专题突破(六)新情境、新定义问题 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

专题突破(六) 新趋势一新情境、新定义问题 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25 分) 1.对于任意实数a，b，定义一种新的运算：若a≠0，则有( 由此计算 ▲ 的结果是 ( ) B. 0 C. 2 D. 2.如图是8×8的“密码图”.若“今天考试”解密为“祝你成功”，则用此“密码图”解密“亮点给力”的意思是 ( ) A.“追逐梦想” B.“提分宝典” C.“学习伙伴” D.“青春飞扬” 随人嘹伟歌分功命 着成愿大飞程位运 高扬典创点试努共 考在逐举青春民同 的力追祝提已构宝 伙梁学习聪你建眺 梦想今亮明世给望 清台为伴天界类扬 (第2题) 3.定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线 m能将△ABC 恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC 为“奇妙三角形”.如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的为 ( ) 4.(2025·江苏盐城期末)对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD 交于点O.若AD=2,BC=4,则 的值为 ( ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 5.若三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，则称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△PMN 是“好玩三角形”,且∠P=90°,PM>PN,则 PM: PN :MN 等于 ( ) D.无法确定 二、填空题(每题5分，共25 分) 6. 对于任意实数a,b,定义一种新的运算“⊕”:a⊕b=a-3b.如:6⊕(-1)=6-3×(-1)=9.已知 则a+b的平方根为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 7.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC 是“倍长三角形”,底边 BC 的长为3,则腰AB 的长为 .1 8.如图，在平面内，两条直线 相交于点O，对于平面内任意一点 M，若p，q分别是点 M 到直线 的距离，则称(p，q)为点 M 的“距离坐标”.根据上述规定，“距离坐标”是(3，2)的点共有 个. 9.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系中，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向，取与三角形外箭头方向一致的一侧序号)，如：点A 的坐标可表示为(1，2，5)，点B 的坐标可表示为(4，3，1).按此方法，若点C 的坐标可表示为(3,m,m-1),则m= . 10.在平面直角坐标系中，O是原点，对于两点 A，B，给出如下定义：以线段AB 为直角边的等腰直角三角形称为点A，B的“对称三角形”.若一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则在第一象限内，点A，B的“对称三角形”的另一个顶点 C 的坐标为 . 三、解答题(共50分) 11.(16分)(2025·江苏南京期末)如图①,在四边形 ABCD 中,若∠A,∠C均为直角,则称这样的四边形为“美妙四边形”. (1)概念理解：长方形 “美妙四边形”；(填“是”或“不是”) (2)性质探究：如图①，求证：( (3)概念运用:如图②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,点E,F 分别在边AB,AC上,连接DE,DF.若四边形AEDF 是“美妙四边形”,求证:AE+AF=AB. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 12.(16分)定义：对于一次函数 我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)是函数y₁，y₂的“组合函数”. (1) 若m=3,n=1,则函数y=5x+2 是函数 的“组合函数”吗?请说明理由； (2)设函数 与 的图象相交于点 P. ①若m+n>1，点 P 在函数y₁，y₂的“组合函数”图象的上方，求p 的取值范围； ②若p≠1，函数 y₁，y₂的“组合函数”图象经过点 P，则是否存在确定的 m 值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 13.(18分)(2025·江苏无锡期末)如图①,对于平面内的点A,P,将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转90°得到线段 PB,则称点 B 是点 A 关于点 P 的“旋垂点”. (1)在平面直角坐标系中，点S(-3，1)关于原点O 的“旋垂点”的坐标是 ； (2)如图②,已知∠AOB=90°,OC平分∠AOB,将直角三角板的直角顶点 P 放在OC 上,两直角边分别交OA,OB 于点M,N,求证:点 N 是点 M 关于点 P 的“旋垂点”; (3)如图③，在平面直角坐标系中，O是原点，直线y=kx+3与x轴交于点P，与y轴交于点Q,点Q关于点P 的“旋垂点”记为点 T(m,n).若点 P 在x轴的正半轴上,且0<OP<3,点 T 的横坐标m 满足-2<m≤-1,求k 的取值范围. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. A 2. B 3. C 4. C 解析:因为 AC⊥BD,所以∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°,所以 所以 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 所以 因为AD=2,BC=4,所以 5. B 解析:因为 Rt△PMN 是“好玩三角形”,且∠P=90°,PM>PN,所以只能是边 PM上的中线 AN=PM.设 AN= PM=2,则 AM= 所以 所以 所以 PM: 6.±4 7. 6 8. 4 9.3解析：由题意，得点 C 的坐标可表示为(3，3,2),所以m=3. 10. (4,12)或(12,8) 解析:在 中,令x=0,得 y=4,所以B(0,4),所以BO=4;令y=0,得 解得x=8,所以 A(8,0),所以AO=8.分类讨论如下：①如图①，当AC 为该“对称三角形”的斜边时,过点 C 作 CD⊥y轴于点 D,则BC=AB,∠BDC=∠AOB=∠ABC=90°,所以∠BCD+∠CBD=90°,∠ABO+∠CBD= ,所以∠BCD=∠ABO.在△BCD 和△ABO 中, 所以△BCD≌△ABO(AAS),所以 BD=AO=8,CD= BO=4,所以 OD = BO+BD=12,所以C(4,12);② 如图②,当 BC为该“对称三角形”的斜边时，过点 C 作 CE⊥x轴于点E,则同理可得△CAE≌△ABO,所以CE=AO=8,AE=BO=4,所以OE=AO+AE=12,所以 C(12,8).综上所述,点A，B的“对称三角形”的另一个顶点 C 的坐标为(4,12)或(12,8). 11. (1)是 (2) 连接 BD.因为∠A=∠C=90°,所以 所以 所以 (3) 连接AD.因为AB=AC,∠BAC=90°,所以 因为 D 是 BC 的中点,所以 AD = BD = 所以 ∠DAF =∠C= 45°,∠ADB = 90°, 所以∠DAF =∠B,∠ADE +∠BDE = 90°. 由题意,得∠EDF=90°,所以∠ADE+∠ADF=90°,所以∠ADF=∠BDE.在△ADF 和△BDE 中 所以△ADF≌ △BDE (ASA),所以 AF=BE.因为 AE+BE =AB,所以AE+AF=AB. 12. (1)函数y=5x+2是函数 2x-1的“组合函数”.理由如下:因为3(x+1)+(2x-1)=5x+2,所以函数y=5x+2是函数 的“组合函数”. (2)①联立方程组 解得 所以 P(2p+1,p-1).由题意,得y₁,y₂的“组合函数”是 y=m(x-p-2)+n(-x+3p),则当x=2p+1时,y=m(p-1)+n(p-1)=(m+n)(p-1).因为点 P 在函数y₁，y₂的“组合函数”图象的上方，所以((m+n)(p-1)<p-1,即(m+n-1)(p-1)<0.因为m+n>1,所以m+n-1>0,所以 p-1<0,所以 p<1.故p 的取值范围为p<1. ② 把点 P(2p+1,p-1)代入 y=m(x-p-2)+n(-x+3p),得m(p-1)+n(p-1)=p-1,所以(m+n-1)(p-1)=0.因为 p≠1,所以p-1≠0,所以m+n-1=0,所以n=1-m,所以y=m(x-p-2)+(1-m)(-x+3p)=(2m-1)x-(4p+2)m+ 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 3p.在 y=(2m-1)x-(4p+2)m+3p中,令 y=0,得((2m-1)x-(4p+2)m+3p=0.整理,得((3-4m)p+(2m-1)x-2m=0.令3-4m=0,解得 则 解得x=3.故存在符合题意的m值，且m的值为 ,此时点 Q的坐标为(3,0). 13. (1)(-1,-3) (2) 如图①,过点 P 分别作 PE⊥OA 于点E,PF⊥OB 于点 F,则∠OEP=∠OFP=∠NFP=90°.因为 OC 平分∠AOB,所以PE=PF.因为∠AOB=90°,所以∠EPF=360°—∠AOB—∠OEP—∠OFP=90°,所以∠EPM+∠FPM=90°.因为∠MPN=90°,所以∠FPN +∠FPM = 90°, 所以∠EPM=∠FPN. 在△EPM 和△FPN 中, 所以△EPM≌△FPN (ASA),所以 PM=PN,所以点 N 是点 M关于点 P 的“旋垂点”. (3) 如图②,过点 T 作 TH⊥x轴于点 H,则∠THP =∠POQ=90°,所以∠HTP +∠HPT = 90°. 由 题 意, 得 PQ = TP,∠TPQ=90°,所以∠OPQ+∠HPT=90°,所以∠HTP=∠OPQ.在△TPH 和△PQO 中 所以△TPH≌△PQO (AAS),所以HP=OQ.在 y= kx+3中,令x=0,得 y=3,所以 Q(0,3),所以 HP =OQ=3.当 m = - 2 时,OH =2,则 OP =HP-OH=1,所以 P(1,0).把点 P(1,0)代入y= kx+3,得k+3=0,解得k=-3;当 m= - 1 时,OH = 1,则 OP = HP -OH=2,所以 P(2,0).把点 P(2,0)代入y= kx+3,得2k+3=0,解得 因为-2<m≤-1,所以 k 的取值范围为-3< 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $