14.2 三角形全等的判定-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

14.解：(1)∠ABE=162°，∠DBC=30°， ∴.∠ABD+∠CBE=132° :△ABC≌△DBE,∴.∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°， 即∠CBE的度数为66° (2).△ABC≌△DBE， .'DE=AC=AD+DC=4.7,BE=BC=4, ∴.△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+ BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.35+ 4.7+4+4=15.05. 14.2三角形全等的判定 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形 1.解：已知：线段a,b,∠3. 求作：△ABC,使得BC=a,AC=b,∠ACB=∠B, 如图所示，△ABC即为所求. 人B 2.B3.D4.A5.D6.B7.A 8.解：△BPD与△CQP全等. 理由：经过1秒后，PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm .点D为AB的中点，AB=10cm, .'.AD=BD=5 cm, ∴.BD=PC .AB=AC, ∴∠B=∠C 在△BPD和△CQP中， BD=PC, ∠B=∠C, BP=CQ, ∴.△BPD≌△CQP(SAS). 9.解：(1)EF=BE+DF (2)结论EF=BE+DF仍然成立. 理由：如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接 AG. B .∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， ..∠B=∠ADG. BE=DG, 在△ABE和△ADG中，{∠B=∠ADG, AB=AD, ∴.△ABE≌△ADG(SAS), ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. :∠EAF=号∠BAD. ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= ∠BAD-∠EAF=∠EAF. IAE-AG. 在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠GAF, AF-AF. ∴.△AEF≌△AGF(SAS),∴.EF=FG. .FG=DG+DF=BE+DF,∴.EF=BE+DF」 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形 1.解：如图所示，△ABC为所求作的三角形. 2.B 3.∠ACB=∠DBC 4.证明：，AE和BD相交于点O, ..∠AOD=∠BOE 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B,.∠BEO=∠2. 又，∠1=∠2， ∴.∠1=∠BEO, ∴.∠AEC=∠BED. ∠A=∠B, 在△AEC和△BED中，{AE=BE, ∠AEC=∠BED, .'.△AEC2△BED(ASA). 5.解：(1)7.5 (2)由操作过程知AB⊥BD,CD⊥BD,BO=DO, ∴.∠ABO=∠CDO=90. I∠ABO=∠CDO, 在△ABO和△CDO中，{BO=DO, ∠AOB=∠COD, ∴.△ABO≌△CDO(ASA), .AB=CD=7.5m,即他们的做法是合理的. 6.D7.3 8.解：(1)AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. |∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中，AC=DF, ∠ACB=∠DFE, .△ABC≌△DEF(ASA), ∴.∠ABC=∠DEF,.AB∥DE (2),△ABC≌△DEF,∴.BC=EF, 即BF+CF=CE+CF,.BF=CE .'BE=20 m,BF=6 m, ..CF=BE-CE-BF=BE-BF-BF=20-6- 6=8(m). 9.解：(1)①△DBC2△ECB②∠ACD=∠ABE ③BD=CE(答案不唯一) (2)答案不唯一，示例：选择③BD=CE, 理由：在△ABE与△ACD中， ,∠A=∠A,AE=AD,∠AEB=∠ADC, ∴.△ABE≌△ACD(ASA), ∴.AB=AC,∴.AB-AD=AC-AE, ..BD=CE. 8 10.解：(1)3 (2),∠BAD=∠EAF,.∠BAE=∠DAF. I∠BAE=∠DAF, 在△BAE和△DAF中，AB=AD, ∠B=∠D, ∴.△BAE≌△DAF(ASA),.AE=AF, .△AEF是等腰三角形，且∠AEF=∠AFE .∠F=75°，∴.∠EAF=180°-75°X2=30°. ∴.∠BAD=∠EAF=30 ∠B=25°， ∴.∠ACB=180°-∠B-∠BAD=125°. .125°÷25°=5，.△ABC为5倍角三角形 .∠D=25°，∠DCE=∠ACB=125°， .∴.∠CED=180°-∠D-∠DCE=30° .125°÷25°=5，∴.△DEC为5倍角三角形， ∴.图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC,它 都是5倍角三角形. 3.三边分别相等的两个三角形 1.解：如图所示，△ABC即为所求作的三角形 2.A3.B 4.证明：，BF=EC,∴.BF+FC=EC十CF, 即BC=EF AB=DE. 在△ABC和△DEF中，{AC=DF, BC=EF. ∴.△ABC≌△DEF(SSS),.∠A=∠D. (AB=AD, 5.解：，在△ABC和△ADC中，{BC=DC, AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SSS), .∠BAC=∠DAC, .AE平分∠PRQ. 6.A7.C8.D9.B 10.证明(1)，BE=CF,∴.BE+EC=CF+EC, ∴.BC=EF. BC=EF, 在△ABC和△DEF中，{AB=DE, AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS). (2).△ABC2△DEF, ,∴.∠B=∠DEF, ∴.ABDE,∴.∠A=∠EGC 11.证明：，CD是△ABC的中线，C'D'是△A'B'C 中线， AD-TAB.AD'-AB. 又AB=A'B', ∴.AD=A'D', 在△ADC和△A'D'C'中， AC=A'C', CD=C'D', AD=A'D', .△ADC≌△A'D'C'(SSS), ∠A=∠A' 在△ABC和△A'B'C中， AC=AC, ∠A=∠A', AB=A'B', .△ABC≌△A'B'C'(SAS). 12.证明：(1)如图所示，连接BC. 在△ABC和△DCB中， AB=DC, AC=DB, BC=CB. ..△ABC≌△DCB(SSS), .∠A=∠D. (2)由(1)得△ABC≌△DCB中， .∠BCE=∠CBF E,F分别是AC,BD的中点，AC=DB, 们 .'BF=CE BF=CE, 在△BCF和△CBE中，∠CBF=∠BCE, BC=CB, ..△BCF≌△CBE(SAS),.'.BE=CF」 4.其他判定两个三角形全等的条件 1.D2.∠CAB=∠DBA(或∠CBA=∠DAB) 3.证明：∠ECB=65°， ∴.∠ACB=180°-∠ECB=115°. 又.∠D=115°，∴∠ACB=∠D. .AB∥DE,∴.∠CAB=∠E. ∠ACB=∠D, 在△ABC和△EAD中，{∠CAB=∠E, AB=EA, .∴.△ABC≌△EAD(AAS). 4.C5.A6.D7.D8.A 9.(1)90°-&(2)5或2 10.解：同意， 理由：∠DCB=100°，∠ADC=65°， .∠A=180°-∠DCB-∠ADC=15°. ∠E=15°，.∠A=∠E. |∠A=∠E, 在△DCA和△BCE中，{∠ACD=∠ECB, CD=CB. ∴.△DCA≌△BCE(AAS),∴.AC=EC. BC=CD,∴.AC-BC=CE-CD,即AB=DE, ∴.测得DE的长就是A,B两点间的距离. 11.解：(1)∠BAC=∠D.理由如下： ∠ACD=90°，.∠CAD+∠D=90°. .∠BAE=90°，.∠BAC+∠CAD=90°， ∴.∠BAC=∠D. (2)△ACD是等腰直角三角形.理由如下： 的 ∠BCE=90°，∴.∠ACB+∠ACE=90°. 又.∠ACD=90°，∴.∠DCE+∠ACE=90°， .∠ACB=∠DCE. |∠BAC=∠D, 在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE, BC=EC. ∴.△ABC≌△DEC(AAS),.AC=CD 又，∠ACD=90°，∴.△ACD是等腰直角三角形 12.证明：(1).BE是△ABC的高， ∴.∠ACB+∠EBC=90. QN⊥BC,∴.∠Q+∠EBC=90°， .∠Q=∠ACB. 19 (2)如图所示，过点A作AH⊥BC于点H. B TIM ,QN⊥BC,AH⊥BC, ∴.∠QNB=∠CHA=90°. ∠Q=∠ACH, 在△QNB和△CHA中，{∠QNB=∠CHA, BQ=AC. .△QNB≌△CHA(AAS),∴.QN=CH. 又.'∠PCM+∠ABC=90°， ∠BAH+∠ABC=90°， ∴.∠PCM=∠BAH. I∠PCM=∠BAH, 在△PCM和△BAH中，∠CMP=∠AHB, CP=AB, .△PCM≌△BAH(AAS), .PM=BH,.'.PM+QN=BH+CH=BC. 5.两个直角三角形全等的判定 第1课时两个直角三角形全等的判定 1.解：已知：线段m和n. 求作：Rt△ABC,使∠ACB=90°，AB=n,AC=m. 结论：如图所示，△ABC即为所求作的直角三角形. f 2.A3.20 4.证明：.∠A=∠B=90°， .△ADE和△BEC均为直角三角形. 在Rt△ADE和Rt△BEC中， .DE=EC,AE=BC, .Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 5.C6.C7.B 8.解：选择(1)，已知：在△ABC中，AB=AC,BD=CD, 求证：△ABD≌△ACD. (AD=AD, 证明：在△ABD和△ACD中，AB=AC, BD=CD, ∴.△ABD≌△ACD(SSS). 选择(2)， 已知：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC. 求证：△ABD≌△ACD. 证明：，AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD=AD, AB=AC, .Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). 9.解：(1)证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中 -:R:AACB≌R△BDA(. (2)在Rt△ABC中，∠CAB=54°，.∠ABC=36. 由(1)，得Rt△ACB≌Rt△BDA, ∴.∠ABC=∠BAD=36°，.∠CAO=18° 10.解：(1)证明：，△ABC是等腰直角三角形， .∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC.又.BD=CE, ∴.Rt△ABD≌Rt△ACE(HL),∴.AD=AE. (2).△ABD≌△ACE(已证)， '.∠ABD=∠ACE(全等三角形的对应角相等). :∠ACE+∠AEC=90°， .∠ABD+∠AEC=90°， .∠BFE=180°-（∠ABD+∠AEC)=90°， ∴.∠BFC=90°. 11.解：(1)①证明：，AF⊥DE, ∴.∠DFA=90°=∠B. AD=AC, 在Rt△ADF和R△ACB中，AF=AB, ∴.Rt△ADF≌Rt△ACB(HL), .∠DAF=∠CAB,.∠DAC=∠FAB! ②证明：如图所示，连接AE. 在Rt△AEF和Rt△AEB中， (AE-AE, AF=AB, ..Rt△AEF2Rt△AEB(HⅡ)， ∴EF=BE .Rt△ADF≌Rt△ACB,.DF=BC, ..DF=BC=CE+BE=CE+EF. (2).AB=BC,∠B=90°， .∠BAC=∠BCA=45°. .Rt△ADF≌Rt△ACB, ∴.∠ADF=∠ACB=45°，∠DAF=∠CAB=45. ∠CDE=20°， ,.∠ADC=∠ADF+∠CDE=65°. ,AD=AC,.∠ADC=∠ACD=65°， .∠CAD=50°，.∠CAF=5° 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定 1.D2.D3.B4.145 5.解：(1)证明：在△AOC和△DOB中， |∠AOC=∠DOB, ∠ACO=∠DBO, AC=DB, .△AOC≌△DOB(AAS. (2).∠ACD=94°，∠CAO=28°， ∴.∠COB=∠ACD+∠CAO=122 .△AOC≌△DOB, ..OC=OB, .∠OCB=(180°-122)÷2=29. 6.D7.C8.①②④ 9.证明：(1)，∠ACD=∠BCE, ∴.∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, ∴.∠ACE=∠DCB. AC=DC, 在△ACE和△DCB中，∠ACE=∠DCB, CE=CB. .△ACE≌△DCB(SAS),.AE=BD (2)由(1)可知△ACE≌△DCB,∠ACE=∠DCB, .∴.∠CAE=∠CDB,∴.∠BFE=∠CAE+∠ABD= ∠CDB+∠ABD=∠ACD. 即∠ACD=∠BFE. 10.解：(1)证明：，∠AFC=180°-∠2，∠BEA= 180°-∠1，且∠1=∠2， ∴.∠AFC=∠BEA. 20 :∠2=∠CAF+∠ACF,∠BAC=∠CAF+ ∠BAE,且∠2=∠BAC, ∴.∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠BAE, ∴∠ACF=∠BAE 在△ACF和△BAE中， ∠ACF=∠BAE, {∠AFC=∠BEA, AC-BA. ∴.△ACF≌△BAE(AAS), ∴AF=BE (2)由(1)得△ACF2△BAE, .S△ACF=S△BAE. .CD=2BD, ∴.S△AcD=2S△ABD ∴.S△ABD+2S△ABD=S△ABC=18, ∴.S△ABD=6,S△AcD=12. :S△BDE=1.4, ∴.S△Ar=S△BAE=S△ABD-S△BDE=6-1.4=4.6, .S△cFD=S△Acn-S△Acr=12-4.6=7.4. 11.证明：(1)，∠BAC=60°，∠DFE=120°， .∠AEF+∠ADC=360°-60°-120°=180°. ,∠AEF+∠AET=180°， .∠ADC=∠AET. (2)AE=AD,∠AET=∠ADC,ET=DC, .△AET≌△ADC(SAS),,∴.AT=AC (3)延长AP至点G,使得T GP=AP,连接BG,如图 所示. :AP为BC边上的中线， ∴CP=BP. ,∠APC=∠GPB, ∴.△APC2△GPB(SAS). .∴.AC=GB,∠CAP=∠BGP.,.AC∥BG. ∴.∠ABG=180°-∠BAC=180°-60°=120° 由(2)可知AC=AT.,∴.GB=AT. 由(2)可知△AET2△ADC, ∴.∠TAC=∠CAD=60. .∠TAB=120°=∠ABG. ,AB=BA,.△ABG≌△BAT(SAS) ∴.∠QAB=∠QBA. 专题六证明三角形全等的基本思路 1.证明：，AE=BD,∴.AE+BE=DB+BE, 即AB=DE AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{AC=DF, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS),'.∠CBA=∠FED. ..EF∥BC 2.解：(1)证明：∠ACB=∠DCE=90°， ∴·∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, ∴.∠ACD=∠BCE. AC=BC, 在△ACD和△BCE中，{∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS). (2)'.DB=AB,.'.AD=2AB=12 cm. 由(1)，得△ACD2△BCE,∴.BE=AD=12cm. (3)BE⊥AD.理由如下： 由(1)，得△ACD≌△BCE,∴.∠ADC=∠BEC, ∴.∠EDB+∠DEB=∠EDC+∠DEC=90°， .BE⊥AD. 3.证明：(1)BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF, 即BF=CE」 AE⊥BC,DF⊥BC,∴.∠AEC=∠DFB=90° CE=BF, 在R△AEC和Rt△DFB中，AC=DB, .∴.Rt△AEC≌Rt△DFB(HL), .∠ACE=∠DBF,.AC∥BD (2)Rt△AEC≌Rt△DFB,.AE=DF. AE-DF, 在△AEB≌△DFC中，{∠AEB=∠DFC=90°， BE=CF, .∴.△AEB≌△DFC(SAS), ∴.∠ABE=∠DCF,.AB∥CD 4.证明：AB∥DE,AC∥DF, .∠E=∠B,∠DFE=∠ACB BF=EC,∴.BF+CF=EC+CF,即BC=EF. ∠E=∠B, 在△DEF和△ABC中，{EF=BC, ∠DFE=∠ACB, ∴.△DEF≌△ABC(ASA),..DF=AC. ∠A=∠D, 5.证明：(1)在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC, BC=CB, .△ABC≌△DCB(AAS). (2)由(1)知，△ABC≌△DCB,.AB=DC |∠A=∠D, 在△ABO和△DCO中，∠AOB=∠DOC, AB=DC, .△ABO≌△DCO(AAS)..OA=OD. 6.证明：FC∥AB, .∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE. ∠DAE=∠FCE, 在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠CFE, DE=FE, .△ADE≌△CFE(AAS),∴.AE=CE LAD=BC. 7.证明：在△DAB和△CBA中，{∠DAB=∠CBA, AB=BA. ∴.△DAB≌△CBA(SAS),∴.∠DBA=∠CAB. 又.'∠DAB=∠CBA,∴.∠DAC=∠CBD 8.解：AB=EC.理由如下： I∠B+∠BAE=∠AEC=∠AEF+∠CEF, ∠AEF=∠B,∴.∠BAE=∠CEF. ∠B=∠C 在△ABE和△ECF中，∠BAE=∠CEF, BE=CF. ∴.△ABE≌△ECF(AAS),∴.AB=EC. 1∠BOD=∠COE, 9.证明：(1)在△BOD和△COE中，{∠B=∠C, BD=CE, ∴.△BOD≌△OE(AAS),.OD=OE (2),点D,E分别是AB,AC的中点， ..AB=2BD,AC=2CE,..AB=AC. |∠A=∠A, 在△ABE和△ACD中，{AB=AC, ∠B=∠C, ∴.△ABE≌△ACD(ASA). 2114.2三角形全等的判定 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形（答案P18) 通基础m △DOC,则还需添加( 知识点1已知两边及其夹角作三角形 1.如图所示，求作△ABC,使其两边为已知线段 a,b,夹角为B.(要求：用尺规作图，写出已知， 求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作 A.∠A=∠D B.AB=DC 图；不写作法) C.∠B=∠C D.OB=OC 已知： 知识点3用“SAS”解决实际问题 求作： 4.教材P96例2变式如图所示，工人师傅常用 “卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳由 两根钢条AA',BB'组成，O为AA',BB'的中 点.只要量出A'B的长度，由三角形全等就可以 知道工件内槽AB的宽.那么判定△OAB≌ △OA'B'的理由是( A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS ·通能力 Ei111111i11111141111144111111l 知识点2用“SAS”判定两个三角形全等 5.下面各条件能使△ABC≌△DEF的 2.推理能力如图所示，已知△ABC,下面甲、 是( 乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的 A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF 是() B.AB=BC,∠B=∠E,DE=EF B C.AB=EF,∠A=∠D,AC=DF 0 D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF 人58°72 50〉 50° b A 6.如图所示，已知方格纸中是4个相同的正方 形，则∠1十∠2等于( 50 内 58入 58d A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.(六安金安区期末)如图所示，AC和BD相交 于点O,OA=OD.若用“SAS”证明△AOB≌ A.60° B.90° C.100° D.120° 76 7.应用意识在测量一个小口圆形容器的壁厚 通素养 w212828216444444448 时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法 进行测量，其中OA=OD,OB=OC,测得 9.阅读理解问题背景： AB=4厘米，EF=6厘米，圆形容器的壁厚 (1)如图①所示，在四边形ABCD中，AB 是() AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E, F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°.探 究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小 王同学探究此问题的方法是，延长FD到点 G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌ △ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结 论，他的结论应是 A.1厘米 B.2厘米 探索延伸： C.3厘米 D.4厘米 (2)如图②所示，若在四边形ABCD中，AB= 8.几何直观如图所示，已知在△ABC中，AB= AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点. 如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由 上的点，且∠EAPF=3∠BAD,上述结论是否 点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上 仍然成立？说明理由. 由点C向A点运动.若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与 △CQP是否全等？请说明理由 △八年级·上册·数学.1H 77 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形（答案P18) 通基础 i11iiEi111111i 4.(铜陵枞阳开学)如图所示，∠A=∠B,AE BE,点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD 知识点1已知两角及其夹边作三角形 相交于点O.求证：△AEC≌△BED, 1.如图所示，已知三角形的两角及夹边，求作这 3 个三角形.（不写作法，保留作图痕迹） 已知：∠a,∠3，线段c. 求作：△ABC,使∠A=∠a,∠B=∠B, AB=c. 知识点3用“ASA”解决实际问题 5.应用意识（阜阳颇泉区期中）如图所示，课外 拓展活动课上，老师带领社团成员在不涉水 的情况下测量校内一条小河的宽度（该段河 流两岸互相平行)，具体操作过程如下表： 序号 操作过程 在河流彼岸B点，选彼岸正对的一棵树A ① 为参照点；(AB⊥河岸I) 沿河岸向左走6m有一棵树O,继续前行 ② 6m到达D处：(BO=DO) 从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达 知识点2用“ASA”判定两个三角形全等 ③ A树正好被O树遮挡住的C处停止行走； (A,O,C三点共线) 2.如图所示，已知∠1=∠2，AB∥DC,则判定 △ADC≌△CBA的依据是() ④ 测得CD的长为7.5m. (1)河流AB的宽度为 m. (2)请你根据所学知识，解释该做法的合 B 理性 A.SAS B.ASA C.AAA D.以上都不对 3.教材P99练习T1变式如图所示，已知∠ABC ∠DCB,添加一个条件用“ASA”证明△ABC≌ △DCB的是 78 4111444t4441414154 通能力 LLE1A111111E1411111141 动动脑筋，再写出3个结论（所写结论不能与 题中举例相同，写出3个即可)： 6.(芜湖南陵期末)如图所示，已知点E在 ① ,② △ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC ③ 于点F.若∠1=∠2=∠3，AC=AE,则 (2)请你从自己写出的结论中，选取一个说明 有() 其成立的理由. A.△ABD≌△AFD B.△AFE≌△ADC C.△AEF≌△DFC D.△ABC≌△ADE A人2 D C 第6题图 第7题图 通素养 i1i1181 7.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB, 垂足分别是点D,E,AD,CE交于点H.已知 10.阅读理解在△ABC中，若最大内角是最小 AE=CE=5,CH=2,则BE= 内角的n倍(n为大于1的整数)，则称 8.(宿州砀山期末)如图所示，点B,E,C,F在 △ABC为n倍角三角形.例如：在△ABC 直线1上(C,F之间有一水坑)，点A,D在1 中，∠BAC=20°，∠B=40°，∠C=120°，则 异侧，测得AC=DF,AC∥DF,∠A=∠D. 称△ABC为6倍角三角形 (1)求证：AB∥DE (1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，则 (2)若BE=20m,BF=6m,求CF的长 △ABC为 倍角三角形 (2)如图所示，点E在DF上，BE交AD于 点C,AB=AD,∠BAD=∠EAF,∠B= ∠D=25°，∠F=75°，找出图中所有的n倍 角三角形，并写出它是几倍角三角形. 9.结论开放如图所示，AD=AE,∠ADC= ∠AEB,BE与CD相交于点O. (1)在不添加辅助线的情况下，由已知条件可 以得出许多结论，例如：△ABE≌△ACD, ∠DOB=∠EOC,∠DOE=∠BOC等.请你 △八年级·上册·数学.1H 79 3.三边分别相等的两个三角形（答案P19) 通基础 i11iiEi111111i 4.(芜湖期中)如图所示，点B,F,C,E在同一 条直线上，AB=DE,AC=DF,BF=EC 知识点1已知三边作三角形 求证：∠A=∠D. 1.已知三角形的三边（如图所示），求作这个三 角形 已知：线段a,b,c. 求作：△ABC,使得AB=c,AC=b,BC=a. 66□ 知识点3用“SSS”解决实际问题 5.如图所示，仪器ABCD可以用来平分一个角， AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与 ∠PRQ的顶点R重合，调整AB与AD,使它 们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE, AE就是∠PRQ的平分线，你能说明其中的 道理吗？ 知识点2用“SSS”判定两个三角形全等 (R) 2.如图所示，在△ABD和△ACD中，AB= AC,BD=CD,则能说明△ABD≌△ACD的 依据是( A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 3.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图所 知识点4)三角形的稳定性 示，能得出∠A'O'B′=∠AOB的依据 6.(铜陵枞阳开学)下列设备没有利用三角形的 是() 稳定性的是( A.活动的四边形衣架 B.起重机 C B C.屋顶三角形钢架 A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS D.钢架桥支架 80 11.(芜湖期中)如图所示，△ABC与△A'B'C', 通能力 L11E11110111114111111 AC=A'C',AB=A'B',CD是△ABC的中 7.如图所示，给出下列四组条件： 线，CD'是△A'B'C'的中线，且CD=C'D ①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB= 求证：△ABC≌△A'B'C. DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E, BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC DF,∠B=∠E.其中能使△ABC≌△DEF 的条件共有( B A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 8.(芜湖弋江区期中)如图所示，点E,F在BC 上，AB=CD,AF=DE,AF,DE相交于点 G,添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌ △DCE?() A.∠B=∠C B.AG=DG C.∠AFE=∠DEF D.BE=CF 之通素养MM D 12.推理能力如图所示，已知AC,BD相交于点 B O,且AB=DC,AC=DB,且E,F分别是 第8题图 第9题图 AC,BD的中点，连接BE,CF. 9.(合肥庐阳区期末)如图所示，在5×5的正方 (1)求证：∠A=∠D. 形网格图中，△ABC的三个顶点都在格点上， (2)求证：BE=CF. 则与△ABC有一条公共边且全等（不与 △ABC重合)的格点三角形（顶点都在格点上 的三角形)共有() A.5个B.6个 C.7个 D.8个 10.教材P101例5变式如图所示，点B,E,C, F在一条直线上，AB=DE,AC=DF, BE=CF.求证： (1)△ABC≌△DEF. (2)∠A=∠EGC. △八年级·上册·数学.1H 81 4.其他判定两个三角形全等的条件（答案P19) 通基础 * Biiinin11131 知识点3“SSA”和“AAA”不能作为判定三角 形全等的理由 知识点1用“AAS”定理判定两个三角形全等 5.如图所示，ABDF,∠ACB=∠DEF,添加下列 1.教材P104例6变式（蚌埠五河期中）如图所 条件，不能判定△ABC≌△FDE的是( ) 示，已知∠E=∠B,∠1=∠2，那么要得到 △ABC≌△DEF,还应给出的条件是() A.∠D=∠A B.BC=DE C.AB-EF D.CD-AF A.∠A=∠F B.BE-CD C.AB=DF D.AC-EF F入1 6.(淮南凤台期末)如图所示，点A,D,C,F在一 条直线上，AB=DE,∠A=∠EDF,添加下列 条件不能判定△ABC≌△DEF的是() 第1题图 第2题图 2.(淮南凤台期末)如图所示，已知∠ACB= ∠BDA,只要再添加一个条件： ,就 D 能使△ACB≌△BDA.(填一个即可) A.AD-CF B.∠BCA=∠F 3.如图所示，AB=AE,AB∥DE,∠ECB=65°， C.∠B=∠E D.BC=EF ∠D=115°，求证：△ABC≌△EAD 食易错点忽略对应边、对应角的关系导致出错 ) 7.(安庆期中)有一张三角形纸片ABC,已知 ∠B=∠C=α，按下列方案用剪刀沿着箭头 方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全 等图形的是( 知识点2用“AAS”定理解决实际问题 33.53.5d 4.(淮南期中)一天课间，顽皮的小明同学拿着 通能力习uu 老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板 掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被 8.如图所示，AB⊥CD,CE⊥AF,BF⊥ED.若 数学老师看见了，于是有了下面这道题.若每 AB=CD,CE=8,BF=6,AD=10,则EF的 块砖的厚度a=10cm,则DE的长为( 长为( h A.4 A.50 cm B.60 cm C.70 cm D.80 cm B.2 C.3 D. 2 82 411444t44514145144 9.(淮南谢家集区期中)如图所示，在△ABC中， 断△ACD的形状，并说明理由. ∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为 AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC 上以每秒2cm的速度移动，过点E作BC的 垂线交直线CD于点F, (1)若∠A=a,则∠EFC的度数为 ←通素养一mmw (用含a的代数式表示) (2)当点E运动 s时，CF=AB, 12.推理能力如图所示，在锐角三角形ABC 10.应用意识“开拓”小组同学就“测量河两岸 中，BE,CF是高，在BE的延长线上截取 A,B两点间距离”这一问题，设计了如下方 BQ=AC,在CF上截取CP=AB,再分别 案：如图所示，在点B所在河岸同侧平地上 过点P作PM⊥BC于点M,过点Q作 取点C和点D,使点A,B,C在一条直线 QN⊥BC于点N, 上，且CD=BC,测得∠DCB=100°， (1)求证：∠Q=∠ACB, ∠ADC=65°，在CD的延长线上取一点E, (2)求证：PM+QN=BC. 使∠E=15°，这时测得DE的长就是A,B 两点间的距离.你同意他们的说法吗？请说 明理由. 11.如图所示，在四边形ABCD中，∠BAE= ∠ACD=90°，BC=CE. (1)∠BAC与∠D相等吗？为什么？ (2)点E在AD边上，若∠BCE=90°，试判 △八年级·上册·数学.1H 83 5.两个直角三角形全等的判定 第1课时两个直角三角形全等的判定（答案P20) 通基础习m AE=BC,连接DE,EC,DE=EC. 求证：Rt△ADE≌Rt△BEC 知识点1已知斜边和直角边作直角三角形 1.如图所示，已知直角三角形的一条直角边和 斜边，求作此直角三角形.（要求：写出已知、 求作、结论、并用直尺和圆规作图，保留作图 痕迹，不写作法及证明) 知识点3利用“HL”解决实际问题 5.如图所示，两根长度为12米的绳子，一端系 n 在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩 上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD 的距离间的关系是( A.BD>CD B.BD<CD C.BD=CD D.不能确定 知识点2利用“HL”判定两个直角三角形 B A中田D nnnni7nnnn7 全等 第5题图 第6题图 2.(蚌埠期末)如图所示，已知AB⊥BD,CD⊥ 6.如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的 BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB 两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平 方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹 全等，则需要添加的条件是( 角∠ACB与∠DEF的度数和为( A.AD=CB B.∠A=∠C A.60° B.75° C.90° D.120° C.BD=DB D.AB=CD 之通能力y恤 7.如图所示，AD⊥CD,AE⊥BE,垂足分别为 D,E,且AB=AC,AD=AE.则下列结论： 第2题图 第3题图 ①△ABE≌△ACD:②AM=AN;③△ABN≌ 3.教材P107练习T2变式如图所示，点D为 △ACM;④BO=EO.其中正确的结论 BG上任意一点，且DE⊥AB于点E,DF⊥ 有( ) BC于点F,DF=DE.若∠ABC=40°，则 A.4个 ∠ABD= B.3个 C.2个 4.(蚌埠五河期中)如图所示，在四边形ABCD D.1个 中，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且 84 14111411411111111 8.有一块等腰三角形木板，其中AB=AC(如图 10.教材P107练习T3变式如图所示，已知等腰直 所示)，王师傅准备把它分成全等的两部分， 角三角形ABC中，AB=AC,D在AC边上， 小明和小刚分别设计了两种方案： 延长BA到点E,连接BD,CE,且BD=CE. (1)小明：确定BC的中点D,连接AD(如图 (1)求证：AD=AE. ①所示). (2)延长BD,交CE于点F,求∠BFC的 (2)小刚：作AD⊥BC于点D(如图②所示). 度数. 王师傅说两种办法都行，请选择一种说出其 中的道理（写出已知、求证、证明） ① 。通素养 11.(六安月考)如图所示，在四边形ABCD中， ∠B=90°，连接对角线AC,且AC=AD,点 E在边BC上，连接DE,过点A作AF」 DE,垂足为F,若AB=AF. 9.推理能力如图所示，AD,BC相交于点O, (1)求证：①∠DAC=∠FAB; AD=BC,∠C=∠D=90°， ②DF=CE+EF, (1)求证：△ACB≌△BDA. (2)若AB=BC,∠CDE=20°，求∠CAF的 (2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数. 度数. 0 △八年级·上册·数学.1H 85