10.1.2 复数的几何意义 同步练习-2024-2025学年高一下学期人教B版数学必修第四册

10.1.2　复数的几何意义 基础过关练 考点一　复数的模 1.已知复数z=3a-2+(a-2)i(a∈R),若z为实数,则|z|=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.5 2.若复数z的实部等于虚部的2倍,且|z|=2,则复数z=(　　) A.4+2i　　　　 B.4+2i或-4-2i C.2+4i或-2-4i　　　　D.2+4i 3.下列结论中正确的是(　　) A.若|z|=3,则z=±3 B.若|z1|>|z2|,则z1>z2 C.若z=(m+1)+(m-1)i(m∈R),则|z|> D.若|z|=z,则z一定是实数 4.写出一个复数z,满足实部和虚部互为相反数,且1<|z|<2:　　.  考点二　共轭复数 5.已知复数z=3+4i,则z的共轭复数的虚部与实部之差为(　　) A.7　　　　B.-7　　　　C.1　　　　D.-1 6.设复数z满足=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z=(　　) A.-i　　　　B.+i　　　　C.1　　　　D.-1-2i 7.设a,b∈R,i是虚数单位,若复数a+i与-1+bi互为共轭复数,则(　　) A.a=-1,b=1　　　　B.a=-1,b=-1 C.a=1,b=1　　　　D.a=1,b=-1 8.(多选题)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列命题正确的是(　　) A.z不可能为纯虚数 B.若z=,则z是实数 C.若z=||,则z是实数 D.|z|可以等于 考点三　复数与复平面内点的对应关系 9.在复平面内,复数z对应的点为Z(1,2),则|z|=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 10.在复平面内,复数z=(a-2)+(1+2a)i对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围为(　　) A.　　　　B. C.(2,+∞)　　　　D. 11.在复平面内,点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i.若C为线段AB上靠近点B的三等分点,则点C对应的复数是　(　　) A.1+3i　　　　B.-1+3i　　　　C.5+i　　　　D.1+4i 12.已知复数z1=2+i,z2=-1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,则△OZ1Z2的面积为　　　　.  13.已知i为虚数单位,a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i在复平面内对应的点位于第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么图形? 14.已知复数z1=cos θ+isin 2θ,z2=sin θ+icos θ,θ∈R,则当θ满足什么条件时: (1)z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称? (2)|z2|<? 考点四　复数与复平面内向量的对应关系 15.在复平面内,复数z=-+i对应的向量为,复数z+1对应的向量为(O为坐标原点),那么向量对应的复数是(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.i　　　　D.-i 16.已知复数1+i与3i在复平面内对应的向量分别为和(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为　　　　.  17.在复平面内,已知O为坐标原点,向量对应的复数为-3+4i, 对应的复数为2a+i(a∈R).若向量与共线,求a的值. 18.如图,在复平面内有一个平行四边形ABCD,点A对应的复数为 -1,对应的复数为2+2i,对应的复数为z,且=4+4i. (1)求点D对应的复数; (2)求平行四边形ABCD的面积. 答案 基础过关练 1.C　因为复数z=3a-2+(a-2)i(a∈R)为实数,所以a-2=0,即a=2,则z=4,所以|z|=4. 2.B　设z=x+yi(x,y∈R),依题意得 解得或所以z=4+2i或z=-4-2i. 3.D　当z=1+2i时,满足|z|=3,故A错误;当|z1|>|z2|,但z1,z2不都是实数时,z1,z2无法比较大小,故B错误;由z=(m+1)+(m-1)i(m∈ R),得|z|==≥,故C错误;设z=a+ bi(a,b∈R),因为|z|=z,所以=a+bi,因此有=a且b=0,所以z一定是实数,故D正确. 4.答案　z=1-i(答案不唯一) 解析　设z=x+yi(x,y∈R),依题意可知,x+y=0, 所以|z|==|x|∈(1,2),即|x|∈. 取满足该条件的复数即可,如z=1-i. 5.B　因为z=3+4i,所以=3-4i,其虚部与实部之差为-4-3=-7. 6.A　因为=|1-i|+i=+i,所以复数z=-i. 7.B　因为复数a+i与-1+bi互为共轭复数,所以 8.BC　当a=0,b=1时,z=i,为纯虚数,故A错误;若z的共轭复数为,且z=,则 a+bi=a-bi,因此b=0,所以z是实数,故B正确;显然C正确;由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,则Δ=64-4×8×3 =-32<0,所以该方程无实数解,又a,b∈R,所以|z|不可能等于,故D错误. 9.A　由题意可得z=1+2i,所以|z|=|1+2i|==. 10.A　设复数z=(a-2)+(1+2a)i在复平面内对应的点为Z,则Z(a-2,1+2a). 因为点Z位于第二象限,所以解得-<a<2. 11.A　∵在复平面内,点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i, ∴A(-3,5),B(3,2). 设C(x,y),则=(x+3,y-5),=(6,-3). ∵C为线段AB上靠近点B的三等分点, ∴=,∴解得 ∴C(1,3),故点C在复平面内对应的复数为1+3i. 12.答案　 解析　由题意得Z1(2,1),Z2(-1,2),则=(2,1),=(-1,2),所以||=,||=,·=-1×2+1×2=0,所以⊥,故=||||=××=. 13.解析　因为a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1, 所以复数z的实部大于0,虚部小于0, 所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限. 设z=x+yi(x,y∈R),则x=a2-2a+4,y=-(a2-2a+2),消去a2-2a,可得y=-x+2(x≥3). 所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以(3,-1)为端点,-1为斜率,在第四象限内的一条射线. 14.解析　(1)在复平面内,z1与z2对应的点关于实轴对称,则解得k∈Z, 所以θ=2kπ+(k∈Z). (2)由|z2|<,得<, 即3sin2θ+cos2θ<2,所以sin2θ<, 所以kπ-<θ<kπ+(k∈Z). 15.A　由题意得A,B,则=(1,0),所以对应的复数为1. 16.答案　 解析　根据题意得=(1,1),=(0,3), ∴cos<,>===, 又0≤<,>≤π,∴向量与的夹角为. 17.解析　由题可知=(-3,4),=(2a,1).因为向量与共线,所以存在实数k,使得=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k), 所以解得 18.解析　(1)因为点A对应的复数为-1,所以A(-1,0). 因为=4+4i,所以z=4-4i,所以=(4,-4). 设D(x,y),则=(x+1,y). 因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,即(x+1,y)=(4,-4),解得x=3,y=-4,即D(3,-4),故点D对应的复数为3-4i. (2)由题意及(1)可知=(2,2),=(4,-4), 所以·=0,故⊥,则平行四边形ABCD为矩形. 易得||=2,||=4, 故平行四边形ABCD的面积为2×4=16. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $