4.3一次函数的图象 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.3一次函数的图象 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】正比例函数的图象 3 【题型2】确定点在正比例函数的图象上 4 【题型3】正比例函数的性质 5 【题型4】利用正比例函数的性质求字母的取值 6 【题型5】求正比例函数表达式 7 【题型6】一次函数的图象 7 【题型7】一次函数的图象与坐标轴的交点 9 【题型8】一次函数的性质 10 【题型9】利用一次函数的性质求字母的取值 11 【题型10】已知一点求一次函数的表达式 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1.（2024春•青龙县期末）下列图象中可能是一次函数y=mx-3的图象的是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 1.（2021春•香坊区校级期中）正比例函数y=x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【知识点3】一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1.（2025春•呼兰区期末）已知直线y=-3x+1过点A（-1，y1）和点（-3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．不能确定 2.（2025春•长寿区期末）关于x的一次函数y=-3x+m的图象上有三个点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c），则a,b,c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【知识点4】正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 1.（2023春•马尾区校级期末）正比例函数y=-2x的图象经过的象限是（　　） A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 【题型1】正比例函数的图象 【典型例题】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】函数y＝的图象是（　　） A.双曲线 B.抛物线 C.直线 D.线段 【举一反三2】如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值：　　． 【举一反三3】在八年级探究正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象时，小蒋同学列表如表，则表中m的值为　　． 【举一反三4】在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数y＝﹣x的图象． （1）列表： （2）描点并连线． 【题型2】确定点在正比例函数的图象上 【典型例题】关于正比例函数y＝−x，下列结论正确的是（　　） A.k=-2 B.图象必经过点（-1，2） C.图象不经过原点 D.y随x的增大而减小 【举一反三1】已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　） A.（0.5，1） B.（2，1） C.（﹣2，4） D.（﹣2，﹣2） 【举一反三2】若点（2，3）在正比例函数y=kx图象上，则下列各点也在这个正比例函数图象上的是（　　） A.（3，2） B.（-3，-2） C.（-4，-6） D.（-1，-2） 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+2上，则m的值为        ． 【举一反三4】已知正比例函数y＝（2m+4）x．求： （1）m为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）m为何值时，y随x的增大而减小； （3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 【题型3】正比例函数的性质 【典型例题】正比例函数y＝﹣2x的图象经过的象限是（　　） A.一、二 B.二、四 C.一、三 D.三、四 【举一反三1】正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　）象限． A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、四象限 D.第二、三象限 【举一反三2】若函数y＝kx的图象上有两点A（x1，y1）.B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可以是（　　） A.﹣2 B.0 C.1 D.2 【举一反三3】已知正比例函数的y值随x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数表达式　　． 【举一反三4】用描点法画出函数y＝2x，y＝﹣2x，y＝x与y＝﹣x的图象如图． 根据图象回答问题： （1）观察图象并写出正比例函数的图象的特点：　　． （2）画正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，只要找出几个点就可以了？为什么？ （3）观察上述正比例函数的图象可知： ①y＝2x和y＝x的图象都经过第　　象限，从左向右，y的值随x值的增大而　　.比较哪一个与x轴正方向所成的锐角较大，由此你得到什么猜想？ ②y＝﹣2x和y＝﹣x的图象都经过第　　象限，从左向右，y的值随x值的增大而　　.比较哪一个与x轴正方向所成的锐角较大，由此你得到什么猜想？ 【举一反三5】已知函数y＝（k+）（k为常数）． （1）当k为何值时，该函数是正比例函数？ （2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？请画出它的图象． （3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？请画出它的图象． （4）点A（2，5）与点B（2，﹣3）分别在哪条直线上？ 【题型4】利用正比例函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知函数y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限，则m的值是　　． 【举一反三1】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而增大，则m＝　　． 【举一反三2】已知正比例函数y＝kx． （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？ （2）点（1，﹣2）在它的图象上，求它的表达式． 【举一反三3】已知函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数，求m的值，并写出其图象经过哪个象限． 【题型5】求正比例函数表达式 【典型例题】正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（　　） A.y＝2x B.y＝ x C.y＝﹣ x D.y＝﹣2x 【举一反三1】已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A.y＝﹣5x B.y＝5x C.y＝3x D.y＝﹣3x 【举一反三2】函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（　　） A.y＝2x B.y＝﹣2x C.y＝ x D.y＝﹣ x 【举一反三3】若正比例函数的图象经过点（3，6），则该函数的解析式为　　． 【举一反三4】正比例函数的图象过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是　　． 【举一反三5】已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值． 【题型6】一次函数的图象 【典型例题】定义一种运算：ab＝则函数y＝（x+2）（x﹣1）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】一次函数y＝kx+k的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A.当x＞0时，y＞﹣2 B.当x＜1时，y＞0 C.当x＜0时，﹣2＜y＜0 D.当x≥1时，y≤0 【举一反三3】已知一次函数y＝（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是　　． 【举一反三4】一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　　． 【举一反三5】若△ABC中∠A＝80°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°，试写出y与x之间的函数关系式，并画出图象． 【题型7】一次函数的图象与坐标轴的交点 【典型例题】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.该函数的图象经过一.二.三象限 C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【举一反三2】一次函数y＝kx+b的部分x和y的部分对应值如表所示，下列结论正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.x＝2是kx+b＝0方程的解 C.此函数图象不经过第三象限 D.此函数图象与x轴交于点 【举一反三3】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【题型8】一次函数的性质 【典型例题】一次函数y＝mx+1的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【举一反三1】对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A.k＞0 B.kb＜0 C.k+b＞0 D.k＝﹣b 【举一反三2】请写出一个图象经过二.三.四象限的一次函数解析式：　　.（答案不唯一，只要符合题意均可得分） 【举一反三3】若函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当0＜y≤1时，x的取值范围是　　． 【举一反三4】一次函数y＝（2a+4）x﹣（3﹣a），当a为何值时： （1）图象过原点？ （2）图象与y轴交点在x轴下方？ （3）图象不经过第二象限？ 【举一反三5】已知：一次函数y＝﹣2x+3． （1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当x为何值时，y≤0？ （3）当x为何值时，y≤1？ （4）当﹣2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ （5）当1＜y＜5时，求x的变化范围． 【题型9】利用一次函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11，则k的值是（　　） A.2 B.7 C.14 D.2或14 【举一反三1】一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣4的图象不经过第二象限，则（　　） A.m＞2，n＞4 B.m＜2，n＜4 C.m＞2，n≥4 D.m＜2，n≤4 【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可以是_______ （只需写出一个符合条件的实数） 【举一反三4】已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6． （1）k满足何条件时，y随x的增大而减小； （2）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限； （3）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方． 【题型10】已知一点求一次函数的表达式 【典型例题】已知一次函数y＝﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣10 D.y＝﹣x﹣1 【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（1，﹣2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x+1 B.y＝x﹣1 C.y＝x+2 D.y＝﹣x﹣1 【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10 【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（1，﹣2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x+1 B.y＝x﹣1 C.y＝x+2 D.y＝﹣x﹣1 【举一反三4】已知一次函数y＝﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣10 D.y＝﹣x﹣1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3一次函数的图象 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】正比例函数的图象 4 【题型2】确定点在正比例函数的图象上 7 【题型3】正比例函数的性质 8 【题型4】利用正比例函数的性质求字母的取值 12 【题型5】求正比例函数表达式 13 【题型6】一次函数的图象 15 【题型7】一次函数的图象与坐标轴的交点 18 【题型8】一次函数的性质 20 【题型9】利用一次函数的性质求字母的取值 24 【题型10】已知一点求一次函数的表达式 25 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1.（2024春•青龙县期末）下列图象中可能是一次函数y=mx-3的图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到一次函数y=mx-3的图象经过哪几个象限． 【解答】解：当m＞0时，一次函数y=mx-3的图象过一、三、四象限； 当m＜0时，一次函数y=mx-3的图象过二、三、四象限； 符合条件的为C选项， 故选：C． 【知识点2】正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 1.（2021春•香坊区校级期中）正比例函数y=x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵＞0， ∴正比例函数y=x的图象经过第一、三象限，且靠近x轴， 故选：B． 【知识点3】一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1.（2025春•呼兰区期末）已知直线y=-3x+1过点A（-1，y1）和点（-3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．不能确定 【答案】B 【分析】由k=-3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-1＞-3，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k=-3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵直线y=-3x+1过点A（-1，y1）和点（-3，y2），且-1＞-3， ∴y1＜y2． 故选：B． 2.（2025春•长寿区期末）关于x的一次函数y=-3x+m的图象上有三个点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c），则a,b,c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【答案】B 【分析】由k=-3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-2＜-1＜4，即可得出b＜c＜a. 【解答】解：∵k=-3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c）是一次函数y=-3x+m的图象上的点，且-2＜-1＜4， ∴b＜c＜a. 故选：B． 【知识点4】正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 1.（2023春•马尾区校级期末）正比例函数y=-2x的图象经过的象限是（　　） A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 【答案】B 【分析】根据k=-2＜0和正比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵k=-2＜0， ∴正比例函数y=-2x的图象经过二、四象限． 故选：B． 【题型1】正比例函数的图象 【典型例题】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x， ∴此时图象则第一象限， ∵当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x， ∴此时图象则第二象限， 故选：C． 【举一反三1】函数y＝的图象是（　　） A.双曲线 B.抛物线 C.直线 D.线段 【答案】C 【解析】函数y＝的图象是直线， 故选：C． 【举一反三2】如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值：　　． 【答案】﹣1（答案不唯一） 【解析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二.四象限， ∴k＜0． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【举一反三3】在八年级探究正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象时，小蒋同学列表如表，则表中m的值为　　． 【答案】6 【解析】把（﹣2，﹣12）代入y＝kx得，k＝6， ∴y与x的关系式为y＝6x， 当x＝1时，m＝6， 故答案为：6． 【举一反三4】在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数y＝﹣x的图象． （1）列表： （2）描点并连线． 【答案】解（1）列表： （2）描点并连线如图所示． 【题型2】确定点在正比例函数的图象上 【典型例题】关于正比例函数y＝−x，下列结论正确的是（　　） A.k=-2 B.图象必经过点（-1，2） C.图象不经过原点 D.y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】因为k=−，所以A错误；因为当x=-1时，y=，所以B错误；因为正比例函数的图象必经过原点，所以C错误，故D正确． 【举一反三1】已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　） A.（0.5，1） B.（2，1） C.（﹣2，4） D.（﹣2，﹣2） 【答案】C 【解析】∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小， ∴k＜0， ∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限， ∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）． 故选：C． 【举一反三2】若点（2，3）在正比例函数y=kx图象上，则下列各点也在这个正比例函数图象上的是（　　） A.（3，2） B.（-3，-2） C.（-4，-6） D.（-1，-2） 【答案】C 【解析】将点（2，3）代入函数表达式：y=kx得：3=2k, 解得：k=，故函数的表达式为：y=x，，当x=-4时，y=-6，所以（-4，-6）在y=x的图象上． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+2上，则m的值为        ． 【答案】2 【解析】因为点A（4，m）关于x轴的对称点B为（4，-m），把（4，-m）代入y=-x+2得-m=-4+2，所以m=2． 【举一反三4】已知正比例函数y＝（2m+4）x．求： （1）m为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）m为何值时，y随x的增大而减小； （3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 【答案】解（1）∵函数图象经过一、三象限， ∴2m+4＞0，解得m＞﹣2； （2）∵y随x的增大而减小， ∴2m+4＜0，解得m＜﹣2； （3）∵点（1，3）在该函数图象上， ∴2m+4＝3，解得m＝﹣． 【题型3】正比例函数的性质 【典型例题】正比例函数y＝﹣2x的图象经过的象限是（　　） A.一、二 B.二、四 C.一、三 D.三、四 【答案】B 【解析】∵k＝﹣2＜0， ∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过二、四象限． 故选：B． 【举一反三1】正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　）象限． A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、四象限 D.第二、三象限 【答案】B 【解析】在正比例函数y＝﹣3x中， ∵k＝﹣3＜0， ∴正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二.、四象限， 故选：B． 【举一反三2】若函数y＝kx的图象上有两点A（x1，y1）.B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可以是（　　） A.﹣2 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【解析】∵正比例函数y＝kx图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0， 结合选项，四个选项中只有﹣2在k＜0的范围内． 故选：A． 【举一反三3】已知正比例函数的y值随x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数表达式　　． 【答案】y＝x（答案不唯一） 【解析】∵正比例函数的y值随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴函数表达式可以为y＝x． 故答案为：y＝x（答案不唯一）． 【举一反三4】用描点法画出函数y＝2x，y＝﹣2x，y＝x与y＝﹣x的图象如图． 根据图象回答问题： （1）观察图象并写出正比例函数的图象的特点：　　． （2）画正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，只要找出几个点就可以了？为什么？ （3）观察上述正比例函数的图象可知： ①y＝2x和y＝x的图象都经过第　　象限，从左向右，y的值随x值的增大而　　.比较哪一个与x轴正方向所成的锐角较大，由此你得到什么猜想？ ②y＝﹣2x和y＝﹣x的图象都经过第　　象限，从左向右，y的值随x值的增大而　　.比较哪一个与x轴正方向所成的锐角较大，由此你得到什么猜想？ 【答案】解（1）正比例函数的图象的特点：经过原点的直线，故答案为：经过原点的直线； （2）画正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，只要找出两个个点就可以了，因为两点确定一条直线； （3）观察上述正比例函数的图象可知： ①y＝2x和y＝x的图象都经过第一、三象限，从左向右，y的值随x值的增大而增大，y＝2x与x轴正方向所成的锐角较大， 由此得到猜想为：当k＞0时，k值越大，直线与x轴正方向所成的锐角越大， 故答案为：一、三，增大，k＞0时，k值越大，直线与x轴正方向所成的锐角越大； ②y＝﹣2x和y＝﹣x的图象都经过第二、四象限，从左向右，y的值随x值的增大而减小，y＝﹣2x与x轴正方向所成的锐角较大， 由此可得到猜想为：当k＜0时，k的对值越大，直线与x轴正方向所成的锐角越大； 故答案为：二、四，减小，猜想为：当k＜0时，k的对值越大，直线与x轴正方向所成的锐角越大． 【举一反三5】已知函数y＝（k+）（k为常数）． （1）当k为何值时，该函数是正比例函数？ （2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？请画出它的图象． （3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？请画出它的图象． （4）点A（2，5）与点B（2，﹣3）分别在哪条直线上？ 【答案】解（1）由题意得k2﹣3＝1且k+≠0， 解得k＝±2． ∴正比例函数的表达式为：y＝x或y＝﹣x． （2）∵正比例函数y随x的增大而增大， ∴k+＞0． 解得k＞﹣． ∴k＝． 函数图象如图； （3）∵正比例函数y随x的增大而减小， ∴k+＜0． 解得k＜﹣． ∴k＝﹣． 函数图象如图； （4）∵当x＝2时，y＝5， ∴点A（2，5）在函数y＝x上． ∵当x＝2时，y＝﹣3， ∴点B（2，﹣3）函数y＝﹣x上． 【题型4】利用正比例函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知函数y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限，则m的值是　　． 【答案】-3 【解析】∵y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数， ∴m2﹣8＝1，解得m＝±3， ∵图象经过第二、四象限， ∴m﹣2＜0，即m＜2． ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【举一反三1】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而增大，则m＝　　． 【答案】1 【解析】∵正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），y随x的增大而增大， ∴，解得m＝1． 故答案为：1． 【举一反三2】已知正比例函数y＝kx． （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？ （2）点（1，﹣2）在它的图象上，求它的表达式． 【答案】解（1）∵函数图象经过第二、四象限， ∴k＜0； （2）当x＝1，y＝﹣2时，则k＝﹣2， 即：y＝﹣2x． 【举一反三3】已知函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数，求m的值，并写出其图象经过哪个象限． 【答案】解∵函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数， ∴5﹣m＝1， ∴m＝4， ∴1﹣m＝﹣3＜0， ∴其图象经过二.四象限． 【题型5】求正比例函数表达式 【典型例题】正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（　　） A.y＝2x B.y＝ x C.y＝﹣ x D.y＝﹣2x 【答案】C 【解析】∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1， ∴﹣1＝2k， 解得k＝﹣ ， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣ x， 故选：C． 【举一反三1】已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A.y＝﹣5x B.y＝5x C.y＝3x D.y＝﹣3x 【答案】A 【解析】由题意知m2﹣3＝1且2m﹣1＜0， 解得m＝±2，且m＜， ∴m＝﹣2． ∴y＝﹣5x． 故选：A． 【举一反三2】函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（　　） A.y＝2x B.y＝﹣2x C.y＝ x D.y＝﹣ x 【答案】D 【解析】∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣2，1）， ∴﹣2k＝1， 解得k＝﹣ ， ∴正比例函数的解析式为y＝﹣ x． 故选：D． 【举一反三3】若正比例函数的图象经过点（3，6），则该函数的解析式为　　． 【答案】y＝2x 【解析】设该正比例函数的解析式为y＝kx， ∵这个正比例函数的图象经过点（3，6）， ∴6＝3k， ∴k＝2． 故答案为：y＝2x． 【举一反三4】正比例函数的图象过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是　　． 【答案】y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x 【解析】∵A点的横坐标为3，且A点到x轴的距离为2， ∴A（3，2）或（3，﹣2）， 设正比例函数的解析式为y＝kx， ∴2＝3k或﹣2＝3k， ∴k＝ 或k＝﹣ ， ∴此函数解析式是y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x， 故答案为：y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x． 【举一反三5】已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值． 【答案】解（1）设y＝kx（k≠0）， 当x＝2，y＝4时，则4＝2k， 即k＝2， y与x之间的函数关系式为：y＝2x； （2）∵点（a，3）在这个函数的图象上， ∴3＝2a， ∴a＝． 【题型6】一次函数的图象 【典型例题】定义一种运算：ab＝则函数y＝（x+2）（x﹣1）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵当x+2≥2（x﹣1）时，x≤4， ∴当x≤4时，（x+2）（x﹣1）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝x+2﹣x+1＝3， 即：y＝3， 当x＞4时，（x+2）（x﹣1）＝（x+2）+（x﹣1）﹣6＝x+2+x﹣1﹣6＝2x﹣5， 即：y＝2x﹣5， ∴k＝2＞0， ∴当x＞4时，y＝2x﹣5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大， 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 【举一反三1】一次函数y＝kx+k的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据图象知： A.k＜0；k＞0．解集没有公共部分，所以不可能； B.k＞0；k＞0．解集有公共部分，但是k不一定为1； C.k＜0；k＜0．解集有公共部分，所以有可能； D.k＜0；k＝0．解集没有公共部分，所以不可能， 则符合题意的选项为C． 故选：C． 【举一反三2】在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A.当x＞0时，y＞﹣2 B.当x＜1时，y＞0 C.当x＜0时，﹣2＜y＜0 D.当x≥1时，y≤0 【答案】A 【解析】由函数y＝x+3的图象可知， 当x＞0时，y＞﹣2，故A正确； 当x＜1时，y＜0，B选项错误； 当x＜0时，y＜﹣2，C选项错误； 当x≥1时，y≥0，故D错误． 故选：A． 【举一反三3】已知一次函数y＝（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是　　． 【答案】a＞1 【解析】根据图示知：一次函数y＝（a﹣1）x+b的图象经过第一、二、三象限， ∴a﹣1＞0，即a＞1； 故答案为：a＞1． 【举一反三4】一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　　． 【答案】0＜x＜4 【解析】根据图象知，当y＝3时，x＝0； 当y＝﹣3时，x＝4； ∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0＜x＜4． 故答案为：0＜x＜4． 【举一反三5】若△ABC中∠A＝80°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°，试写出y与x之间的函数关系式，并画出图象． 【答案】解∵△ABC中∠A＝80°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°， ∴80+x+y＝180， ∴y＝100﹣x（0＜x＜100），图象如下： 【题型7】一次函数的图象与坐标轴的交点 【典型例题】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【答案】A 【解析】∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1， ∴当x＝1时y＝kx+b＝0， ∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0）， 故选：A． 【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.该函数的图象经过一.二.三象限 C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【答案】C 【解析】由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1）， 把点的坐标代入y＝kx+b得：， 解得：k＝﹣2，b＝3， 即函数的解析式是y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．∵k＝﹣2，b＝3， ∴函数的图象经过第一.二.四象限，故本选项不符合题意； C．当y＝1时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1， 即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】一次函数y＝kx+b的部分x和y的部分对应值如表所示，下列结论正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.x＝2是kx+b＝0方程的解 C.此函数图象不经过第三象限 D.此函数图象与x轴交于点 【答案】C 【解析】由表格可得， y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意； 当x＝0时，y＝2，可知b＝2，y随x的增大而减小，可知k＜0，则该函数图象经过第一.二.四象限，故选项C正确，符合题意； x＝2时，y＝﹣4，故x＝2不是方程kx+b＝0的解，故选项B错误，不符合题意； ∵点（0，2），（1，﹣1）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y＝﹣3x+2， 当y＝0时，0＝﹣3x+2，得x＝， 即一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（，0），故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【答案】A 【解析】∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1， ∴当x＝1时y＝kx+b＝0， ∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0）， 故选：A． 【题型8】一次函数的性质 【典型例题】一次函数y＝mx+1的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】∵一次函数y＝mx+1的值随x的增大而增大， ∴m＞0， ∴﹣m＜0， ∴点P（﹣m，m）在第二象限． 故选：B． 【举一反三1】对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A.k＞0 B.kb＜0 C.k+b＞0 D.k＝﹣b 【答案】C 【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限， ∴b≤0， 又∵函数图象经过点（2，0）， ∴图象经过第一.三.四象限， ∴k＞0，k＝﹣b， ∴kb＜0， ∴k+b＝b＜0， ∴错误的是k+b＞0． 故选：C． 【举一反三2】请写出一个图象经过二.三.四象限的一次函数解析式：　　.（答案不唯一，只要符合题意均可得分） 【答案】y＝﹣x﹣1 【解析】由题意，对于一次函数y＝kx+b， ∵一次函数图象过二.三.四象限， ∴k＜0，b＜0． ∴k＝﹣1，b＝﹣1．（答案不唯一．） ∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1． 故答案为：y＝﹣x﹣1． 【举一反三3】若函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当0＜y≤1时，x的取值范围是　　． 【答案】0≤x＜2 【解析】由图可知：当0＜y≤1时，x的取值范围是0≤x＜2， 故答案为：0≤x＜2． 【举一反三4】一次函数y＝（2a+4）x﹣（3﹣a），当a为何值时： （1）图象过原点？ （2）图象与y轴交点在x轴下方？ （3）图象不经过第二象限？ 【答案】解（1）∵一次函数图象经过原点， ∴， ∴， ∴a＝3． （2）∵一次函数图象与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴a＜3且a≠﹣2； （3）∵一次函数图象不经过第二象限， ∴， ∴﹣2＜a≤3． 【举一反三5】已知：一次函数y＝﹣2x+3． （1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当x为何值时，y≤0？ （3）当x为何值时，y≤1？ （4）当﹣2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ （5）当1＜y＜5时，求x的变化范围． 【答案】解（1）∵一次函数y＝﹣2x+3的图象是一条直线， 当x＝0时，解得y＝3；当y＝0时，解得x＝， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是（0，3）和（，0）， 其图象如下： （2）由图可知，当x≥时，y≤0． （3）由题意得： ﹣2x+3≤1， 解得：x≥1， 即当x≥1时，y≤1． （4）∵y＝﹣2x+3， ∴用含y的式子表示x得：x=， 又∵﹣2≤x≤3， ∴-2≤， 解得：﹣3≤y≤7． y的最大值为7． （5）∵1＜y＜5． ∴1＜﹣2x+3＜5 解得：﹣1＜x＜1． 【题型9】利用一次函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11，则k的值是（　　） A.2 B.7 C.14 D.2或14 【答案】A 【解析】①当k＞0时，y随x的增大而增大， ∵y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11， ∴当x＝7时，y取最大值11，即7k﹣3＝11， 解得k＝2＞0，符合题意； ②当k＜0时，y随x的增大而减小， ∵y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11， ∴当x＝1时，y取最大值11，即k﹣3＝11， 解得k＝14＞0，不符合题意； 综上所述，k的值是2． 故选：A． 【举一反三1】一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意：由题意：， 解得﹣2＜x＜3 故选：C． 【举一反三2】若一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣4的图象不经过第二象限，则（　　） A.m＞2，n＞4 B.m＜2，n＜4 C.m＞2，n≥4 D.m＜2，n≤4 【答案】D 【解析】∵一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣4的图象不经过第二象限， 即图象经过第一.三.四象限或图象经过一.三象限， ∴2﹣m＞0且n﹣4≤0， ∴m＜2，n≤4． 故选：D． 【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可以是_______ （只需写出一个符合条件的实数） 【答案】﹣1（答案不唯一） 【解析】∵一次函数y随x的增大而减小， ∴k＜0， 不妨设k＝﹣1， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【举一反三4】已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6． （1）k满足何条件时，y随x的增大而减小； （2）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限； （3）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方． 【答案】解（1）由题意得：2﹣k＜0， 解得：k＞2； （2）由题意得：2﹣k＜0，且﹣2k+6＞0， 解得：2＜k＜3； （3）由题意得：﹣2k+6＞0且2﹣k≠0， ∴k＜3且k≠2． 【题型10】已知一点求一次函数的表达式 【典型例题】已知一次函数y＝﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣10 D.y＝﹣x﹣1 【答案】C 【解析】把（﹣8，﹣2）代入y＝﹣x+b得：﹣2＝8+b， 解得：b＝﹣10， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣10， 故选：C． 【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（1，﹣2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x+1 B.y＝x﹣1 C.y＝x+2 D.y＝﹣x﹣1 【答案】D 【解析】∵一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行， ∴k＝﹣1， 把（1，﹣2）代入y＝﹣x+b得﹣1+b＝﹣2，解得b＝﹣1， ∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1． 故选：D． 【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10 【答案】D 【解析】设一次函数解析式为y＝kx+b， 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10． 故选：D． 【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（1，﹣2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x+1 B.y＝x﹣1 C.y＝x+2 D.y＝﹣x﹣1 【答案】D 【解析】∵一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行， ∴k＝﹣1， 把（1，﹣2）代入y＝﹣x+b得﹣1+b＝﹣2，解得b＝﹣1， ∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1． 故选：D． 【举一反三4】已知一次函数y＝﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣10 D.y＝﹣x﹣1 【答案】C 【解析】把（﹣8，﹣2）代入y＝﹣x+b得：﹣2＝8+b， 解得：b＝﹣10， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣10， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $