1.2空间向量基本定理讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 空间向量基本定理 掌握要点 如果空间中的三个向量a,6,C不共面，那么对空间中的任意一个向量卫， 存在唯一的有序实数组(c,y,,使得p=xa十yb十zc: 特别地，当a,6,C不共面时，可知xa十yb十zC=0时，x=y=x=0 本 理 空间中三个不共线的向量可以作为基底 证明空间四点共面的方法 空间向量基本定理 对空间四点P,M,A,B来证明四点共面：（①M下=xM+yMB; 基底 (2)对控间任一点0，O丽=OM+xM+MB (③)PM∥AB(载PA∥MB或PB∥A防 (4)M与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+)yOB+zOC,x+y+z=1 cos〈a,6) 6 异面直线的夹角⊙ 采用数量积变形公式 a∥6台6=a 运用 线面平行 线面垂直 )a⊥6台a·6=0 第1页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 2 知识精讲 题型一、 基底的判断 例1.设r=a+6,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a,b,x}, ②6，以，2，③{拓，c,2},④{x,以，a+b+c.其中可以作为空间一个基底的向量组有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】如图所示，令a=AB,b=AAc=AD, C B 1 少 x=AB,y=AD,z=AC,a+b+c=AC, 由于A,B,C,D四点不共面，可知向量x,y,z也不共面，同理五，C,z和x,y,a+b+C也不共面，而 a,b,x共面，故选：C. 题型二、用基底表示向量 例2.(1)在三棱锥O-ABC中，AD=DB,CE=2EB,若DE=xOA+yOB+zOC,则() 2少、1 1 1 1 1 A.x= =-62= 2 1 B.x= 9=62=-3 C.x=-1 11 111 2y=62= 3 D.=2y=62=3 (2)已知三棱锥O-ABC中，点M为棱OA的中点，点G为△ABC的重心，设OA=a,OB=b, 0C=c,则向量MG=() 1-1,1- A.--a+-b+-C B.2a-6- 63 3 633 c.a-16 1-,11- a--b+-C 6”33 D.-a+b-2C 633 第2页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ (3)如图，在四面体OABC中，G是△ABC的重心，D是OG的中点，则() G: C B A.0D=0A+20B+0c B.OD=104+108+100 6 6 h 6 c.op-08oc 3 3 【答案】(1)C(2)A(3)B 【解析】()由题意D是AB中点，：OD=OA+OB), 又0-2m,则0E-0c+cE-0c+号08-0c+o6-0)-0c+号0. 3 0E-0-而-0c0丽-0， 6 者DE:O1+y0丽-元，则：y名写黄选C (2)连接CG并延长交AB于点E,连接OE,则E为AB的中点，且CG=2CE, 3 0 D CE-CA+E-C4+48-c+(CB-CA)-CA+CB-(04-0c)+(0B-0c) 2 元-c+-+证-++6-++ 第3页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ (3)如图， C B 记点E为C的中点，连接B、0E,所以O死=OB+OC), 又6是△4BC的重心，则AG=2AE,所以AG=2AE=2(OE-OA. 3 3 因为0D=0G, 所以0D=}oG=0A+AG)=}0A+0E-0A =10A+0E=0a+20B+0C)=L0A+20B+0c 3 6 6 题型三、空间向量在几何中运用 例3-1.三棱柱ABC-A,B,C中，M,N分别是AB,B,C上的点，且BM=2AM,CN=2BN. 若∠BAC=90°，∠BAA,=∠CAA=60°，AB=AC=AA,=1,则MN的长为 【答案】⑤ 【解析】 如图设AB=a,AC=b,AA=c, 所以MN=MA+AB+B,N=;BA+AB+B,C 4-++ac-西+c+风6+5+d 因为(a+i+c=a+6+c2+2a-6+2ac+26c 第4页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ =1+1+1+0+2×1×1×c0s60°+2×1×1×c0s60°=5， 所以MN=a++d=5 34 3 故答案为：V⑤ 3 例3-2.如图，在空间四边形0ABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠0AC=45,∠0AB=60,则 OA与BC所成角的余弦值为() A.3-2V2 B. 2-W2 5 6 D. 2 【答案】A 【解析】：0A.BA=8×6c0s60°=24 0A.AC=8x4c0s135°=-16V2 设异面直线0A与BA的夹角为0则 cos0=- 0A.BC0A(BA+AC24-16N2_3-2V2 故选A IOAI‖BC1IOAI‖BCI 8×5 例3-3.如图，已知正方体ABCD-A'BCD',CD'和DC相交于点O,连接AO,求证AO⊥CD'. B A B 【答案】证明见解析 【解析】 第5页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 因为正方体ABCD-AB'C'D',所以C'D⊥CD,AD⊥平面CCDD', 又因为CD'c平面CCDD',所以AD⊥CD', 又因为CD∩AD=D,所以CD'⊥平面ACD, 又因为AOc平面ACD,所以AO⊥CD'. 工Con do if SAT 自我总结： …0 基础提分 1.下列能使向量MA,MB,MC成为空间的一个基底的关系式是() 0+0c A. B.MA=MB+MC C.0M=0A+0B+0C D.MA=2MB-MC 【答案】C 【解析】对于A:由OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1,可得M,A,B,C四点共面，即 MA,MB,MC共面， 所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底： 对于B:因为MA=MB+MC,由平面向量基本定理，可得MA,MB,MC共面，无法构成基底，故B错误： 同理选项D中，MA,MB,MC共面，故D错误.故选：C 2.0、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是() 第6页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ A.OA、OB、OC共线 B.OA、OB共线 C.OB、OC共线 D.O、A、B、C四点共面 【答案】D 【解析】因为O、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底， 所以OA、OB、OC共面，所以Q、A、B、C四点共面，故选：D 3.下列说法正确的是() A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}基向量对应相等 【答案】C 【解析】A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底，所以A错. B项，空间基底有无数个，所以B错 D项中因为基底不唯一，所以D错.故选C. 4.(多选题)下列命题中，正确的命题有() A.a+同=a-6是a,6共线的充要条件 B.若a//b则存在唯一的实数入，使得a=入b C.对空间中任意一点O和不共线的三点A,B,C,若0P=20A-40B+30C,，则P,A,B,C四点共面 D.若{abc为空间的一个基底，则a+b,6+2c,c+3a构成空间的另一个基底 【答案】CD 【解析】对于4，当d+l=后-时，a6共线成立，但当a,6同向共线时日+≠a-列 所以d+=日-6是a,6共线的充分不必要条件，故A不正确 对于B,当b=0时，a/b,不存在唯一的实数入，使得a=入b,故B不正确 对于C,由于0P=20A-40B+30C,而2-4+3=1，根据共面向量定理知P,A,B,C四点共面， 第7页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 故C正确 对于D,若{ab,C为空间的一个基底，则ahc不共面， 由基底的定义可知，a+b,b+2c,c+3a不共面， 则{a+b,b+2cc+3a构成空间的另一个基底，故D正确.故选：CD 5.如图，在长方体ABCD-ABCD中，P是线段DB上一点，且BP=2DP,若 AP=xAB+yAD+zAA,x+y+z=() D C B Di 5 A. B. 3 C. D.1 【答案】A 【解析】：BD1=AD1-AB=AA+AD-AB 那-孤+丽=西+号0，=+号+号而-号西+号D+号 3 3 3 3 1 22 5 x=3y=3,2=3小+y+2= 故选：A 3 6.如图，设0A=a,0B=b,0C=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=() 0 B 第8页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ A. 6 a-6-2c C. + 1 a-6b-3 D.- 【答案】A 【解析】连接OM,ON, A 则M=0N-0M=)OA+0B)-0M, OM-OC+CM-OC+CB-OC+(OB-0C)-08+0C. 所以MN-01+0B)-0B-号0c-0A+0B-号0c,故选：A 7.己知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点， 且NM=xAB+yAD+zAP,PM=2MC,PN=ND,则x+y+z的值为() M 2 A.一3 B. 2 C.1 D. 6 【答案】B 【解析】PA⊥平面ABCD,且ABCD为矩形，以AB,AD,AP为空间向量的一个基底，因PM=2MC, PN=ND, NM-AM-AN-24C+AP-(4D+AP)-2(AB+AD)-4D-74P-34B+14D-74P.x 3 3 6 3 6 6 21 NM=xAB+yAD+zAP,由空间向量基本定理知，x 3 1 62=- 2.112 x+y+z= 3663 第9页共14页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 故选：B 8.己知四面体ABCD,DA=a,DB=b,DC=C,点M在棱DA上，DM=3MA,N为BC中点，则 MN=() D A. 3a-16-18 422 B a+6+a 3 4“22 -3a+6+ 3 3 C. 4 3 D. 4 【答案】C 【解析】连接DN,如图所示， D 四面体ABCD中，DA=a,DB=i,DC=C DM=3DA 点M在棱DA上，且DM=3MA,: 4 DN=(DB+DC) 又N为BC中点，， MN=MD+DN=-3D4+-(DB+DC)=-a+b+c -b+ 4 C 故选：C 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=AP=6,AD=2, ∠BAD=∠BAP=∠DAP=60°，E,F分别为PB,PC上的点，且PE=2EB,PF=FC,EF= () 第10页共14页学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 空间向量基本定理 掌握要点 如果空间中的三个向量a,6,C不共面，那么对空间中的任意一个向量卫， 存在唯一的有序实数组(c,y,,使得p=xa十yb十zc: 特别地，当a,6,C不共面时，可知xa十yb十zC=0时，x=y=x=0 本定 空间中三个不共线的向量可以作为基底 证明空间四点共面的方法 空间向量基本定理 对空间四点P,M,A,B来证明四点共面：（①M下=xM+yMB; 基底 (2)对控间任一点0，O丽=OM+xM+MB (③)PM∥AB(载PA∥MB或PB∥A防 (4)M与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+)yOB+zOC,x+y+z=1 cos〈a,6) 6 异面直线的夹角⊙ 采用数量积变形公式 a∥6台6=a 运用 线面平行 线面垂直 )a⊥6台a·6=0 第1页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 2 知识精讲 题型一、 基底的判断 例1.设x=a+6,少=b+c,z=c+a,且{a,b,c是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a,五，，②优，少，，③{拓，c,2},④：，y,a+b+c.其中可以作为空间一个基底的向量 组有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二、用基底表示向量 例2.(1)在三棱锥0-ABC中，AD=DB,CE=2EB,若DE=xOA+yOB+zOC,则(） 62 A、.x=1，少=一1之1 111 B.x= 3 3 111 C.x=- 2 111 9=62=3 D.x=2y=62= (2)已知三棱锥O-ABC中，点M为棱OA的中点，点G为△ABC的重心，设OA=a, 0B=b,OC=c,则向量MG=() 1-,1,1 A.-二a+b+-c B.a-6-c 633 633 C. 1-1,1- 1-11- -b+C 6a-36+39 D.-a+2b-2C 633 (3)如图，在四面体OABC中，G是△ABC的重心，D是OG的中点，则() 0 D。 C B A.0D=0A+0B+L0C B.OD-104+10B+L0C 6 6 6 6 6 第2页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ C.OD-104+108+00 3 3 n.o=oi+o+0c 3 3 题型三、空间向量在几何中运用 例3-1.三棱柱ABC-ABC中，M,N分别是AB,BC上的点，且BM=2AM, CN=2BN.若∠BAC=90°，∠BAA=∠CAA=60°，AB=AC=AA=1,则MN的长为 例3-2.如图，在空间四边形0ABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠0AC-450,∠0AB=600, 则0A与BC所成角的余弦值为() B A. 3-2V2 B. 2-V2 5 6 c D. 5 2 例3-3.如图，已知正方体ABCD-AB'CD',CD'和DC'相交于点O,连接AO,求证 A0⊥CD'. y 第3页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 工con do if SAT 自我总结： 0 基础提分 1.下列能使向量MA,MB,MC成为空间的一个基底的关系式是() A.OM=104+108+00 B.MA=MB+MC C.0M=0A+0B+0C D.MA=2MB-MC 2.0、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底，则下列说法 正确的是() A.OA、OB、OC共线 B.OA、OB共线 C.OB、OC共线 D.O、A、B、C四点共面 3.下列说法正确的是() A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 第4页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中基向量与基底{ef,g}基向量对应相等 4.(多选题)下列命题中，正确的命题有() A.d+=a-是a,b共线的充要条件 B.若a/b则存在唯一的实数入，使得a=入b C.对空间中任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=20A-40B+30C,则P,A,B,C四 点共面 D.若{a,b为空间的一个基底，则{a+b,b+2c,c+3a构成空间的另一个基底 5.如图，在长方体ABCD-ABCD中，P是线段DB上一点，且BP=2DP,若 AP=xAB+yAD+zAA,x+y+z=( C B D A. c D.1 3 6.如图，设0A=a,0B=b,0C=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=() 0 B M 第5页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 1 A. -2 5a+二b- B.- 6 3 6 3 1 C. 1 1 -a- -b- 26° D.- 3 7.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC, PD上的点，且NM=xAB+yAD+zAP,PM=2MC,PN=ND,则x+y+z的值为() B 2 A.一 B.2 C.1 3 3 8.已知四面体ABCD,DA=a,DB=b,DC=c,点M在棱DA上，DM=3MA,N为BC 中点，则MN=() D M A.- 3a-16-1 a- B.3a+5+ 4 4 22 3 C. 1 1 -4a+2+2 D. 3 d- 4 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=AP=6,AD=2, ∠BAD=∠BAP=∠DAP=60°，E,F分别为PB,PC上的点，且PE=2EB,PF=FC, EF=() 第6页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ D B A.1 B.2 C.2 D.√6 10.已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OBOC,M,N分别是OA,BC 的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 11.如图，平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形，且 ∠C,CB=∠C,CD=∠BCD=60°，CD=CC,求证：CA⊥平面C,BD. B1 41 第7页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 12.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4,AD=4,AA=5,∠DAB=60°， ∠BAA=60°，∠DAA=60°，M,N分别为D,C1,CB的中点. (1){a,b,c构成空间的一个基底，用它们表示MN,，AC,设AB=a,AD=b,AA=c. (2)求AC,与MN的夹角. D M A 13.已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图所示），并且 OE=kOA,OF=k0B,Oi=kOD,AC=AD+mAB,EG=Ei+mEF.求证： (1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； (2)ACI∥EG. 第8页共9页 学而思，思而学一一学而不思，则罔；思而不学，则殆！ 0 D C A B H G 第9页共9页