1.3勾股定理的应用 讲义　2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学讲义围绕勾股定理的实际应用构建知识体系，通过清晰的框架图梳理勾股定理及其逆定理的核心内容，用表格归纳常见勾股数并标注典型应用场景，借助思维导图呈现“基础计算—最短路径—几何证明—实际问题”四类题型的内在逻辑，突出重难点分布与知识迁移路径。 讲义的亮点在于“数形结合”“模型建构”和“推理意识”的深度融合，如例题中将圆柱侧面展开为矩形求最短路径，体现空间观念与运算能力的协同提升；又如利用赵爽弦图进行等面积法验证勾股定理，强化逻辑推理与数学表达。练习设计分层明确，基础题帮助学生巩固公式应用，综合题引导学生建立几何模型解决实际问题，既支持学生自主复习时查漏补缺，也为教师实施差异化教学提供精准依据。

第二讲 勾股定理的实际应用 【教学目标】 1、 掌握勾股定理及逆定理的知识点及常见的勾股数 2、 运用勾股定理进行简单的计算和解决简单的实际问题 【教学重难点】 1．重点：勾股定理及逆定理的综合应用． 2．难点：利用勾股定理及逆定理解决实际问题．（数形结合） 【知识精讲】 知识点01 勾股定理 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 知识点02 勾股定理的逆定理 1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 知识点03 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 知识点04 常见的勾股数 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；… 【例题精讲】 类型一；勾股定理及逆定理中的基础练习 1．（2024春•涪城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 2．（2025•梓潼县开学）如图，一圆柱体的底面半径为3，高AB为5π，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行两圈到达点B，爬行的最短路程是　 　 ． 3．（2024春•中江县期中）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　 cm． 4．（2025•郫都区模拟）已知a、b表示一个直角三角形的两直角边的长，若a+b＝6，ab＝4，则这个直角三角形的斜边长为 　 　 ． 5．（2025•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 　 　 ． 6．（2024秋•成都期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 　 　 ． 7．（2024秋•温江区校级月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝　 　 ． 8．（2024秋•锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 　 　 m（结果保留根号）． 类型二；勾股定理及逆定理的实际应用 例1、（2024秋•锦江区期末）某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）． 【变式练习】 1、（2024•天府新区校级开学） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 类型三；应用勾股定理求线段长度的几何证明 例1、 （2024秋•青羊区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若AD，求CF的长． 【变式练习】 1、（2025春•成都校级期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，已知AC＝9，BC＝12，AB＝15． （1）求CD的长； （2）过点A作∠CAB的角平分线交BC边于点E，求△AEB的面积． 【课堂总结】 知识点01 勾股定理 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 知识点02 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 知识点03 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 知识点04 常见的勾股数 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；… 【家庭作业】 1．（2024•管城）若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024秋•简阳市校级月考）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　） A． B． C．D． 3．（2024秋•成都月考）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　） A．（3+2）cm B．cm C．cm D．cm （3题） （4题） （5题） （6题） 4．（2024秋•沙坡头区期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　） A．14 B．13 C．14 D．14 5．（2024春•广汉市校级月考）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　） A．90 B．100 C．110 D．121 6．（2024春•番禺区校级期中）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝　 　 初二课堂过关检测 时间： 姓名： 1． （2024秋•简阳市校级月考）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距 离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的 B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　） A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 2．（2024秋•郫都区校级期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．（2024秋•武侯校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（2024秋•锦江月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是（　　） A． B． C．9 D．6 5．（2024秋•武侯区校级月考）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（　　） A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 6．（2024•西昌市一模）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（　　） A．75 B．100 C．120 D．125 【教学反思】 1 学科网（北京）股份有限公司 $