精品解析：吉林省吉林市船营区桃源路中学2025—2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷

吉林市桃源路中学八年级（上）第一次月考 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 4cm、4cm、9cm B. 4cm、5cm、6cm C. 2cm、3cm、5cm D. 12cm、5cm、6cm 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得 A、4+4＜9，不能组成三角形，故此选项错误； B、4+5＞6，能组成三角形，故此选项错误； C、3+2=5，能够组成三角形，故此选项正确； D、6+5＜12，不能组成三角形，故此选项错误． 故选B 考点：三角形的三边关系 2. 中边的高，表示正确的是（ ） A.     B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义．边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有D选项中的图形是画出边上的高， 故选：D． 3. 如图，已知，，要使，还需添加一个条件，下列条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有、，两直角三角形全等还有等，根据等式的性质得，再根据全等三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，利用可得； 当时，两边及对角对应相等无法证明； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 故选：B． 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 5. 如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 【答案】B 【解析】 【详解】如图，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2， ∵∠1+∠2+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故选：B. 6. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出下列四个结论：①的面积等于的面积；②；③；④，其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、直角三角形的性质及三角形的中线与高，熟练掌握角平分线的性质定理、直角三角形的性质及三角形的中线与高是解题的关键；由题意易得，根据直角三角形的性质可得，，然后根据角平分线的性质定理可进行求解． 【详解】解：∵是高，是中线，是角平分线， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，，故②③正确； 过点F作于点M，如图所示： ∵是角平分线，， ∴，故④错误； 综上所述：正确的有3个； 故选：C． 二．填空题（每题3分，共15分） 7. 已知等腰三角形的两边长分别是3和9，则此三角形的周长是______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件；分腰长为3与腰长为9两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为3时，，不能构成三角形； 当腰长为9时，， 则三角形的周长为：； 综上，此三角形的周长是21． 故答案为：21． 8. 若三角形三个内角度数的比为2：3：5，则这个三角形的形状是__________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理；设最小角的度数为，则两位两角的度数分别为，，利用三角形内角和是，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出结论． 【详解】解：设最小角的度数为，则两位两角的度数分别为，， 根据题意得：， 解得：， ， 这个三角形一定是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 9. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的和差，三角形的内角和定理，理解角的位置关系和角的和差是解题的关键．根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意，一副三角尺， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，和相交于点，连接和，若，，，则_______． 【答案】##73度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：在中，，在中，， ∵， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为． 11. 如图，、分别是的高和中线，已知，，则的面积是_______．     【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形的中线与面积的关系可进行求解． 【详解】解：∵、分别是的高和中线，，， ∴，， ∴； 故答案为15． 三．解答题（共11小题，共87分） 12. 在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数. 【答案】∠A=50°,∠B=55°,∠C=75. 【解析】 【分析】根据等量关系与三角形的内角和即可求解. 【详解】∵∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°, 即∠A=∠B-5°, ∠C =∠B +20°, 又∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B-5°+∠B+∠B +20°=180° ， 解得∠B=55° ∴∠A=50°,∠B=55°,∠C=75°. 【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°. 13. 如图，在中，，平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【解答】解：∵， ∴（三角形内角和定义）． ∵平分， ∴， ∴． 14. 如图，在和中，，，AC与BD相交于点O． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先利用定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：在和中，， 和都是直角三角形， 在和中，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题关键． 15. 如图，已知，，，，垂足分别是点、．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据证明与全等． 根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， 则， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 16. 生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】（1）稳定 （2） 是的中点， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，三全等三角形的判定和性质，线段中点的定义，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【小问1详解】 解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； 【小问2详解】 略 17. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （3）在图③中画出一个与不全等但面积相等的； （4）在图④中画出一个与全等的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的性质，全等三角形的判定： （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点，作直线即可； （3）根据三角形不全等但面积相等的性质画出同底等高的三角形即可． （4）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，高线即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，取格点，作直线，直线即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问4详解】 解：如图所示，即为所求． ∵， ∴． 18. 如图，已知，，，，与相交于点．试说明与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 【答案】，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 由“手拉手”模型，利用证明，则，，在中，，从而在中，求得即可得证． 【详解】解：，，理由如下， 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. ∵， ， 在中，， 在中，， ． 19. 【知识呈现】如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：； 【应用1】在图①中，若，，中线的取值范围是 ． 【应用2】如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则 ． 【答案】知识呈现：见详解；应用1：；应用2：6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的等积转换；掌握全等三角形的判定及性质，会进行等积转换是解题的关键． 知识呈现：由可判定，由全等三角形的性质即可求证； 应用1：根据【知识呈现】可知，结合三角形三边关系即可求解． 应用2：同理可证：，由三角形的面积得，由即可求解； 【详解】解：知识呈现： 证明：∵是的中点， ， ， ， 在和中 ， ， ； 应用1：由【知识呈现】可知， ∴，， ∴， ∴； 应用2：∵是的中点， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：6． 20. 已知，中，，，一直线过定点，过，分别作其垂线，垂足分别为，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，则的面积是 ． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据即可证明； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 理由如下： ， ， ， 又 ∵， ， ， ， 即； 【小问3详解】 解：由（2）得且， ， ， ，， ． 21. 【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则 度，若，则 度，直接写出与的关系式 （用含有的式子表示） 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质，折叠的性质，掌握以上知识，图形几何分析，构造合理的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，代入计算即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，角平分线的性质可得，由此可得； （3）根据上述计算可得，根据折叠的性质可得，根据平角的性质可得，由此可得，结合三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴ 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴； （3）∵的平分线交于点， ∴由（1）可得，， ∵将沿折叠，使得点与点重合， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 22. 如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； （2）求为何值时，与的面积相等； （3）求为何值时，与全等； （4）是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分类讨论当和当时两种情况即可； （2）由题意得，可得，分类讨论当和当时两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得厘米， 当时，； 当时，； 则； 【小问2详解】 由题意得， ∴， 当时，， 此时， 解得； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：当或时，与的面积相等； 【小问3详解】 由题意得是直角三角形， ∴当时，即点在上运动时，有， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， 解得； 【小问4详解】 存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在长方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市桃源路中学八年级（上）第一次月考 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 4cm、4cm、9cm B. 4cm、5cm、6cm C. 2cm、3cm、5cm D. 12cm、5cm、6cm 2. 中边的高，表示正确的是（ ） A.     B. C. D. 3. 如图，已知，，要使，还需添加一个条件，下列条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5. 如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 6. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出下列四个结论：①的面积等于的面积；②；③；④，其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（每题3分，共15分） 7. 已知等腰三角形的两边长分别是3和9，则此三角形的周长是______． 8. 若三角形三个内角度数的比为2：3：5，则这个三角形的形状是__________． 9. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为___________． 10. 如图，和相交于点，连接和，若，，，则_______． 11. 如图，、分别是的高和中线，已知，，则的面积是_______．     三．解答题（共11小题，共87分） 12. 在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数. 13. 如图，在中，，平分，求的度数． 14. 如图，在和中，，，AC与BD相交于点O． 求证：． 15. 如图，已知，，，，垂足分别是点、．求证：． 16. 生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 17. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （3）在图③中画出一个与不全等但面积相等的； （4）在图④中画出一个与全等的． 18. 如图，已知，，，，与相交于点．试说明与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 19. 【知识呈现】如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：； 【应用1】在图①中，若，，中线的取值范围是 ． 【应用2】如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则 ． 20. 已知，中，，，一直线过定点，过，分别作其垂线，垂足分别为，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，则的面积是 ． 21. 【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则 度，若，则 度，直接写出与的关系式 （用含有的式子表示） 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 度． 22. 如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； （2）求为何值时，与的面积相等； （3）求为何值时，与全等； （4）是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $