16. 3 17. 5 或6或 解析：因为 5cm ,BC=4 cm,所以 3cm.由题意,得 AD=t cm.当△ABD 为等腰三角形时，分类讨论如下：①当AD=AB=5cm 时,t=5;② 当 BD=AB 时,因为 BC⊥AD,所以AD=2AC=6 cm,所以t=6;③当BD=AD=t cm 时,CD=AD-AC=(t-3) cm.因为 90°,所以 即 解得 综上所述,当 t=5 或 6或 时，△ABD 为等腰三角形. 18. 15 解析:如图,过点 E 作 EG⊥AB 于点 G,连接CF.因为 P 为CE 的中点,CP=2,所以CE=2CP=4,S△EFP =S△CFP.设S△EFP=S△CFP=y.因为 BD 是△ABC 的中线,所以 设 S△AFD=z.因为S△BFP =15,所以 S△BCD= 所以 因为 S△ACE= 所以 因为 AE 是△ABC 的角平分线,所以EG=CE=4.因为 所以 19. (1) 作∠ACB 的平分线,交 AB 于点 M,则 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 点 M 即为所求.图略. (2)作线段 AC 的垂直平分线，交BC 于点N，则点 N 即为所求.图略. 20. 因为∠C=90°,所以∠CAB+∠B=90°.因为∠CAB=∠B+30°,所以 90°,所以∠B=30°.因为 DE 垂直平分AB,所以AE=BE,所以∠BAE=∠B=30°,所以. 21. (1) 因为 BE 平分∠ABC,所以∠ABE= 因为 AB∥CD,所以∠ABE= ∠E,所以∠CBE =∠E,所以BC=CE.因为F 是BE 的中点,所以CG平分∠BCD. (2) 因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°. 因为 ∠ABC = 52°, 所以∠BCD = 因为CG平分∠BCD,所以 因为∠ADE=120°,所以∠CGD=∠ADE-∠GCD=56°. 22. 因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠DAC=∠B+∠C=2∠C.因为 AF 平分∠DAC,所以∠DAC=2∠EAF,所以∠EAF=∠C.因为 E 是 AC 的中点,所以 AE =CE.在△AEF 和△CEM 中, 所以△AEF≌△CEM(ASA),所以AF=CM. 23.(1)∠DAC 的度数不会改变.理由如下：因为BA=BD,所以 ∠B).因为 EA=EC,所以∠CAE=∠C,所以∠AEB=∠CAE+∠C=2∠C,所以 因为∠BAE=90°,所以 所以 ∠B),所以∠DAC=∠ADB-∠C=45°. (2) 因为 BA=BD,所以∠ADB=∠DAB= 因为EA=EC,所以∠CAE=∠C,所以∠AEB=∠CAE+∠C=2∠C,所以 ∠B),所以 因为∠BAE=n°,所以 24. (1) 图略. (2) 3 解析:如图,连接DB,DC,过点D 作DH⊥AC,交 AC 的延长线于点 H,则∠DHA=90°.因为 DE⊥AB,所以∠DEA=∠DEB=90°,所以∠DEA=∠DHA.因为 AD 平分∠BAC,所以∠DAE=∠DAH.在△DAE 和△DAH 中, 所以△DAE≌△DAH(AAS),所以 AE=AH,DE=DH.因为点 D 在 BC 的垂直平分线上，所以DB=DC.在 Rt△DBE 和 Rt△DCH 中, 所以Rt△DBE≌Rt△DCH(HL),所以BE=CH.设BE=CH=x.因为AB=15,AC=9,所以AE=AB-BE=15-x,AH=AC+CH=9+x,所以15-x=9+x,解得x=3,即BE 的长为3. 理由如下：过点E 作 EH⊥BC,交 BC 的延长线于点 H,则∠CHE= 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 90°.因为 DG⊥BC,所以∠BGD=∠DGF= 90°,所以∠DGF=∠EHF,∠BGD=∠CHE. 因为 AB=AC,所以∠B=∠ACB.因为 ∠ACB =∠ECH,所以∠B =∠ECH.在 △DBG 和△ECH 中, 所 以△DBG≌△ECH(AAS),所以 DG =EH,BG = CH,所以 BC = BG +GC =CH+GC=GH.在△DGF 和△EHF 中, 所以△DGF≌△EHF (AAS),所以FG=FH,所以 所以 26. (1)AD=AB+CD (2) AB =AF+CF.证明如下:分别延长AE,DF 交于点 H.因为AB∥CD,所以∠B=∠ECH,∠BAE=∠H.因为 E 是BC 的中点,所以 BE = CE. 在 △AEB 和△HEC 中, 所以△AEB≌△HEC(AAS), 所以AB=HC.因为 AE 平分∠BAF,所以∠BAE=∠FAE,所以∠H=∠FAE,所以AF=HF,所以 AB=HC= HF+CF=AF+CF. 27. (1)在CD 上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC 和△DEF 都是等边三角形,所以DE = FE,∠ECH = ∠DEF = 60°,所以△ECH 是等边三角形,所以 HE =CE,∠CEH=60°,所以∠DEF=∠CEH,所以∠DEF-∠HEF =∠CEH-∠HEF,所以∠DEH =∠FEC.在△DEH 和△FEC 中 所以△DEH≌△FEC (SAS),所以 HD=CF,所以 CE+CF=CH+HD=CD. (2) CE+CD=CF.理由如下:在 EC 的延长线上 截取 CG =CD,连 接 DG.因为△ABC 和△DEF 都是等边三角形,所以DE = DF,∠ACB = ∠EDF = 60°,所以∠DCG=∠ACB=60°,所以△DCG 是等边三角形,所以GD=CD,∠CDG=60°,所以∠CDG=∠EDF,所以∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE,所以∠GDE=∠CDF.在 △GDE 和△CDF 中 所以△GDE≌△CDF(SAS),所以GE=CF,所以CE+CD=CE+CG=GE=CF. 28. (1) (2)答案不唯一，如：选择②.证明如下：过点D 作DM⊥AB 于点 M,DN⊥AC 于点 N,连接 AD,则∠DME=∠DNF =90°.因为△ABC 是等边三角形,所以∠B=∠C=60°,所以 所以 120°. 因为∠EDF = 120°, 所以∠EDF =∠MDN,所以∠MDE=∠NDF.因为 D 是BC 的中点,所以 AD 平分∠BAC,所以DM = DN. 在 △DME 和 △DNF 中, 所以△DME≌△DNF (ASA),所以 ME=NF,所以 BE+CF=BM-ME+CN + NF(或 BM+ME+ 所以BE+CF 的值始终不变. 解析：因为△ABC 是等 第 13 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 边三角形,所以 AC=BC=AB=4,所以L=DE+AE+AF=DE+AB-BE+AC-CF =8+DE-(BE+CF)=8+ 当点 E 与点 B 重合(或点 F 与点C 重合)时，DE 的长取最大值 2,则 L 的最大值为6+2=8;当 DE⊥AB(或 DF⊥AC)时,DE 的长取最小值,且最小值为 则 L 的最小值为6+ 综上所述，L的取值范围是 L≤8. 第 15 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $