精品解析：四川省蓬溪中学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

蓬溪中学高2025级第一学期第一次月考 数学试题 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】，，，，. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题，所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式性质举出反例可得A、B、D错误，借助不等式的同向可加性可得C. 【详解】对A：当时，则，故A错误； 对B：当时，满足，，而，故B错误； 对C：由，得，故C正确； 对D：当时，满足，，而，故D错误. 故选：C. 4. 集合的真子集个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合中的元素个数，即可求解. 【详解】因为， 所以该集合的真子集的个数为， 故选：B. 5. 已知，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先判断由能否推出，结合充分条件的定义判断是否为的充分条件，再判断由能否推出，结合必要条件的定义判断是否为的必要条件，由此可得结论. 【详解】取，，此时，但， 所以由不能推出， 所以不是的充分条件， 由，且，由不等式性质可得， 所以可推出， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 6. 集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 0或或 【答案】D 【解析】 【分析】由，则，分和进行讨论，从而确定的取值. 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：D. 7. 已知实数，集合，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，结合题意及集合互异性可得，即可得答案. 【详解】由，分情况讨论如下： 若，则，则，则，得到矛盾结论； 则，则，从而，则. 则. 故选：C 8. 定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①②都正确 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合新运算把问题转化为熟悉的问题来求解. 【详解】或，或， 或， 或，①正确； 或且，②正确. 故选：B 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分的分，有选错的得0分) 9. 下列表述正确的有（ ） A. B. C. D. 表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（    ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，，则对应的的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，利用充分条件和必要条件进行分析得解；对于B选项，讨论方程中二次项的系数是否为零，分类讨论求解，在二次项系数不为0的时候，方程的判别式为0，从而得到的值；对于C选项，直接求命题的否定即可得解；对于D选项，利用得到，再求出的子集就是，从而得到的个数. 【详解】对于A选项：有理数是实数，但是实数不一定是有理数，是的充分不必要条件，则 A选项正确； 对于B选项：中只有一个元素，当时，方程无解，不满足中只有一个元素；当时，中只有一个元素，则有，解得（舍去）或.综上可知，若集合中只有一个元素，则，则 B选项正确； 对于C选项：，，，，，，对应的的集合为，则 C选项正确； 对于D选项：集合，，，为，，，，的个数为4，则 D选项错误. 故选：ABC. 11. 已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件： ①集合P，Q中的元素都为正数；②，，都有； ③，，都有； 则下列说法正确的是（ ） A. 若P有2个元素，则Q有3个元素 B. 若P有2个元素，则有3个元素 C. 若P有2个元素，则有1个元素 D. 存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】BC 【解析】 【分析】若P有2个元素，设，根据集合的性质和题设进行分析推导，可以判定；假若P有3个元素，设，根据题设条件推导，可以得到还会有第四个元素，得到矛盾，从而判定. 【详解】若P有2个元素，设，则. 根据题意，则. ∵至少有2个元素，∴集合中至少还有一个元素， 设，则,且, 若，则， ∵, ，∴，矛盾， 故，∴或. 若，则，∴， 若，则，与矛盾,∴，同理. 此时,，； 若，则，∴， 若，则，与矛盾,∴，同理. 此时，, ； 综上，若P有2个元素，则有2个元素，有3个元素，有1个元素， 故A错误，B正确，C正确； 假若P有3个元素，设，则为互不相等的正数. 根据③，有. 由于都是正数，且两两不相等，所以两两不相等. 由条件②可得，都是集合的元素. ∵为互不相等的正数，∴都是不等于1的正数. ∴. ∵为不相等的正实数，∴，， 若，则为互不相等的正数， 由两边取到数得，又∵， ∴是与三个不等正数都不相等的正数， 由于它们都是集合的元素，从而集合至少有四个元素，与初始假设矛盾； ∴，于是.同理, 由此,从而，这与集合P的元素的互异性矛盾. 故“P有3个元素”是不可能的，故D错误. 故选：BC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知集合，，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据集合的运算求出，再根据补集的定义求解即可. 【详解】由已知集合，， 所以，所以或. 故答案为：或. 13. 已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 14. 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【解析】 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 16. 已知全集，，，且. （1）求实数，的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的混合运算集结果求得，进而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，结合集合的交并补运算即可得解. 【小问1详解】 因为全集，且， 所以，则， 又，， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以，故. 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据包含关系求解即可； （2）由题意可得，进而分、两种情况求解即可. 【小问1详解】 由，则，解得， 则实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是成立的充分不必要条件，所以， 当时，，解得； 当时，由，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 18. 设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）①，不等式恒成立；②或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分离参数，再利用二次函数求出最小值即可. （2）①写出命题的否定；②求出命题，再求出一真一假的范围. 【小问1详解】 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数m的取值范围是. 【小问2详解】 ①命题使得不等式成立是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题q的否定是：，不等式恒成立. ②不等式，依题意，，不等式成立， 则 m 需大于 2x 在该区间的最小值，当时，，当且仅当时取等号，则， 命题，由（1）知，命题，由命题p，q中有且仅有一个为真命题， 得真假，有且，即；或假真，有且，即， 因此或， 所以实数m的取值范围是或. 19. 现有集合，集合 （1）判断中哪些元素属于集合B； （2）求证：若，则； （3）求证：若，则有且为奇数. 【答案】（1）， （2） 当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. （3） 由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可. （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证. （3）根据给定条件可得，进而求出，再推理说明是奇数即可. 【小问1详解】 由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬溪中学高2025级第一学期第一次月考 数学试题 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 集合的真子集个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 6 5. 已知，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 0或或 7. 已知实数，集合，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 8. 定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①②都正确 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分的分，有选错的得0分) 9. 下列表述正确的有（ ） A. B. C. D. 表示没有任何元素的集合 10. 下列说法正确的是（    ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，，则对应的的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 11. 已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件： ①集合P，Q中的元素都为正数；②，，都有； ③，，都有； 则下列说法正确的是（ ） A. 若P有2个元素，则Q有3个元素 B. 若P有2个元素，则有3个元素 C. 若P有2个元素，则有1个元素 D. 存在满足条件且有3个元素的集合P 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知集合，，则__________. 13. 已知，，则的取值范围是______. 14. 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 16. 已知全集，，，且. （1）求实数，的值； （2）求. 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 19. 现有集合，集合 （1）判断中哪些元素属于集合B； （2）求证：若，则； （3）求证：若，则有且为奇数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $