第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

建议用时10分钟，实际用时 分钟 13.1三角形中的边角关系(1)（答案P40) 1.(芜湖无为期中)已知三角形的两边长分别为4和6，第三条边长x最小. (1)求x的取值范围. (2)当x为何值时，组成三角形的周长最大？最大值是多少？ 2.已知a,b,c是三角形的三边长. (1)化简：la-b-c+b-c-a+c-a-b. (2)在(1)的条件下，若a=10,b=8,c=6,求这个式子的值. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 13.1三角形中的边角关系(2)（答案P40) 1.(阜阳太和月考)如图所示，在△ABC(AB>AC)中，AD是△ABC的中线，AE是△ACD 的中线 (1)若DE=2,求BC的长. (2)若△ABC的周长为35，BC=11,且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长. 2.如图所示，在△ABC中，AB=10cm,AC=6cm,D是BC的中点，点E在边AB上. (1)若△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长. (2)若△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm,求线段AE的长. D 12 A 建议用时10分钟，实际用时 分钟 13.2第3课时三角形的内角(1)（答案P40》 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的。，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三 角形叫作“友爱三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为 “友爱角”，△ABC是“友爱三角形” 如图所示，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B),∠ACB=90°， (1)求∠A,∠B的度数. (2)若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第3课时三角形的内角(2)（答案P41) 1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD,BE分别是△ABC的高和角平分线， 求∠BCD,∠CEB的度数. 2.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线， 它们相交于点O,∠AOB=125°，求∠CAD的度数. △八年级·上册·数学.1 13 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第3课时三角形的内角(3)（答案P41) 1.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠BCE=40°， 求∠ADC的度数. 2.(滁州凤阳期中)如图所示，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD平分∠BAC,DE⊥BC 交AB于点E.求∠ADE的度数， 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第3课时三角形的内角(4)（答案P41) 1.几何直观如图所示，将纸片△ABC沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部点 A'的位置，若∠A=35°，计算∠1一∠2的度数. 2.如图所示，BE是∠ABC的平分线，AE⊥AD,点C和点D在直线AB的同侧，设∠ABE=Q, ∠BAE=B. (1)若AD∥BC,探索a,3满足的数量关系，并说明理由. (2)若BE⊥AE,且B=2a,求∠ABC的度数. 14 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第4课时三角形的外角(1)（答案P41) 1.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=70°，∠B=55°. 求∠A的度数. C D 2.(毫州蒙城期中)如图所示，BE平分△ABC的内角∠ABC,CE平分△ABC的外角 ∠ACD,BE,CE相交于点E. (1)若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠E的度数. (2)若∠ABC+∠ACB=100°，求∠E的度数. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第4课时三角形的外角(2)（答案P41) 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,作∠BAG=∠C,∠ABF是△ABC 的外角，∠ABF的平分线交CA的延长线于点E. (1)求证：BD⊥BE. (2)若∠E=20°，求∠AHB的度数 H △八年级·上册·数学.1 15 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第4课时三角形的外角(3)（答案P41) 1.已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，求它的最大内角的度数. 2.如图所示，BP,CP是△ABC的外角的平分线，交于点P.求证：∠P=90°一 2∠A. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第4课时三角形的外角(4)（答案P42) 如图所示，∠CBF,∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC, ∠CBF的平分线BD,BE交于点D,E. (1)求∠DBE的度数. (2)若∠A=70°，求∠D的度数. 16解得化-子： 所以这个二元一次方程为2x十y=一1. 第2课时一次函数与二元一次方程组 解：(1)因为直线11经过点(2,3)和点(-1，一3)， 所以设直线l1的函数表达式为y1=k1x十b, 所以经。3解得的-。 所以直线l1的函数表达式为y1=2x-1. 把(-2，a)代入y=2.x-1,得 a=2×(-2)-1=-5. (2)设直线12的函数表达式为y2=k2x, 把(-2，-5)代入y2=k2x,得-5=-2k2, 5 解得k2二2’ 所以直线L2的函数表达式为y2= 5 2x, 所以二，可以看作是三元一次方程到 y=2.x-1, 5 的解. y=2x (3)对于y1=2x-1,令x=0,解得y1=-1, 则A点的坐标为(0，-1)， 所以SaA=2X2X1=1. 第3课时一次函数的应用—方案决策(1) 解：(1)根据题意，得 y1=(300+150)x-5.2×40=450.x-208, y2=(300+120)x-40×2.5=420.x-100, 所以y1与x之间的函数表达式为y1=450x一208， y2与x之间的函数表达式为y2=420x-100. (2)①当y1>y2时，即450.x-208>420x-100, 解得x>3.6: ②当y1=y2时，即450.x-208=420.x-100, 解得x=3.6; ③当y1<y2时，即450.x-208<420x-100, 解得x<3.6. 综上所述，当3≤x<3.6时，选择乙种化肥合算；当 x=3.6时，选择甲、乙两种化肥一样；当3.6<x≤4 时，选择甲种化肥合算. 第3课时一次函数的应用一方案决策(2) 解：(1)设甲库运往A库粮食x吨，则甲库运往B库粮 食(100一x)吨，乙库运往A库粮食(70一x)吨，乙库运 往B库粮食(10十x)吨， x≥0， 则100-r≥0解得0≤x≤70， 70-x≥0， 10+x≥0， 所以y=12×20x+10×25×(100-x)+12×15× (70-x)+8X20X(10十x)=-30.x+39200(0≤x≤ 70). (2)因为一次函数y=-30x+39200中，-30<0， 所以y随x的增大而减小， 所以当x=70时，总运费最省， 最省的总运费为-30×70十39200=37100（元）. 答：从甲库运往A库70吨粮食，从甲库运往B库30吨 粮食，从乙库运往A库0吨粮食，从乙库运往B库 80吨粮食时，总运费最省为37100元. 13.1三角形中的边角关系(1) 1.解：(1)由三角形的三边关系，得2<x<10. 因为x最小，所以x的取值范围是2<x≤4. (2)当x=4时，三角形的周长最大， 且最大值是4+6+4=14. 2.解：(1)因为a,b,c是三角形的三边长， 所以b+c>a,c+a>b,a+b>c, 所以a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0, 所以a-b-c|+|b-c-a|+c-a-b|=b+c- a+c+a-b+a+b-c=a+b+c. (2)把a=10,b=8,c=6代入，得 原式=a+b十c=10+8+6=24. 13.1三角形中的边角关系(2) 1.解：(1)因为AE是△ACD的中线，DE=2, 所以CD=2DE=2X2=4. 因为AD是△ABC的中线， 所以BC=2CD=2×4=8. (2)因为△ABC的周长为35， 所以AB+AC+BC=35. 因为BC=11,所以AB+AC=24. 因为△ABD与△ACD的周长差为3， 所以(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB- AC=3, 圆+C情81 故AC的长为10.5. 2.解：(1)因为△BDE的周长=BE十BD+DE,四边 形ACDE的周长=AE十AC+DC+DE,又△BDE 的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的 中点， 所以BD=DC,BE+BD+DE=AE+AC+DC+ DE,即BE=AE+AC. 因为AB=10cm,AC=6cm, 所以10-AE=AE+6, 所以AE=2cm. (2)由△ABC的周长被DE分成的两部分的差是 2cm,可得方程 ①BE=AE+AC+2,或②BE=AE+AC-2, 即①10-AE=AE+6+2,或②10-AE=AE+ 6—2, 解①，得AE=1cm.解②，得AE=3cm. 故线段AE的长为1cm或3cm. 13.2第3课时三角形的内角(1) 解：(1)△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为 “友爱角”（∠A>∠B),.∠A=2∠B. .∠ACB=90°， .∠A+∠B=180°-90°=90°，即2∠B+∠B=90°， 解得∠B=30°， .∴.∠A=60°. (2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”. 理由：，CD是△ABC中AB边上的高， .∠ADC=∠BDC=90° :∠A=60°，∠B=30°， .∠ACD=30°，∠BCD=60°. 在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°. ∴∠ACD=∠A, △ACD为“友爱三角形”； 在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°， ∴∠B=∠BCD, .△BCD为“友爱三角形” 第3课时三角形的内角(2) 1.解：，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴.∠ABC=50 .CD⊥AB,.∠BDC=90°，.∠BCD=40° :BE平分∠ABC,.∠CBE=3∠ABC=25. ∴.∠CEB=90°-∠CBE=65. 2.解：∠AOB=125°，.∠OAB+∠OBA=55° ,AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴.∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=110°， ∴∠C=70°.，AD是BC边上的高， ∴.∠ADC=90°，.∠CAD=20°， 即∠CAD的度数是20°. 第3课时三角形的内角(3) 1.解：CE是△ABC的高，∴∠CEA=90° .∠ACE=20°，.∠CAB=70°. AD是△ABC的角平分线， .∴.∠BAD=∠DAC=70°÷2=35° .∠BCE=40°， ∴.∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=180°-35°- 20°-40°=85°，即∠ADC的度数是85. 2.解：在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°， .∠BAC=180°-40°-60°=80°. ,AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD=40°. 在△ABD中，∠B=40°，∠BAD=40°， ∴.∠ADB=180°-40°-40°=100°. ,ED⊥BC,.∠BDE=90°， ,.∠ADE=∠ADB-∠BDE=100°-90°=10°. 即∠ADE的度数为10°. 第3课时三角形的内角(4) 1.解：如图所示，设∠3， B ∠4，∠5. D 纸片△ABC沿DE进行 折叠，点A落在四边形C4 BCED的外部点A'的 位置， ∴.∠4=∠5，∠3=∠2+∠DEC ,∠1+∠4+∠5=180°，.∠1+2∠4=180°， .∠1=180°-2∠4. ∠3+∠DEC=180°， ∴.∠2=∠3-∠DEC=2∠3-180°， ∴.∠1-∠2=180°-2∠4-2∠3+180°=360° 2∠4-2∠3=360°-2(180°-∠A)=2∠A, .∠1-∠2=2×35°=70°. 2.解：(1)2a+3=90°.理由： 如图所示，延长AE交BC于 点F. :AD∥BC,AE⊥AD, .AF⊥BC, ∴.∠AFB=90° .BE平分∠ABC,∠ABE=&,.∠ABF=2a, ∴.∠ABF+∠BAF=90°，.2a+B=90°. (2)BE⊥AE,.∠BEA=90°， ∴.a+3=90°. .3=2a,.a=30°，.∠ABC=2a=60°. 第4课时三角形的外角(1) 1.解：，CE是∠ACD的平分线， ∴.∠ACD=2∠ACE. ∠ACE=70,∴.∠ACD=140°. ,∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. :∠B=55°， ∴.∠A=∠ACD-∠B=140°-55=85. 2.解：(1)BE平分∠ABC, 1 ·∠DBE=2∠ABC=20. ∠ACB+∠ACD=180°，∠ACB=80°， .∠ACD=180°-∠ACB=180°-80°=100. .CE平分∠ACD, ÷∠DCE=号∠ACD=50, ∴.∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°. (2),∠ABC+∠ACB=100°， ∠ACB+∠ACD=180°， ∴.∠ACD-∠ABC=80°. .BE平分∠ABC,∴.∠DBE= 2∠ABC. 1 :CE平分∠ACD,∠DCE=2∠ACD, ∴∠E=∠DCE-∠DBE=号∠ACD-专∠A 40°. 第4课时三角形的外角(2) 解：(1)证明：∠ABC的平分线交AC于点D, ∠ABF的平分线交CA的延长线于点E, ∴∠ABD-2∠ABC,∠ABE=?∠ABF. ∠ABC+∠ABF=180°， 1 ∠ABD+∠ABE=2(∠ABC+∠ABF)=9O°， .BD⊥BE (2)由(1)知BD⊥BE,∠CBD=∠DBA, ∴.∠DBE=90 .∠E=20°， .∠BDE=90°-20°=70°， .∠C+∠CBD=∠BDE=70°. :∠BAG=∠C,∠CBD=∠DBA. ∴.∠DBA+∠BAG=70°， .∠AHB=180°-70°=110 第4课时三角形的外角(3) 1.解：设三角形三个外角的度数分别为2x,3.x,4x. 根据三角形的外角和是360°，列方程，得 2x+3.x+4x=360°，解得x=40°， 41 则最小的外角为2×40°=80°， 则最大的内角为180°一80°=100°. 2.证明：，BP,CP是△ABC的外角的平分线， ∴∠PCB=∠MB,∠PBC=号∠NBC :∠MCB=∠A+∠ABC,∠NBC=∠A+ ∠ACB, ∠PCB+∠PBC=(∠A+∠ABC+∠A十 ∠ACB)=2(180+∠A)=90+2∠A, .∠P=180°-（∠PCB+∠PBC)=180°-（90°+ 3∠A）=90-2∠A 第4课时三角形的外角(4) 解：(1)'BD,BE分别为∠ABC,∠CBF的平分线， ∴∠DBG=∠ABC,∠EBG=号∠CBF. ∴∠DBE=∠DBG+∠EBG-X(∠ABC+∠CBF)= 90°. (2).∠ACG是△ABC的外角， ∴.∠ACG-∠ABC=∠A=70 .BD,CD分别为∠ABC,∠ACG的平分线， :∠DBG=2∠ABC,∠DCG=2∠ACG, 1 ∠D=∠DCG-∠DBG=2X(∠ACG-∠ABC)=35. 14.21.两边及其夹角分别相等的 两个三角形(1) AE=DE, 1.证明：在△ABE和△DCE中，{∠AEB=∠DEC, BE=CE, ∴.△ABE≌△DCE(SAS). 2.证明：AB∥DE,.∠B=∠DEF. .BE=CF,..BE+EC=FC+EC, 即BC=EF AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS). 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形(2) 1.解：(1)证明：，CA平分∠DCB, ∴.∠ACB=∠ACD, 在△ABC和△ADC中， (CB=CD, ∠ACB=∠ACD, AC-AC. .△ABC≌△ADC(SAS). (2)∠EAC=45°， ∴.∠DAC=180°-∠EAC=180°-45°=135°， 由(1)得△ABC≌△ADC, ∴.∠BAC=∠DAC=135°， .∠BAE=∠BAC-∠EAC=135°-45°=90°， 2.解：(1)证明：，BE,AD是△ABC的高， .∠1+∠BCA=90°，∠2+∠BCA=90°， .∠1=∠2. (2)相等.理由如下： (AP=BC, 在△APC和△BCQ中，，∠2=∠1， AC=BQ, .△APC≌△BCQ(SAS),∴.CP=CQ. 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形(1) 1.证明：，∠1=∠2， ∴.∠1+∠EBD=∠2+∠EBD, .∠ABD=∠EBC. I∠ABD=∠EBC, 在△ABD和△EBC中，{BD=BC, ∠D=∠C, .△ABD≌△EBC(ASA). 2.证明：，AB⊥BE,DE⊥AD, .∠B=∠D=90°. I∠B=∠D, 在△ABO和△EDO中，{OB=OD, ∠AOB=∠EOD, .△ABO≌△EDO(ASA). 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形(2) 1.证明：.AB∥DE, .∠CAB=∠E. 1∠CAB=∠E, 在△ABC和△EAD中，AB=AE, (∠ABC=∠DAE, .△ABC≌△EAD(ASA),.AC=DE. AE=AC+CE,..AE=DE+CE. 2.解：(1)证明：.'∠BAD=∠CAE, ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, 在△BAC和△DAE中， I∠B=∠D, AB-AD. ∠BAC=∠DAE, .△BAC≌△DAE(ASA), ..AC=AE. (2).∠B=25°，∠APC=65°， ∴.∠BAP=∠APC-∠B=65°-25°=40°. 又.∠BAD=∠CAE, .∠CAE=40°， 由(1)知AC=AE, .∠E=∠ACE=(180°-∠CAE)÷2=70° 3.三边分别相等的两个三角形(1) 1.证明：BC=DE,∴.BC+CD=DE+CD, 即BD=CE. (AD=FE, 在△ABD和△FCE中，{AB=FC, BD=CE, .△ABD≌△FCE(SSS). 2.解：∠B=∠E.理由如下： AB=AE, 在△ABC和△AED中，(BC=ED, AC=AD, .△ABC≌△AED(SSS),,∴.∠B=∠E. 2