专题突破(四)一次函数的相关问题 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

专题突破(四) 一次函数的相关问题 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25 分) 1.(2024·广西)激光测距仪L 发出的激光束以 的速度射向目标 M，ts后测距仪L收到M反射回的激光束，则L 到M 的距离d(km)与时间t(s)之间的函数表达式为 () 2.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线l₁的函数表达式为 y=2x，直线l₂与x轴、y 轴分别交于点A，B，且l₁∥l₂,OA=2,则OB 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 3.已知一次函数 与 若当x<1时,y₁<y₂,则k 的取值范围是 () A. k≥-1且k≠0 B. - 1≤k≤2且k≠0 C. k≤2且k≠0 D. k≤-1或 k≥2 4.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线 分别与x 轴、y 轴交于点 A,B,在y轴上有一点C(0，4)，动点 M 从点 A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为 ts,连接CM.当运动到△COM 与△AOB 全等时,t的值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 2 或4 D. 2或6 5.雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，全长240km.一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发匀速驶向雅安，如图，线段OM 表示货车与西昌的距离y₁(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线O—A—B—N表示轿车与西昌的距离y₂(km)与时间x(h)之间的函数关系，则下列结论错误的是 ( ) A.货车出发1.8h后与轿车相遇 B.货车从西昌到雅安的速度为 60 km/h C.轿车从西昌到雅安的速度为110km/h D.轿车到雅安20 min后，货车距离雅安还有20 km 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(每题5分，共25分)1 6.已知 是函数y=kx+b图象上的两点，且. 则 1.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线.y=ax+a(a>0)与x轴、y轴分别交于点 B，A，将线段AB 绕点 A 逆时针旋转 得到线段 PA.若点 P 在定直线l 上运动，则直线l的函数表达式为 . 8.(2025·江苏连云港模拟)某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB，OC 分别表示每天生产成本y₁(元)、收入y₂(元)与产量x(kg)之间的函数关系.若该 手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 kg. 9.定义[p,q]为一次函数y= px+q的特征数.在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(-m,0),B(0,-2m),且△AOB 的面积为4,则经过A,B 两点的一次函数的特征数为 . 10. 在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(4,0),C(m,m),D(m+1,m+1)(m为常数,且m>0),则当AC+BD 的值最小时,m= . 三、解答题(共50分) 11.(16分)A，B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的方案不同. A旅行社的优惠方案如下：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠方案如下：全家每人均按票价的 购票.设某一家庭共有x 人，A，B两家旅行社的收费分别是y₁元，y₂元. (1)请直接写出y₁，y₂与x之间的函数表达式； (2)若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社费用较低； (3)请根据不同的家庭人数情况，说明选择哪家旅行社费用较低. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 12.(16分)如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,已知点A(-8,19),B(6,5). (1)求直线 AB 的函数表达式； (2)某同学设计了一个动画:在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m 和n的值,得到射线CD，其中点C 的坐标为(c，0).当c=2时，会从点 C 处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出. ①若有光点 P 弹出，试推算m，n之间应满足的数量关系； ②当有光点 P 弹出，并击中线段AB 上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段AB 就会发光，求此时整数m 的个数. 13.(18分)(2025·江苏宿迁期末)如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，直线 与x轴交于点C(1,0),与y 轴交于点D(0,2),直线l₁,l₂交于点 E. (1)求直线l₂的函数表达式； (2) 求证:CD=CE; (3)若 P 为直线l₁上一点,则当∠POB=∠BDE 时,求点 P 的坐标. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 1. A 2. B 3. B参考答案 4. D 解析:在 中,令x=0,得y=2,所以 B(0,2),所以OB=2;令 y=0,得 解得x=4,所以 A(4,0),所以OA=4.因为 C(0,4),所以 OC =4,所以OA=OC.因为∠COM=∠AOB=90°,所以当△COM 与△AOB 全等时,只能是△COM≌△AOB,所以OM=OB=2.由题意,得 AM=t.分类讨论如下：①当点 M 在x 轴正半轴上时,AM=OA-OM=2,所以t=2;② 当点M 在x 轴负半轴上时,AM=OA+OM=6,所以t=6.综上所述,t 的值为2 或 6. 5. D解析：设线段OM 所在直线的函数表达式为 把点 M(4,240)代入 得 解得 所以 所以货车从西昌到雅安的速度为60 km/h，故选项B不合题意；设线段 AN 所在直线的函数表达式为 把点 B(1.5,75),N(3,240)分别代入 得 解得 所以 所以轿车从西昌到雅安的速度为 110 km/h，故选项 C不合题意；两车相遇时， 即 60x=110x-90,解得x=1.8,所以货车出发1.8 h后与轿车相遇，故选项 A 不合题意；当x= 时， 则 240-200=40(km),所以轿车到雅安20 min后,货车距离雅安还有40km，故选项D符合题意. 6. 7. y=x-1 8.30 9. [-2,-4]或[-2,4] 解析:因为 A(-m,0),B(0,-2m),所以OA=|m|,OB=|2m|.因为∠AOB=90°,所以 又S△AOB=4,所以 所以m=±2.设经过A，B两点的一次函数的表达式为 y=kx+b.当m=2 时,把点 A(-2,0),B(0,-4)分别代入.y= kx+b,得 解得 所以特征数为[-2,-4];当m=-2时,把点A(2,0),B(0,4)分别代入 y= kx+b,得 解得 所以特征数为[-2，4].综上所述，经过A，B两点的一次函数的特征数为[-2,-4]或[-2,4]. 10. 1 解析:因为 C(m,m),D(m+1,m+1),所以点C，D都在直线 y=x上.如图，作点A(2,0)关于直线 y=x 的对称点 A₁,则A₁(0,2).连接A₁C,则 .过点 D作DA₂∥A₁C 且. 则 点A₂的坐标为(0+1,2+1),即(1,3),所以 ,所以当 A₂,D,B 三点共线时,AC+BD 取最小值.连接 A₂B.设直线 A₂B 的函数表达式为y=kx+b.把点A₂(1,3),B(4,0)分别代入 y= kx+b,得 解得 所以直线 A₂B的函数表达式为y =-x+4.联立方程组 解得 所以 D(2,2),所以m+1=2,解得m=1. 11. (1)由题意,得 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 (2) 当x=5时,y₁=45×5+45=270,y₂=60×5=300.因为270<300,所以小红家选择 A 旅行社费用较低. (3)令 ,得45x+45<60x,解得x>3;令 ₂,得45x+45=60x,解得x=3;令 ,得45x+45>60x,解得x<3.故当家庭人数大于 3时，选择A 旅行社费用较低；当家庭人数等于 3时，选择 A，B旅行社费用相同；当家庭人数小于 3 时，选择 B 旅行社费用较低. 12. (1) 设直线 AB 的函数表达式为y= kx+b.把点A(-8,19),B(6,5)分别代入y= kx+b,得 解得 所以直线AB 的函数表达式为y=-x+11. (2)① 因为有光点 P 弹出,所以c=2.把点C(2,0)代入y= mx+n,得2m+n=0.故若有光点 P 弹出，则m，n之间应满足的数量关系为2m+n=0. ② 设线段 AB 上的整点为(t,-t+11)(-8≤t≤6),则 tm+n=-t+11.因为2m+n=0,所以n=-2m,所以(t-2)m=-t+11.整理,得 因为t,m为整数,所以t 可取-7,-1,1,3,5，则m 可取的整数值也有5个.故符合题意的整数m 的个数为5. 13. (1) 把点 C(1,0),D(0,2)分别代入 y =kx+b,得 解得 所以直线l₂的函数表达式为 y=-2x+2. (2) 如图,过点 E 作 EF⊥x轴于点 F,则∠CFE = ∠COD = 90°. 联 立 方 程 组 解得 所以 E(2,-2),所以OF=2.因为C(1,0),所以OC=1,所以FC=OF-OC=1,所以OC=FC. 在△OCD 和△FCE 中, 斤以△OCD≌△FCE(ASA),所以CD=CE. (3)分类讨论如下：①如图，当点 P 在线段AB上时,因为∠POB=∠BDE,所以 OP∥DE.因为直线l₂的函数表达式为 y=-2x+2，所以直线OP 的函数表达式为y=-2x.联立方程组 解得 所以 ②作点 P 关于y轴的对称点Q，连接OQ 并延长，交直线l₁于点 P'，则由对称性可知∠P'OB=∠POB=∠BDE.因为 所以 设直线OP'的函数表达式为 y=ax.把点 代入y= ax,得 解得a=2，所以y=2x.联立方程组 解得 所以 P'(-4,-8).综上所述,点P 的坐标为 或(-4,-8). 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $