专题突破(八)新趋势－压轴题突破 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

专题突破(八) 新趋势一压轴题突破 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25 分) 1.在平面直角坐标系中，已知当x<2时，对于x的每一个值，对应的正比例函数y=kx 的值都小于一次函数 的值，则k 的取值范围为 ( ) B. k>2 D. 0<k≤2 2. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B,C 的坐标分别为(m,0),(0,1),(3,2),则当△ABC 的周长最小时，m的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图,∠MON=90°,△ABC的顶点A,B 分别在边OM,ON上,AC=BC=10,AB=12,当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，△ABC 的形状保持不变.在运动过程中，点C 到点O的最大距离为 ( ) A. 12.5 B. 13 C. 14 D. 15 4.(2025·江苏常州模拟)如图,在△ABC中,BC=10,AC-AB=4,过点C作∠BAC平分线的垂线，垂足为 D，连接BD，则 S△BDC的最大值为 ( ) A. 10 B. 15 C. 12 D. 14 5. 如图①,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠ADC=90°,点 P 从点A 出发,以每秒1个单位长度的速度按A→B→C→D 的顺序在边上匀速运动.设点 P 运动的时间为t s，△APD 的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，则当点 P 运动到BC 的中点时，△APD 的面积为 () A. 4 B. 5 C.6 D. 7 二、填空题(每题5分，共25 分) 6. 在数学活动课上,张老师给出以下两个信息:① 直线l经过点(1,-1);②(x₁,y₁),(x₂,y₂)是 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 直线 l 上任意两点，且当 时， 第一小组经过合作探究得出了直线 l 的函数表达式为 . 7. 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,A(1,4),B(5,0),AB 的中点M 的坐标为(3,2).若一次函数y=kx+b 的图象经过点M，且将△OAB 分成面积之比为2：3的两部分，则k的值为 . 8.如图，等边三角形 ABC 的边长为4，动点 D 从点 B 出发，沿射线 BC 方向运动，以AD 为边在右侧作等边三角形ADE，取AC的中点 F，连接EF，则当EF 的长最小时，BD 的长为 . 9. 如图,在△ABD 中,∠A=90°,BA=DA=1,将△ABD 沿射线BD 平移,得到△EGF,再将△ABD 沿射线BD 翻折,得到△CBD,连接EC,GC,则GC+EC 的最小值为 . 10. 如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,Rt△ABO 的顶点 B 在x 轴上,∠ABO=90°,AB=OB,点C(10,8)在边AB 上,D 为OB 的中点,P 为边OA 上的动点(不与点O,A 重合),连接PC,PD.给出下列说法:① 当点 P 运动到OA 的中点时,点 P 到OB 和AB 的距离相等;② 当点 P 运动到OA 的中点时,∠APC=∠DPO;③当点 P 从点O 运动到点A 时,四边形PCBD 的面积先变大再变小；④当四边形 PCBD 的周长最小时，点P 的坐标为 其中正确的是 .(填序号) 三、解答题(共50分) 11.(14分)(2025·江苏盐城期末)某学校社团设计了一个寻宝游戏，给出了一份寻宝启示：如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A 的坐标为(2，1)，将OA 绕点A 顺时针旋转90°，点O 的对应点为 再将 绕点 顺时针旋转90°，点O 的对应点为 ，依次进行下去，…已知宝藏恰好藏在点 A₅的位置，并且一次函数y=2x-4的图象经过点. (1)点 的坐标为 ； (2)求宝藏点 A₅的坐标. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 12.(18分)如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线 分别交x轴、y 轴于点A，B，将正比例函数y=2x 的图象沿 y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l 分别交x轴、y轴于点C,D,交直线 AB 于点E. (1)直线l的函数表达式是 ，点E 的坐标为 ； (2)若点 F 在直线AB 上(不与点E 重合),且BF=BE,求点 F 的坐标; (3)在x轴上是否存在点 P,使∠PDO=2∠PBO?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 13.(18分)(2025·江苏宿迁期末)如图①，在平面直角坐标系中，O是原点，直线y=2x+b经过点A(-1,-4),B(m,8),它与y轴交于点G,P 是线段AB上的一个动点. (1)b= ,m= ,点G 的坐标为 ; (2)若点 P 关于坐标轴的对称点Q 落在直线 上，求点 P 的坐标； (3)过点 P 作y轴的平行线PE，过点G 作x轴的平行线GE，它们相交于点 E，将△PGE 沿直线 PG 翻折,点E 的对应点为 E'. ① 如图②，当点 E'落在x 轴上时，求点 P 的坐标； ② 在点 P 从点 A 运动到点 B 的过程中，点E'也随之运动，则点 E'运动的路径长为 . 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. C解析：因为当x<2时，对于x的每一个值，正比例函数 y=kx的值都小于一次函数 的值，所以 在 y= kx中,令x=2,得y=2k;在 中,令x=2,得 y=4,所以2k≤4,解得 k≤2.故 k 的取值范围为 参考答案 2. B 解析:因为C△ABC=AB+AC+BC,且BC 的长为定值，所以当 AB+AC 的值最小时，△ABC 的周长最小.作点 B 关于x轴的对称点B',连接B'C,则当 A 为 B'C 与x轴的交点时,AB+AC 取最小值,即△ABC 的周长最小.因为 B(0,1),所以B'(0,-1).设直线B'C 的函数表达式为 y=kx+b.把点B'(0,-1),C(3,2)分别代入 y= kx+b,得 解得 所以直线 B'C的 函数表达式为y=x-1.把点 A(m,0)代入y=x-1,得m-1=0,解得m=1. 3. C 解析:如图,取 AB 的中点 D,连接OD,CD,OC.因为∠MON =90°,AB=12,所以 因为AC=BC=10,所以 CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以 因为 OC≤OD +CD,所以OC≤14,所以点 C 到点O 的最大距离为14. 4. A 解析:分别延长AB,CD 交于点E.因为AD 平分∠BAC,所以∠EAD=∠CAD.因为 CD⊥AD,所以∠ADE=∠ADC=90°.在 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 △ADE 和△ADC 中, 斤以△ADE≌△ADC(ASA),所以AE=AC,DE=DC,所以 因为AC-AB=4,所以AE-AB=4,即BE=4.当 BE⊥BC 时,S△BCE取最大值.因为 BC=10,所以 所以S△BDC的最大值为 5. D 解析:因为AB∥CD,所以∠BAD +∠ADC=180°.因为∠ADC=90°,所以∠BAD=180°-∠ADC=90°.观察题图可知:当t=10时,点 P 运动到点C;当 t=12时,点 P 运动到点D,所以CD=1×12-1×10=2.连接AC.因为当t=10时,S=4,所以S△ACD=4.又 所以 当点 P 运动到点 B 时，△APD 的面积取最大值，且最大值为10.连接BD，则S△ABD=10. 又 AB,所以 AB = 所以当点 P 运动到点 B 时，t=5÷1=5.当5≤t≤10 时,设 S 与t之间的函数表达式为S= kt+b.把点(5,10),(10,4)分别代入 S= kt+b,得 解得 所以 因为 BC=1×10-5=5,所以当点 P 运动到BC 的中点时， 此时 t = 在 中,令t= 得 故当点P 运动到BC 的中点时,△APD 的面积为7. 6. y=-3x+2 解析:设直线l 的函数表达式为y= kx+b.因为(x₁,y₁),(x₂,y₂)是直线l上任意两点，所以 所以 因为当 2时, 所以 把点(1,-1)代入 y=-3x+b,得(-3)×1+b=-1，解得b=2，所以直线l的函数表达式为y=-3x+2. 7. 1或 解析：过点A 作AC⊥x轴于点C，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N.因为 A(1,4),B(5,0),M(3,2),所以 AC =4,OB =5,MN=2,所以 因为一次函数 y=kx+b的图象经过点M，且将△OAB 分成面积之比为 2 ：3 的两部分，所以分类讨论如下：①当一次函数 y=kx+b的图象与边OB 相交时，设交点为 D，则 所以 S△BDM = 又 所以 所以OD=OB-BD=1,所以 D(1,0).把点 M(3,2),D(1,0)分别代入 y= kx+b,得 解得 ② 当一次函数 y=kx+b的图象与边OA 相交时，设交点为 E，则 2:3,所以 取OA 的中点G,连接GM,则 所以GM∥x 轴, 因为直线OA 的函数表达式为y=4x,所以可设E(a,4a),则S△AEM= 所以5-5a=4,解得 所以 把点 M(3,2), 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 分 别 代 入 y = kx + b,得 解得 综上所述，k的值为1或 8. 1 解析:连接CE.因为△ABC,△ADE 都是等边三角形,所以AB=AC,AD=AE,∠ABD=∠BAC=∠DAE=60°,所以∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,所以∠CAE=∠BAD.在 △ACE 和△ABD 中, 所以 △ACE≌△ABD(SAS),所以CE=BD,∠ACE=∠ABD=60°,所以∠ACE=∠BAC,所以CE∥AB,所以点 E 在过点 C 且与 AB 平行的射线上运动.因为 F 是AC 的中点，所以当EF⊥CE 时,EF 的长最小,此时∠CEF=90°,所以 所以CE= 因为等边三角形 ABC 的边长为4,所以AC=4,所以 BD=CE=1.故当EF 的长最小时,BD 的长为1. 9. 解析：如图，连接GA 并平移至 EH，连接AH,CH,则 EH=GA,GE=AH,GE∥AH.因为 GE = BA,GE∥BA,所以 AH =BA=1,H,A,B 三点共线,所以BH=BA+AH=2.因为∠BAD=90°,BA=DA,所以 45°.由翻折的性质,得GC=GA=EH,BC=BA = 1,∠CBD = ∠ABD = 45°, 所 以∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,所以CH= 因为GC+EC=EH+ EC≥CH,所以GC+EC 的最小值为 ①④ 解析:如图①,当点 P 运动到OA 的中点时,连接PB.因为 AB=OB,所以 BP平分∠ABO,所以点 P 到OB 和AB 的距离相等,故①正确;因为∠ABO=90°,所以 AB⊥x轴, 45°.如图①,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,则PE∥x 轴,所以∠APE=∠AOB=45°.因为点 C(10,8)在边 AB 上,所以 BC=8,AB=OB=10,所以A(10,10),所以点 P 的坐标为 即(5,5).因为 D 是OB的中点，所以 所以PD⊥x轴,所以 PD∥AB,所以∠DPO=∠A = 45°, 所以∠APE = ∠DPO. 易知BE=PD=5,所以BC>BE,所以点C 在线段 AE 上,所以∠APC<∠APE,所以∠APC<∠DPO,故②错误;如图②,连接PB,过点 P 分别作PF⊥OB 于点 F,PQ⊥AB 于点Q,则PQ=BF,∠PFO=90°,所以∠OPF=90°-∠AOB=45°,所以∠AOB=∠OPF,所以OF=PF.设OF=PF=m,则PQ= BF = OB - OF = 10 - m,所以 因为 所以S四边形PCBD随m 的增大而减小，所以当点 P 从点O 运动到点 A 时，四边形 PCBD 的面积逐渐变小，故10. 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ③错误；因为C四边形PCBD=PC+PD+BD+BC=PC+PD+13,所以当 PC+PD 的值最小时，C四边形PCBD最小.如图③，作点 D 关于直线OA 的对称点G,连接CG,交 OA 于点P,此时 PC+PD 取最小值.因为点 G 与点D 关于直线OA 对称,所以OG=OD=5,∠AOG=∠AOB =45°, 所以∠GOD =∠AOG+∠AOB=90°,所以点G 在 y 轴上,所以G(0,5).设直线CG 的函数表达式为y=kx+b.把点C(10,8),G(0,5)分别代入 y=kx+b,得 解得 所以直线CG的函数表达式为 易知直线 OA 的函数表达式为 y=x.联立方程组 解得 所以 故④正确. 11. (1)(1,3) (2)由题意，得 所以 同理可得 所以. 所以点 A₅在直线 OA₁上.设直线 OA₁的函数表 达式为 y= kx.把点 A₁(1,3)代入 y= kx,得k=3，所以直线OA₁的函数表达式为y=3x.因为一次函数y=2x-4的图象经过点A₅，所以联立方程组 解得 所以宝藏点 A₅的坐标为(-4,-12). 12.(1) y=2x-3 (4,5) (2) 如图①,分别过点 E,F 作 EM⊥y轴于点 M,FN⊥y 轴 于 点 N,则∠EMB =∠FNB=90°.因为 E(4,5),所以 EM=4.在△BNF 和△BME 中, 所以△BNF≌△BME(AAS),所以 FN =EM=4,所以点 F 的横坐标为-4.在 y= 中,令 x = - 4,得 (-4)+8=11,所以点 F 的坐标为(-4,11). (3)如图②,在 y轴正半轴上取点 Q,使OQ=OD=3,连接 PQ.当点 P 在x 轴负半轴上时,因为 OP⊥DQ,所以OP 垂直平分DQ,所以PQ=PD,所以∠PDO=∠PQD.因为∠PDO = 2∠PBO, ∠PQD = ∠PBO +∠BPQ,所以2∠PBO=∠PBO+∠BPQ,所以∠PBO=∠BPQ,所以 BQ=PQ.在 中,令x=0,得y=8,所以B(0,8),所以 OB =8,所以 PQ= BQ=OB-OQ=5.因为∠POQ=90°,所以OP= 所以 P(-4,0);当点 P在x轴正半轴上时，同理可得 P(4，0).综上所述，存在满足题意的点 P，且点 P 的坐标 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 为(-4,0)或(4,0). 13. (1)-2 5 (0,-2) (2)因为点 P 在线段AB 上，所以可设点 P的坐标为(a,2a-2)(-1≤a≤5).若点 P关于x轴的对称点 Q(a，2-2a)落在直线 上，则 解得a=3,则2a-2=4,所以 P(3,4);若点 P关于y 轴的对称点Q(-a,2a-2)落在直线 上，则 2a-2,解得 则 所以 综上所述，点P 的坐标为(3,4)或 (3) ① 设直线 AB 与x 轴交于点C,P(n,2n-2).由题意,得 0<n≤5.因为 PE∥y轴,GE∥x 轴,所以 GE=n,∠E'CG=∠EGC.由折叠的性质，得(GE'=GE=n,∠E'GC=∠EGC,所以. 所以CE'=GE'=n.在 y =2x-2 中,令 y=0,得2x-2=0,解得x=1,所以C(1,0),所以OC=1,所以OE'=CE'-OC=n-1.因为 G(0,-2),所以OG=2.因为 所以 所以 解得 则2n-2=3，所以点 P 的坐标为( .3). ② 6 解析:如图,当点 P 与点A 重合时,P₁(-1,-4),则 当点 P 与点G 重合时，点E'也与点G 重合.由对称性可知，当点 P 从点A 运动到点G 时，点E'在线段GE₁'上从点E₁'运动到点G，所以点E'运动的路径长为 1；当点 P 与点 B 重合时,P₂(5,8),则 同理可得当点 P 从点G 运动到点 B 时，点E'在线段GE₂'上从点G 运动到点E₂',所以点 E'运动的路径长为5.综上所述，在点 P 从点 A 运动到点 B 的过程中，点E'运动的路径长为1+5=6. 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $