21.3二次根式的加减知识归纳与题型突破2025-2026学年华东师大版九年级上册

21.3二次根式的加减知识归纳与题型突破2025-2026学年 华东师大版九年级上册 知识归纳： 知识点一：同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 要点诠释： 　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　3)合并同类二次根式. 知识点三：二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释： 　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 题型突破： 题型一：同类二次根式 1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3.下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4.若与最简二次根式可以合并，则 ． 5.若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为　 　． 6.如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　 　． 题型二：二次根式加减运算 1.计算：． 2.计算：． 3.计算 (1)； (2)； 题型三：二次根式混合运算 1．计算：． 2．计算：． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4.计算：4（）． 题型四：二次根式比较大小 1.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 2.若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3.比较大小： ． 4.比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 5.比较大小： （1） 　 　；（2） 　 　． 题型五：整数部分与小数部分 1．若是的小数部分，则 ． 2.已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 3．设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 题型六：二次根式化简求值 1.若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 2．若，，则的值为 ． 3．已知x＝2，求代数式（7）x2+（2）x的值． 4.先化简，再求值：，其中． 题型七：二次根式找规律 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 2．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 题型八：二次根式的应用 1.如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（    ）    A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的面积为300 D．大长方形的长为 2.已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即． 请你利用公式解答：在中，己知，，，则的面积为 ． 3.有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为45dm2和80dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　 　dm； （2）剩余木板的面积为 　 　dm2； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能截出 　 　个这样的木条． 【答案】 21.3二次根式的加减知识归纳与题型突破2025-2026学年 华东师大版九年级上册 知识归纳： 知识点一：同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 要点诠释： 　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　3)合并同类二次根式. 知识点三：二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释： 　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 题型突破： 题型一：同类二次根式 1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 3.下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 5.若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为　 　． 【答案】﹣3． 6.如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　 　． 【答案】2． 题型二：二次根式加减运算 1.计算：． 【答案】解：原式＝53 ＝（53） ＝3． 2.计算：． 【答案】解：原式＝2 ． 3.计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ； 题型三：二次根式混合运算 1．计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 2．计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）15；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 4.计算：4（）． 【解答】解：原式＝﹣（2）﹣2（） 2﹣2 2﹣222 4． 题型四：二次根式比较大小 1.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 2.若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】D． 3.比较大小： ． 【答案】 4.比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 5.比较大小： （1） 　 　；（2） 　 　． 【答案】＜． 题型五：整数部分与小数部分 1．若是的小数部分，则 ． 【答案】/ 2.已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】7 3．设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 题型六：二次根式化简求值 1.若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 2．若，，则的值为 ． 【答案】 3．已知x＝2，求代数式（7）x2+（2）x的值． 【答案】 解：x2＝（2）2＝7﹣4， 则原式＝（7）（7﹣4）+（2）（2） ＝49﹣2112+1 ＝38﹣20． 4.先化简，再求值：，其中． 【答案】 解：， ， 当时， 原式， ， 题型七：二次根式找规律 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 【答案】 2．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 【答案】 题型八：二次根式的应用 1.如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（    ）    A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的面积为300 D．大长方形的长为 【答案】D 2.已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即． 请你利用公式解答：在中，己知，，，则的面积为 ． 【答案】 3.有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为45dm2和80dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　 　dm； （2）剩余木板的面积为 　 　dm2； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能截出 　 　个这样的木条． 【答案】解：（1）3345（dm2）， 4480（dm2）， 故答案为：，4； （2）4（4）﹣45﹣80＝15（dm2）， 故答案为：15； （3）剩余木板的长为3dm，宽为dm，2， 31.5≈4， ∴最多能截出4个这样的木条， 故答案为：4． 学科网（北京）股份有限公司 $