专题突破(二)等腰三角形相关性质的应用 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

专题突破(二) 等腰三角形相关性质的应用 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩： 一、选择题(每题5分，共25 分) 1.如果一个等腰三角形的一条边长是另一条边长的k 倍，那么我们把这样的等腰三角形叫作“k倍边等腰三角形”.若一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18 cm，则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.12 cm B. 12 cm或2cm C. 2cm D. 4 cm或12 cm 2.如图,在△ABC 中,BA=BC,以点 B 为圆心,适当长为半径作弧,交BA 于点 M,交 BC 于点N，分别以点M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点D，射线BD交AC于点E,F 为BC的中点,连接EF.若BE=AC=2,则△CEF 的周长是 ( ) A. 4 3. 如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC,将BC 绕点B 顺时针旋转 得到BP,连接AP,CP,过点A 作AH⊥CP,交CP 的延长线于点H,则∠PAH 的度数 ( ) A.随着θ的增大而增大 B.随着θ的增大而减小 C.随着θ的增大，先增大后减小 D.不变 4.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，△ABC 是面积为3的等腰三角形，AB=AC,点 B,C在x轴上,且 B(1,0),C(3,0).规定将△ABC“先沿y 轴翻折,再向下平移1个单位长度”为一次变换，这样连续经过2 025次变换后，△ABC的顶点 A 的坐标为 ( ) A. (-2,-2022) B. (2,-2022) C. (-2,-2 023) D. (2,-2 023) 5.(2025·江苏苏州期末)如图,在△AOB 和△COD 中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB= ,连接AC,BD 交于点M,连接OM.给出下列结论:①∠AMB=36°;②AC= 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 BD;③ OM 平分∠AOD;④ MO 平分∠AMD.其中正确的有 ( ) A. 4 个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题(每题5分，共25 分) 6.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.在等腰三角形 ABC 中,若∠A=80°,则它的特征值k= . 7. 如图,在△ABC 中,AB=20cm,AC=12 cm,点 P 从点 B 出发,沿 BA 以3cm/s的速度向点 A 运动,同时点Q 从点A 出发,沿AC 以2cm/s的速度向点 C 运动,当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ 是等腰三角形(其中∠A 为顶角)时，运动的时间为 s. 8. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,将△ABC 沿DE 折叠,使得点 B 落在边AC 上的点 F 处.若∠CFD=60°,且△AEF 为等腰三角形,则∠A 的度数为 . 9. 亮点原创·如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 在线段AB 上,点 N 在线段AB的延长线上,满足∠MCN=45°.若AM=3,BN=4,则BM= . 10.在平面直角坐标系中，O是原点，点A 的坐标是 ,B 是正比例函数y= kx(x>0)的图象上一点.若只存在唯一的点 B，使△AOB 为等腰三角形，则k 的取值范围是 . 三、解答题(共50分) 11.(16分)如图,在△ABC 和△ADE 中,AB=AD,AC=AE,∠BAC+∠DAE=180°. (1)如图①,当点C 在AD 上时,连接CE.若∠BAC=90°,∠ABC=30°,求∠CED 的度数; (2) 如图②,∠BAC≠90°,连接BE,CD,F 为BE 的中点,连接AF.求证: 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 12.(16 分)在 中， ,D 为线段BC 上一动点(不与点 B,C 重合),连接AD,以AD 为直角边向左边作等腰直角三角形DAF,使∠DAF=90°,连接BF. (1)如图①，若AB=AC，试判断BF与CD 所在直线之间的位置关系，并证明你的结论； (2)如图②,若AB≠AC,AD<AB,(1)中结论是否成立? 为什么? 13.(18分)(2025·江苏常州模拟)我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”.若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”. (1)如图①,在锐角三角形ABC 中,∠BAC=25°,∠ABC=75°.若存在线段 BD 是△ABC 的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形顶角的度数是 ； (2)如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,O是AB 的中点,过点C作∠BCD=40°,交AB 的延长线于点D，边CD 上的一点E 恰好在OD 的垂直平分线上.求证：线段OC，OE 是△ACD 的“钻石线”; (3)若一个等腰三角形有“黄金线”，则该等腰三角形底角的度数是 . 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. C 2. D 3. D 4. A 解析:过点A 作AD⊥BC 于点 D.因为AB=AC,所以 因为B(1,0),C(3,0),所以OB=1,OC=3,所以BC=OC-OB=2,所以BD=1,所以OD=OB+BD=2.因为 所以 所以A(2,3),所以经过1次变换后,点 A 的坐标为(-2,3-1),即(-2,2);经过2次变换后,点 A 的坐标为(2,3-2),即(2,1);经过3次变换后,点 A 的坐标为(-2,3-3),即(-2,0);···;依此类推,经过2025次变换后,△ABC 的顶点A 的坐标为(-2,3-2025),即(-2,-2022). 5. B 解析:因为∠AOB=∠COD=36°,所以∠AOB+∠BOC =∠COD+∠BOC,所以∠AOC=∠BOD.在△AOC 和△BOD中, 所以△AOC ≌△BOD (SAS),所以S△AOC=S△BOD,∠OAC=∠OBD,∠OCA=∠ODB,AC=BD,故②正确;如图,设AC与OB 交于点G.因为∠OBD+∠AMB+∠BGM=180°,∠OAC+∠AOB+∠OGA=180°,∠BGM=∠OGA,所以∠AMB=∠AOB=36°,故①正确;过点O分别作 OE⊥MA 于点E,OF⊥MD 于点 F,则 所以OE=OF,所以MO平分∠AMD,故④正确;若OM 平分∠AOD,则∠AOM=∠DOM.因为 MO平分∠AMD,所以∠AMO=∠DMO.在△AOM 和△DOM 中 所以△AOM≌△DOM 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 (ASA),所以OA=OD.因为 OC=OD,所以OA=OC,与OA<OC 矛盾,故③错误.综上所述，其中正确的结论有3个. 6. 或 7. 4 8. 40°或50° 9. 1 解析:如图,过点 C 作CQ⊥CN,且CQ=CN,连接 AQ,MQ,则∠NCQ=90°.因为∠ACB =90°,所以∠ACB=∠NCQ,所以∠ACB-∠BCQ=∠NCQ-∠BCQ,所以∠ACQ=∠BCN.在△ACQ 和△BCN 中, 所以△ACQ≌△BCN (SAS),所以AQ=BN=4,∠CAQ=∠CBN. 因为∠CAQ=∠BAC+∠BAQ,∠CBN= ∠BAC+∠ACB,所以∠BAQ=∠ACB=90°. 因为AM=3,所以 因为∠MCN=45°,所以∠MCQ=∠NCQ- ∠MCN=45°,所以∠MCN =∠MCQ.在 △MCN 和△MCQ 中. 所以 △MCN≌△MCQ(SAS),所以 MN=MQ=5,所以BM=MN-BN=1. 或 解析：若只存在唯一的点B,使△AOB 为等腰三角形,则. 或∠AOB≥90°.过点 A 作 AC⊥x 轴于点C,过点B 作BD⊥x轴于点D,则∠OCA=∠ODB=90°.因为 所以OC= ,AC=1,所以( 所以OA=2AC,所以∠AOC=30°.分类讨论如下:①当∠AOB=60°时,∠BOD=∠AOB-∠AOC=30°,显然点 B 与点A 关于x轴对称,所以 B( ,1).把点B( ,1)代入 y=kx,得 解得 ②当∠AOB=90°时,∠BOD=∠AOB-∠AOC=60°,易证△BOD≌△OAC,所以 B(1, ).把点B(1, )代入 y= kx,得 所以当∠AOB≥90°时, 综上所述，k的取值范围是 或 11. (1) 因为∠BAC+∠DAE=180°,∠BAC=90°,所以 所以∠DAE=∠BAC.因为 AC=AE,所以 在△DAE 和△BAC 中, 斤以△DAE≌△BAC(SAS),所以∠ADE=∠ABC=30°,所以. 60°,所以∠CED=∠AED-∠AEC=15°.(2) 延长 AF 至点 M,使 MF=AF,连接ME.因为 F为BE 的中点,所以BF=EF.在△MFE 和△AFB 中, 斤以△MFE≌△AFB(SAS),所以ME=AB, 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∠MEF=∠ABF,所以ME∥AB,所以∠MEA +∠BAE = 180°. 因为∠BAC +∠DAE=180°,所以∠DAC+∠BAE=360°—(∠BAC+∠DAE)=180°,所以∠DAC=∠MEA.因为AB=AD,所以ME=AD.在△ACD 和△EAM 中, 所以△ACD≌△EAM(SAS),所以 CD =AM=AF+MF=2AF,所以 12. (1) BF⊥CD.证明如下:因为AB=AC,所以∠C=∠ABC=45°,所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=90°,所以∠CAD+∠BAD=90°.因为△DAF 是等腰直角 三角 形,∠DAF=90°,所以 AD = AF,∠BAF+∠BAD =90°,所以∠BAF =∠CAD. 在△BAF 和△CAD 中, 所以△BAF≌△CAD(SAS),所以∠ABF=∠C=45°,所以∠CBF=∠ABC+∠ABF=90°,所以BF⊥CD. (2)(1)中结论成立.理由如下：过点 A 作AE⊥AB,交 BC 于点E,则∠BAE=90°,所以∠EAD+∠BAD=90°.因为∠ABC=45°,所以 所以∠ABC=∠AED,所以 AB=AE. 因为△DAF 是等腰直角三角形,∠DAF=90°,所以AF=AD,∠BAF+∠BAD=90°,所以∠BAF=∠EAD.在△BAF 和△EAD 中 所以△BAF≌△EAD (SAS),所以∠ABF=∠AED=45°,所以 ∠CBF=∠ABC+∠ABF=90°,所以BF⊥CD. 13.(1)130° (2) 因为∠ACB=90°,O 是AB 的中点,所以 因为 所以 ,所以△OBC是等边三角形,所以∠BOC =60°.因为∠BCD=40°,所以∠D=∠ABC-∠BCD=20°.因为点 E 在OD 的垂直平分线上，所以OE= DE,所以∠EOD =∠D =20°,所以∠COE=∠BOC-∠EOD=40°,∠CEO=∠EOD+∠D=40°,所以∠COE=∠CEO,所以△AOC,△OCE,△ODE 都是等腰三角形,所以线段OC,OE 是△ACD 的“钻石线”. (3)72°或 或36°或45°解析：分类讨论如下：① 如图①，△ABC 是锐角三角形，AB=AC,BG 是“黄金线”,且 AG=BG=BC.设∠A=x°,则∠ABG=∠A=x°,所以∠C=∠BGC=∠A +∠ABG=2x°,所以∠ABC=∠C=2x°.因为∠A+∠ABC+∠C=180°,所以x+2x+2x=180,解得x=36,所以∠C=72°,即该等腰三角形底角的度数是 72°;② 如图②,△ABC 是锐角三角形,AB=AC,BR 是“黄金线”,且AR=BR,BC=CR.设∠A = y°,则∠ABR =∠A= y°,所以∠CBR=∠CRB=∠A+∠ABR=2y°,所以∠C=∠ABC=∠ABR+∠CBR=3y°.因为∠A+∠ABC+∠C=180°,所以y+3y+3y=180,解得 所以 即该等腰三角形底角的度数是 ③如图③,△ABC 是钝角三角形,AB=AC,AH 是“黄金线”,且AB=BH,AH=CH.设∠C=z°,则∠CAH= 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∠C=z°,∠B=∠C=z°,所以∠BAH=∠BHA=∠C+∠CAH=2z°.因为∠B+∠BAH+∠BHA=180°,所以 z+2z+2z=180,解得z=36,所以∠C=36°,即该等腰三角形底角的度数是 36°；④如图④，△ABC 是直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,AK 是“黄金线”,且AK=BK=CK,则 即该等腰三角形底角的度数是45°.综上所述，该等腰三角形底角的度数是 72°或 或 36°或45°. 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $