2.4圆的方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 圆的方程 掌握要点 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 定义 圆心C(a,b) 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 方程 半径为r x2+y2+Dx+Ey+F=0(2+E-4D0) 心DE) 22 丰径为D+E.4F 当D十E一4F>0时，此方程表示的图形是圆 般 当D松一F0,比方6来泰-个号胃 的方程 程 当D十E一4F<0时，它不表示任何图形 二元二次方程A+Bxy叶GM+Dx十E叶F=0表示圆的 A=C+0, 充要条件是B=0, 0+E-4M>0. 圆的标准方程为(x一a)2十(y一b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为a,b), 半径为r,设M的坐标为区oyo) 位置关系白几何法白代数法 点在圆外台MC>r台(x-a)2+yo-b)2>r2 点在圆上台MC=r台(&0-a)2+(yo-b)2=r 点与 圆的 点在圆内台MC<r台(x。-a)2+y。-b)2<r2 位置 关系 第1页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程， 求出a,b,r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D,E,F的方程组， 方程 进而求出D,E,F的值 以A(x1,y),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为 (x-x1)(x-2)+(y-y)(y-y2)=0 圆心在过切点且垂直于切线的直线上 圆心在任一弦的中垂线上 圆的性质 两圆相切时，切点与两圆心三点共线 形如=一b形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题 的方程解题思路 x-a 与圆 形如t=ax十by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题 0 有 的最 形如m=(x一)2+(y一b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距 离的平方的最值问题 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 定义法：根据圆、直线等定义列方程 与圆有关的轨迹 几何法：利用圆的几何性质列方程 相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关 系式 基本思路：利用对称性求最值 与圆C有关 “动化定”，把与圆上动，点的距离转化为与圆心的距离 的折线段的 “曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和， 最值 一般要通过对称性解决 第2页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 知识精讲 考点一圆的方程 【例1-1】(1)圆x-+y2=3 的圆心坐标和半径分别是() A.(-1,0),3 B.(1,0),3 C.(-l,0,V5 D.(1,0,V5 （2).圆C:2+2x+-1=0的圆心C的坐标为() A.(1,0) B.(-1,0) C.(2,0) D.(-2,0) 【例1-2】(1)在平面直角坐标系中，经过三点0,1,0,2，，3) 的圆的方程为 (2)过点，-，B(-1,1D,且圆心在直线+y-2=0 上的圆的方程 (3)若圆C与圆(x+2)2+(y一1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是 (4)经过圆r-2x+少=0的圆心且与直线+2y=0平行的直线方程是 考点二圆的定义及方程求参 【例2】(1)已知方程x+y2一2x+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是（) A.(-∞，-1) B.(3,+∞)C.(-∞，-1)U(3,+∞) 3 (2+) 第3页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 14 (2)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心，则ab的最 小值是(). A.16 B.12 C.9 D.8 考点三点与圆的位置关系 【例3】(1)两个点M(2,4)、N-2,1与圆C:r+y2-2x+4y-4=0的位置关系是( ) A.点M在圆C外，点V在圆C外 C C B.点M在圆C内，点在圆C内 M C C.点在圆外，点在圆内 D.点M在圆C内，点N在圆C外 (2)若坐标原点在圆r+y-2mx+2mv+2m-4=0的内部，则实数m的取值范围是( A.(-1,1) C.(-3,5) D.(-2,V2) 考点四有关圆的轨迹方程 【例4】己知Rt△ABC的斜边为AB,且A(一1,0)，B(3,0).求：(I)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 第4页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 考点五与圆有关的最值 【例5】已知实数x,y满足方程X+P-4x+1=0,则 (1)的最大值和最小值分别为 和 (2)y一x的最大值和最小值分别为 和 (3)x+2的最大值和最小值分别为 和 SAT 自我总结： 0 基础提分 题组A基础过关练 1、求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)： (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，一4) 2、已知点A(1,一1)，B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是() A.x2+y2=2 B.x2+y2= C.x2+y2=1 D.x2+y2=4 第5页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 3、与圆(x一2)2+y+3)2=16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为 4、若一圆的圆心坐标为(2，一3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( ) A.(x-2)2+0y+3)2=13 B.(x+2)2+0y-3)2=13 C.x-2)2+y+3)2=52 D.(x+2)2+0y-3)2=52 5、己知直线1过圆x2+y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则1的方程是() A.x十y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 6、方程x2+y2+2ax十2by+a2+b2=0表示的图形为() A.以(a,b)为圆心的圆 B.以（一a,一b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 7、己知圆心在点C(一3，一4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P(一1,0)， P2(1,一1)，P3(3,一4)和圆的位置关系. 8、已知a∈R,方程a2x2+(a十2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径 是 9、求圆心在直线2x一y一3=0上，且过点(5,2)和(3，一2)的圆的一般方程. 第6页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 10、当a为任意实数时，直线(a-1)x-y十a+1=0恒过定点C,则以C为圆心，为半径的 圆的方程为() A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 题组B能力提升练 11、若当方程x2+y2+x+2y十2=0所表示的圆取得最大面积时，则直线y=(k-1)x+2的 倾斜角a等于() A. B. C. D 12、己知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( ) A.x2+y2=32 B.x2+y2=16 C.(x-1)2+y2=16 D.x2+y-1)2=16 13、己知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称图形，则a一b的取值范围是 14、已知直线(3+2)x+(3-2)y十5-一2=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+y+3)2=16有 公共的圆心且过点P的圆的标准方程为() A.(x-2)2+y+3)2=36 B.(x-2)2+y+3)2=25 C.(x-2)2+y+3)2=18 D.(x-2)2+y+3)2=9 15、已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为() A.4 B.5C.6 D.7 第7页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 16、已知圆C:+广+2x-2-4m=0m∈R）,则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原 点的距离的最大值为() A.② B.6 C.5-1 D.5+1 17、己知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x一3y一6=0， 点T(-1,1)在AD边所在的直线上. (I)求AD边所在直线的方程： (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 18、当实数m的值为多少时，关于x,y的方程(2m2+m一1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0表 示的图形是一个圆？ 19、已知圆C:x2+y2+Dx十Ey十3=0，圆心在直线x十y一1=0上，且圆心在第二象限，半 径长为，求圆的一般方程， 第8页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 第9页共9页 学而思，思而学——学而不思，则罔；思而不学，则殆！ ( 掌握要点 ) ( 知识精讲 ) 考点一 圆的方程 【例1-1】（1）圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3 C． D． （2）．圆的圆心C的坐标为（ ） A．（1，0） B．（－1，0） C．（2，0） D．（－2，0） 【答案】（1）D（2）B 【解析】（1）根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D. （2）由圆可得，故圆心坐标为,故选：B 【例1-2】（1）在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为 . （2）过点，且圆心在直线上的圆的方程 . （3）若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是 . （4）经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是 . 【答案】（1）（2）（3） （4） 【解析】（1）设圆的方程为， 因为圆过三点，所以得 所以圆的方程为.故答案为： （2）因为过点，，所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上，所以，解得， 所以圆心为，所以圆的方程为.故选：C （3）已知圆圆心为，∴，∴圆方程为． （4）圆的方程化简为，圆心，半径， 由条件可知设直线方程：，直线过点， 代入直线方程，所以直线方程是.故选：B 考点二 圆的定义及方程求参 【例2】(1)已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（ ） A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D． （2）若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）. A．16 B．12 C．9 D．8 【答案】（1）A（2）C 【解析】（1）方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．故选：A. （2）化为标准方程为：， 圆心坐标为，带入直线方程，得， 所以，故选C 考点三 点与圆的位置关系 【例3】（1）两个点、与圆的位置关系是（ ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 （2）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）D 【解析】（1）将代入方程左边得， 则点在圆内，将代入方程左边得， 则点在圆外，故选：D. （2）化为标准方程为： 把原点坐标代入圆的方程得: ,解得：,故选：D. 考点四 有关圆的轨迹方程 【例4】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)（2）(x－2)2＋y2＝1(y≠0) 【解析】(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 考点五 与圆有关的最值 【例5】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则 (1)的最大值和最小值分别为________和________； (2)y－x的最大值和最小值分别为________和________； (3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______． 【答案】（1） - （2）－2＋，－2－.（3）7＋4　7－4 【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. （1） （3） 自我总结： ； ； 。 ( 基础 提分 ) 题组A 基础过关练 1、求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 【解析】(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 2、已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝2　　　　　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 【解析】AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.故选A 3、与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________． 【解析】因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r＝＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝20. 4、若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 【解析】由中点坐标公式得直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A 5、已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 【解析】圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D. 6、方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 【解析】原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0， ∴即∴表示点(－a，－b)．故选D 7、已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)， P3(3，－4)和圆的位置关系． 【解析】因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r＝＝5， 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为|P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1,0)在圆内； 因为|P2C|＝＝5， 所以P2(1，－1)在圆上； 因为|P3C|＝＝6>5， 所以P3(3，－4)在圆外． 8、已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆； 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5. 答案：(－2，－4)　5 9、求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程． 【解析】设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心为. ∵圆心在直线2x－y－3＝0上， ∴2×－－3＝0.① 又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上， ∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.　② 32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0. ③ 解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. 10、当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 【解析】直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)． ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5， 即x2＋y2＋2x－4y＝0.故选C 题组B 能力提升练 11、若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A. B. C. D. 【解析】x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.故选C 12、已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 【解析】设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.故选B 13、已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________． 【解析】由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1. 答案：(－∞，1) 14、已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 【解析】由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，则解得即P(－1,1)． ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)， ∴|PC|＝＝5， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B. 15、已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】设圆心C(x，y)，则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆， 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5， 所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号．故选A 16、已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（      ） A． B．6 C． D． 【解析】根据题意，圆， 变形可得． 其圆心为，半径为，则， 当圆的面积最小时，必有，此时． 圆的方程为， 圆心到原点为距离， 则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为． 故选：D． 17、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程． 【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3. 又点T(－1,1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋2＝0. (2)由解得点A的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又r＝|AM|＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8 18、当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？ 【解析】要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0， 所以m＝－3或m＝1. ①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去； ②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，以为半径的圆． 综上，m＝－3时满足题意． 19、已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 【解析】圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0. 则故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $