专题09 函数的概念及其表示 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念及其表示09 题型1 函数概念的辨析 8 题型2 判断两个函数是否为同一函数 9 题型3 简单函数的定义域 11 题型4 抽象函数的定义域 13 题型5 由定义域求解函数或参数 14 题型6 函数的值域 15 题型7 函数表示方法的选择与转换 17 题型8 求函数解析式 19 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.函数的概念 函数的概念及其构成要素 判断两个函数是否为同一函数 函数的表示方法 区间 简单函数的定义域 抽象函数的定义域 由定义域求解函数或参数 简单函数的值域 抽象函数的值域 由值域求解函数或参数 2. 函数的表示法 （1）函数的表示方法 解析法表示函数 列表法表示函数 图象法表示函数 （2）函数的图象与图象的变换 画出函数的图象 由函数解析式求解函数图象 由函数图象求解函数或参数 函数图象的简单变换 （3）分段函数的解析式求法及其图象的作法 2 知识储备 函数的概念知识点 01 （1）函数的定义（近代定义） 设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，． 关键限定：①定义域、值域（）均为非空数集；②对应关系的“任意性”（中所有都有对应）和“唯一性”（一个仅对应一个，“一对多”不成立，“多对一”成立）． （2）函数的三要素 函数的本质由定义域、对应关系、值域三个要素决定，三者缺一不可： ①定义域：自变量的取值范围（集合），是函数的“输入范围”，需满足数学限制（如分母不为0、偶次根式被开方数非负）和实际问题意义（如时间、长度为非负数）； ②对应关系：将映射到的规则（如、），是函数的“核心机制”，可用符号表示； ③值域：函数值的取值范围（集合），是函数的“输出范围”，由定义域和对应关系唯一确定（即定义域和对应关系相同，值域必相同）． （3）函数与映射的关系 函数是特殊的映射：当映射中的集合、均为非空数集时，该映射即为函数．二者的区别在于：映射的、可是任意非空集合（如点集、图形集），而函数的、仅限数集． 函数的表示方法知识点 02 函数的表示需直观反映“输入-输出”关系，常用三种方法，各有适用场景： （1）解析法（公式法） 定义：用数学表达式（解析式）表示对应关系，如、； 特点：精确、便于计算和推导（如求函数值、分析单调性）； 注意：①解析式需明确定义域（若未注明，默认使解析式有意义的的集合）；②分段函数是特殊的解析法（用多个解析式表示一个函数）． （2）列表法 定义：用表格列出自变量与对应函数值的对应关系，如一次函数的列表： 1 2 3 ... 2 4 6 ... 特点：直观、便于查找离散数据的函数值； 适用场景：自变量为离散值（如整数、特定点）或实际问题（如工资表、时刻表）． （3）图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标、函数值为纵坐标，描出所有对应的点，形成的图形即为函数图象； 特点：直观、便于分析函数的整体性质（如单调性、最值、对称性）； 作图步骤：①确定定义域；②选取有代表性的值（如端点、零点、对称轴处）计算值；③描点、连线（连续函数用平滑曲线，离散函数用孤立点）． （4）分段函数 定义：在定义域的不同子集上，对应关系用不同解析式表示的函数，如； 核心特征：①定义域是各子集的并集；②图象由多段“局部图象”组成；③本质是一个函数（非多个函数），需满足“任意对应唯一”． 函数定义域的求解知识点 03 定义域是函数的“基础范围”，求解需遵循“数学限制+实际意义”双重原则，常见类型及限制条件如下： （1）基本类型的定义域限制 函数类型 限制条件 示例 分式型（） 分母 ： 偶次根式型（） 被开方数 ： 奇次根式型（） 无限制（实数集） ： 实际问题型 符合实际意义（如时间） 路程函数： （2）复合函数的定义域（初步） 若函数由两个函数复合而成（如，为外层函数，为内层函数），则定义域需满足：①内层函数的定义域；②外层函数的定义域（需在的定义域内）． 函数相等的判断知识点 04 两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应关系相同（值域由前两者唯一确定，无需单独判断），判断步骤如下： 第一步：判断定义域是否相同（若定义域不同，直接不相等）； 第二步：判断对应关系是否相同（对任意，两函数的函数值计算规则一致，与字母符号无关）． 3 技巧总结 1.定义域求解的“分类梳理法” 面对复杂函数（如含分式、根式的混合函数），按“先拆分限制条件，再求交集”的步骤操作： 拆分：将函数拆分为基本类型（如分式、根式），列出每个类型的限制条件； 求解：分别解每个限制条件对应的不等式； 交集：求所有不等式解集的交集，即为函数定义域（注意实际问题需额外结合题意调整）． 例：求的定义域： 拆分限制：①偶次根式：；②分式：； 求解不等式：①；②； 交集：定义域为． 2.分段函数问题的“分段处理法” 分段函数的求值、作图、定义域求解均需“按区间分段处理”： 求值：先判断自变量所属的区间，再代入对应区间的解析式计算； 作图：按区间分别画出对应解析式的图象，注意区间端点的“实心”（包含）与“空心”（不包含）； 定义域/值域：各区间的并集为定义域，各区间函数值的并集为值域． 3.函数相等判断的“两步验证法” 严格遵循“定义域优先，再看对应关系”的顺序，避免因忽略定义域导致错误： 验证定义域：若两函数定义域不同，直接判定不相等； 验证对应关系：取定义域内任意一个，计算两函数的函数值，若均相等，则对应关系相同（或化简解析式，看是否完全一致，需注意化简后的定义域是否与原定义域一致）． 4.函数图象绘制的“关键点点法” 对于连续函数，无需描出所有点，只需选取“关键点点”（影响图象形状的点）： 定义域端点：确定图象的左右边界； 零点：的解（图象与轴交点）； 最值点：如二次函数的顶点（处）； 特殊点：（与轴交点）、等易计算的点． 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.函数的实际应用建模 将实际问题转化为函数模型，步骤为： 设变量：确定自变量（如“产量”“时间”）和因变量（如“成本”“路程”）； 找关系：根据题意建立自变量与因变量的对应关系（解析式、表格或图象）； 定定义域：结合实际意义确定自变量的取值范围（如“人数为正整数”“时间非负”）； 解问题：利用函数模型解决实际需求（如求最值、预测值）． 常见模型：一次函数模型（如匀速运动）、二次函数模型（如利润函数）． 2.函数的表示方法拓展 箭头图法：用箭头连接定义域中的与值域中的，直观展示对应关系（适用于定义域为有限集的函数）； 参数方程法：通过参数间接表示与的关系，如（消去参数可得），适用于曲线型函数（如椭圆、抛物线）． 3.函数概念的历史演变 传统定义（变量说）：17世纪，笛卡尔提出“变量间的依赖关系”，如“一个变量随另一个变量的变化而变化”； 近代定义（对应说）：19世纪，康托尔提出“集合间的对应关系”，明确“非空数集”和“唯一确定”，更严谨（避免“变化”的模糊性）； 现代定义（关系说）：用“有序数对的集合”定义函数，进一步抽象，但高中阶段以“对应说”为主． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 函数概念的辨析 【典例1】　（2024秋•白云区月考）下列图象中，不能作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义确定正确答案． 【解答】解：对于函数y＝f（x），任意一个x，有唯一确定的y对应，所以C选项不能作为函数图象． 故选：C． 【典例2】　（2023秋•沙坪坝区月考）下列对应关系是从A到B的函数的是（　　） A．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 B．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x| C．A＝Z，B＝Z， D．A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{1}，f：x→y＝1 【答案】AD 【分析】根据函数定义进行判断即可． 【解答】解：根据函数定义，集合A中的每一个元素，对应集合B中唯一元素． 对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于B，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误； 对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝1，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确； 故选：AD． 【典例3】　（2024秋•宣城期中）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A可能为（　　） A．{﹣1，2} B．{﹣2} C．{﹣2，2} D．{2} 【答案】BCD 【分析】由题意可得|x|＝2，解出x的值，即得答案． 【解答】解：因为f：x→|x|是集合A到集合B的函数，集合B＝{2}， 令|x|＝2， 解得x＝2或x＝﹣2， 所以A＝{﹣2，2} 或A＝{2}或A＝{﹣2}． 故选：BCD． 题型2 判断两个函数是否为同一函数 【典例4】　（2024秋•和平区月考）下列选项中，表示的是同一函数的是（　　） A． B．f（x）＝x2，g（x）＝（x﹣1）2 C．f D．f（x），g（t）＝|t| 【答案】D 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可． 【解答】解：对于A，函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为[0，+∞），它们定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数f（x）与g（x）的对应关系不同，它们不是同一函数，故B错误； 对于C，函数f（x）的定义域为（1，+∞），函数g（x）的定义域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），它们定义域不同，它们不是同一函数，故C错误； 对于D，显然f（x）＝|x|，因为函数是两个非空数集之间的对应关系，所以与用什么字母表示自变量，用什么字母表示因变量没有关系， 故函数f（x）与g（x）是同一函数，故D正确． 故选：D． 【典例5】　（2023秋•凉山州期末）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A．f（x）＝|x|与 B．f（x）＝|x|与 C．与g（x）＝cos（x+π） D．与 【答案】BC 【分析】对于A：化简g（x）即可判断；对于B：根据函数相等分析判断；对于C：根据函数相等结合诱导公式分析判断；对于D：举反例说明即可． 【解答】解：因为f（x）＝|x|，， 可知两个函数的对应关系不相同，所以函数不相等，故A错误； 因为f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）， 可知两个函数的对应关系和定义域均相同，所以函数相等，故B正确； 因为f（x），g（x）的定义域均为R， 且，g（x）＝cos（x+π）＝﹣cosx， 可知两个函数的对应关系和定义域均相同，所以函数相等，故C正确； 因为， 所以两个函数的对应关系不相同，所以函数不相等，故D错误． 故选：BC． 【典例6】　（2024秋•河北期中）下列函数为同一函数的是（　　） A．f（x）＝x0与g（x）＝1 B．f（x）＝|x|与 C．与 D．与 【答案】BCD 【分析】当定义域和对应法则均相同时，两函数为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案． 【解答】解：f（x）＝x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， g（x）＝1的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，A错误； B选项，f（x）＝|x|，，两函数为同一函数，B正确； C选项，中，令，解得﹣1≤x≤1， 中，令1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1， 故两函数定义域相同，又，故两函数为同一函数，C正确； D选项，当f（x）＜g（x）时，， 当f（x）≥g（x）时，， 故，故两函数为同一函数，D正确． 故选：BCD． 题型3 简单函数的定义域 【典例7】　（2024秋•娄底期末）函数的定义域为 　{x|x≤4且x≠﹣3}　 ． 【答案】{x|x≤4且x≠﹣3}． 【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解． 【解答】解：函数， 则，解得x≤4且x≠﹣3， 故函数f（x）的定义域为{x|x≤4且x≠﹣3}． 故答案为：{x|x≤4且x≠﹣3}． 【典例8】　（2024秋•新吴区期中）函数的定义域为（　　） A．（2，5） B．[2，5） C．（2，5）∪（5，+∞） D．[2，5）∪（5，+∞） 【答案】D 【分析】根据根式、分式的性质列不等式组求定义域． 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≥2且x≠5， 即函数的定义域为[2，5）∪（5，+∞）． 故选：D． 【典例9】　（2024秋•淮安月考）函数f（x）的定义域为　[1，+∞）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据使函数f（x）的解析式有意义的原则，构造不等式，解得函数f（x）的定义域． 【解答】解：要使函数f（x）的解析式有意义， 自变量x须满足：， 解得：x∈[1，+∞）， 故函数f（x）的定义域为：[1，+∞）， 故答案为：[1，+∞） 题型4 抽象函数的定义域 【典例10】　（2025春•廊坊期中）若函数f（x）的定义域是[﹣3，7]，则函数f（2x﹣1）的定义域是（　　） A．[﹣7，13] B．[﹣5，15] C．[﹣1，4] D．[﹣2，3] 【答案】C 【分析】由﹣3≤2x﹣1≤7，即可求解． 【解答】解：函数f（x）的定义域是[﹣3，7]， 令﹣3≤2x﹣1≤7，解得﹣1≤x≤4， 故所求定义域是[﹣1，4]． 故选：C． 【典例11】　（2025春•牡丹江期末）若函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数的定义域为（　　） A．（1，16） B．（1，16] C．（1，4） D．（1，4] 【答案】D 【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得． 【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，8]，函数有意义，等价于，解得1＜x≤4， 故函数g（x）的定义域为（1，4]． 故选：D． 【典例12】　（2025春•高新区月考）已知函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，则y＝f（1﹣3x）的定义域为（　　） A．[，0] B．[，3] C．[0，1] D．[，1] 【答案】C 【分析】由已知结合函数定义域的定义可求． 【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]， 所以﹣2≤x﹣1≤1， 则y＝f（1﹣3x）中，﹣2≤1﹣3x≤1， 解得0≤x≤1， 故y＝f（1﹣3x）的定义域为[0，1]． 故选：C． 题型5 由定义域求解函数或参数 【典例13】　（2024秋•资阳期末）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 【答案】C 【分析】问题转化为mx2﹣mx+2≥0对任意x∈R恒成立，再对m分类求解得答案． 【解答】解：若函数的定义域为R，则mx2﹣mx+2≥0对任意x∈R恒成立， 当m＝0时，显然成立； 当m≠0时，有，解得0＜m≤8． 综上所述，实数m的取值范围是[0，8]． 故选：C． 【典例14】　（2025春•牡丹江期末）若函数的定义域为R，则实数m取值范围是　[0，8）　 ． 【答案】[0，8）． 【分析】根据题意知2mx2﹣mx+1＞0恒成立，再求解即可． 【解答】解：函数f（x）的定义域为R，则t＝2mx2﹣mx+1＞0恒成立， 当m＜0时，t＝2mx2﹣mx+1的图象开口向下，不满足题意； 当m＝0时，t＝1＞0恒成立，满足题意； 当m＞0时，Δ＝m2﹣8m＜0，解得0＜m＜8． 综上所述，实数m取值范围是[0，8）． 故答案为：[0，8）． 【典例15】　（2024秋•任城区月考）“函数的定义域为R”是“a＜4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数定义域为R，即ax2﹣ax+1≠0对任意x∈R恒成立，对a进行分类讨论分别验证a＝0，a≠0不等式成立的情况，从而可得a的范围，根据充分必要条件判断即可． 【解答】解：因为函数的定义域为R， 所以ax2﹣ax+1≠0恒成立， ①当a＝0时，1≠0恒成立； ②当a≠0时，只需Δ＝a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4， 所以0≤a＜4． 记集合A＝（﹣∞，4），B＝[0，4）． 因为B⫋A， 所以函数的定义域为R是a＜4的充分不必要条件． 故选：A． 题型6 函数的值域 【典例16】　（2024秋•大理州期末）函数的值域为　　 ． 【答案】． 【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域． 【解答】解：令，则x＝t2+1， 可得：y＝t﹣（t2+1）＝﹣t2+t﹣1（t≥0）， ∴当时，函数y＝﹣t2+t﹣1取到最大值， 即函数f（x）的最大值为，故函数f（x）的值域为． 故答案为：． 【典例17】　（2024秋•正定县期中）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】C 【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的性质即可求解． 【解答】解：因为y（1）． 故选：C． 【典例18】　（2023秋•杨浦区期中）当x＜0时，函数f（x）的值域为 　（﹣∞，﹣2]　 ． 【答案】（﹣∞，﹣2]． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：当x＜0时，函数f（x）x[（﹣x）+（）]2， 当且仅当x，即x＝﹣1时取等号． 故答案为：（﹣∞，﹣2]． 题型7 函数表示方法的选择与转换 【典例19】　（2024秋•包头期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义可得函数的图象． 【解答】解：由函数的定义可得离家的距离由时间的变化函数先增再不变再减，再不变，最后再递增， 只有D符合． 故选：D． 【典例20】　（2024秋•重庆期末）2024年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）重庆的温度走势． 下列说法错误的是（　　） A．11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低 B．11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为2℃，最高气温为12℃ C．根据图象，这一天12时所对应的温度为10℃ D．根据图象，这一天21时所对应的温度为6℃ 【答案】C 【分析】根据折线图中信息逐项判断即可． 【解答】解：根据折线图可得，11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低，故A正确； 11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为2℃，最高气温为12℃，故B正确； 根据图象，这一天11时所对应的温度为8℃，14时所对应的温度为12℃， 所以12时所对应的温度大约为9.33℃，故C错误； 根据图象，这一天20时所对应的温度为7℃，23时所对应的温度为4℃， 所以21时所对应的温度大约为6℃，故D正确． 故选：C． 【典例21】　（2024秋•柳州期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（　　） A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在5h时电量为0 C．该手机在0h∼3h内电量下降的速度比3h∼5h内下降的速度更快 D．该手机在5h∼6h进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】根据函数图像的意义逐一分析每个选项即可． 【解答】解：对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示， A选项，充电结束时，由图像可知，电量是85%，A选项正确； B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为30%，B选项错误； C选项，由图像，0h∼3h内电量下降的速度平均为， 3h∼5h内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于5h∼6h期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确． 故选：ACD． 题型8 求函数解析式 【典例22】　（2024秋•平和县期末）若函数f（x）满足f（x﹣1）＝x2﹣1，则f（x）的解析式为（　　） A．f（x）＝﹣x2﹣2x B．f（x）＝﹣x2+2x C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2﹣2x 【答案】C 【分析】利用换元法求解析式即可． 【解答】解：f（x﹣1）＝x2﹣1，∴令x﹣1＝t，x＝t+1， f（t）＝（t+1）2﹣1＝t2+2t，因此f（x）＝x2+2x． 故选：C． 【典例23】　（2025春•莲池区期中）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x，且f（1）＝2，则f（x）的解析式是（　　） A．f（x）＝x2﹣x+2 B．f（x）＝x2+x+2 C．f（x）＝x2﹣x+1 D．f（x）＝x2+x+1 【答案】A 【分析】设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法解得即可． 【解答】解：已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x，且f（1）＝2， 设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）＝a（x+1）2+b（x+1）+c， 由f（x+1）＝f（x）+2x，得a（x+1）2+b（x+1）+c＝ax2+bx+c+2x， 化简得（2a+b）x+a+b＝（b+2）x， ∴，解得 ， 由f（1）＝2，得c＝2， 故f（x）＝x2﹣x+2． 故选：A． 【典例24】　（2025春•立山区期末）已知，则f（x）＝（　　） A．x2+2 B．x2﹣2 C． D．x2+2（|x|≥2） 【答案】D 【分析】利用换元法设，|t|≥2，即可求解． 【解答】解：设，当x＞0时，t≥2，当x＜0时，t≤﹣2，所以|t|≥2， 由）2+2，得f（t）＝t2+2，|t|≥2， 所以f（x）＝x2+2，|x|≥2． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念及其表示09 题型1 函数概念的辨析 8 题型2 判断两个函数是否为同一函数 8 题型3 简单函数的定义域 9 题型4 抽象函数的定义域 9 题型5 由定义域求解函数或参数 10 题型6 函数的值域 11 题型7 函数表示方法的选择与转换 11 题型8 求函数解析式 12 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.函数的概念 函数的概念及其构成要素 判断两个函数是否为同一函数 函数的表示方法 区间 简单函数的定义域 抽象函数的定义域 由定义域求解函数或参数 简单函数的值域 抽象函数的值域 由值域求解函数或参数 2. 函数的表示法 （1）函数的表示方法 解析法表示函数 列表法表示函数 图象法表示函数 （2）函数的图象与图象的变换 画出函数的图象 由函数解析式求解函数图象 由函数图象求解函数或参数 函数图象的简单变换 （3）分段函数的解析式求法及其图象的作法 2 知识储备 函数的概念知识点 01 （1）函数的定义（近代定义） 设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，． 关键限定：①定义域、值域（）均为非空数集；②对应关系的“任意性”（中所有都有对应）和“唯一性”（一个仅对应一个，“一对多”不成立，“多对一”成立）． （2）函数的三要素 函数的本质由定义域、对应关系、值域三个要素决定，三者缺一不可： ①定义域：自变量的取值范围（集合），是函数的“输入范围”，需满足数学限制（如分母不为0、偶次根式被开方数非负）和实际问题意义（如时间、长度为非负数）； ②对应关系：将映射到的规则（如、），是函数的“核心机制”，可用符号表示； ③值域：函数值的取值范围（集合），是函数的“输出范围”，由定义域和对应关系唯一确定（即定义域和对应关系相同，值域必相同）． （3）函数与映射的关系 函数是特殊的映射：当映射中的集合、均为非空数集时，该映射即为函数．二者的区别在于：映射的、可是任意非空集合（如点集、图形集），而函数的、仅限数集． 函数的表示方法知识点 02 函数的表示需直观反映“输入-输出”关系，常用三种方法，各有适用场景： （1）解析法（公式法） 定义：用数学表达式（解析式）表示对应关系，如、； 特点：精确、便于计算和推导（如求函数值、分析单调性）； 注意：①解析式需明确定义域（若未注明，默认使解析式有意义的的集合）；②分段函数是特殊的解析法（用多个解析式表示一个函数）． （2）列表法 定义：用表格列出自变量与对应函数值的对应关系，如一次函数的列表： 1 2 3 ... 2 4 6 ... 特点：直观、便于查找离散数据的函数值； 适用场景：自变量为离散值（如整数、特定点）或实际问题（如工资表、时刻表）． （3）图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标、函数值为纵坐标，描出所有对应的点，形成的图形即为函数图象； 特点：直观、便于分析函数的整体性质（如单调性、最值、对称性）； 作图步骤：①确定定义域；②选取有代表性的值（如端点、零点、对称轴处）计算值；③描点、连线（连续函数用平滑曲线，离散函数用孤立点）． （4）分段函数 定义：在定义域的不同子集上，对应关系用不同解析式表示的函数，如； 核心特征：①定义域是各子集的并集；②图象由多段“局部图象”组成；③本质是一个函数（非多个函数），需满足“任意对应唯一”． 函数定义域的求解知识点 03 定义域是函数的“基础范围”，求解需遵循“数学限制+实际意义”双重原则，常见类型及限制条件如下： （1）基本类型的定义域限制 函数类型 限制条件 示例 分式型（） 分母 ： 偶次根式型（） 被开方数 ： 奇次根式型（） 无限制（实数集） ： 实际问题型 符合实际意义（如时间） 路程函数： （2）复合函数的定义域（初步） 若函数由两个函数复合而成（如，为外层函数，为内层函数），则定义域需满足：①内层函数的定义域；②外层函数的定义域（需在的定义域内）． 函数相等的判断知识点 04 两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应关系相同（值域由前两者唯一确定，无需单独判断），判断步骤如下： 第一步：判断定义域是否相同（若定义域不同，直接不相等）； 第二步：判断对应关系是否相同（对任意，两函数的函数值计算规则一致，与字母符号无关）． 3 技巧总结 1.定义域求解的“分类梳理法” 面对复杂函数（如含分式、根式的混合函数），按“先拆分限制条件，再求交集”的步骤操作： 拆分：将函数拆分为基本类型（如分式、根式），列出每个类型的限制条件； 求解：分别解每个限制条件对应的不等式； 交集：求所有不等式解集的交集，即为函数定义域（注意实际问题需额外结合题意调整）． 例：求的定义域： 拆分限制：①偶次根式：；②分式：； 求解不等式：①；②； 交集：定义域为． 2.分段函数问题的“分段处理法” 分段函数的求值、作图、定义域求解均需“按区间分段处理”： 求值：先判断自变量所属的区间，再代入对应区间的解析式计算； 作图：按区间分别画出对应解析式的图象，注意区间端点的“实心”（包含）与“空心”（不包含）； 定义域/值域：各区间的并集为定义域，各区间函数值的并集为值域． 3.函数相等判断的“两步验证法” 严格遵循“定义域优先，再看对应关系”的顺序，避免因忽略定义域导致错误： 验证定义域：若两函数定义域不同，直接判定不相等； 验证对应关系：取定义域内任意一个，计算两函数的函数值，若均相等，则对应关系相同（或化简解析式，看是否完全一致，需注意化简后的定义域是否与原定义域一致）． 4.函数图象绘制的“关键点点法” 对于连续函数，无需描出所有点，只需选取“关键点点”（影响图象形状的点）： 定义域端点：确定图象的左右边界； 零点：的解（图象与轴交点）； 最值点：如二次函数的顶点（处）； 特殊点：（与轴交点）、等易计算的点． 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.函数的实际应用建模 将实际问题转化为函数模型，步骤为： 设变量：确定自变量（如“产量”“时间”）和因变量（如“成本”“路程”）； 找关系：根据题意建立自变量与因变量的对应关系（解析式、表格或图象）； 定定义域：结合实际意义确定自变量的取值范围（如“人数为正整数”“时间非负”）； 解问题：利用函数模型解决实际需求（如求最值、预测值）． 常见模型：一次函数模型（如匀速运动）、二次函数模型（如利润函数）． 2.函数的表示方法拓展 箭头图法：用箭头连接定义域中的与值域中的，直观展示对应关系（适用于定义域为有限集的函数）； 参数方程法：通过参数间接表示与的关系，如（消去参数可得），适用于曲线型函数（如椭圆、抛物线）． 3.函数概念的历史演变 传统定义（变量说）：17世纪，笛卡尔提出“变量间的依赖关系”，如“一个变量随另一个变量的变化而变化”； 近代定义（对应说）：19世纪，康托尔提出“集合间的对应关系”，明确“非空数集”和“唯一确定”，更严谨（避免“变化”的模糊性）； 现代定义（关系说）：用“有序数对的集合”定义函数，进一步抽象，但高中阶段以“对应说”为主． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 函数概念的辨析 【典例1】　（2024秋•白云区月考）下列图象中，不能作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】　（2023秋•沙坪坝区月考）下列对应关系是从A到B的函数的是（　　） A．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 B．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x| C．A＝Z，B＝Z， D．A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{1}，f：x→y＝1 【典例3】　（2024秋•宣城期中）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A可能为（　　） A．{﹣1，2} B．{﹣2} C．{﹣2，2} D．{2} 题型2 判断两个函数是否为同一函数 【典例4】　（2024秋•和平区月考）下列选项中，表示的是同一函数的是（　　） A． B．f（x）＝x2，g（x）＝（x﹣1）2 C．f D．f（x），g（t）＝|t| 【典例5】　（2023秋•凉山州期末）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A．f（x）＝|x|与 B．f（x）＝|x|与 C．与g（x）＝cos（x+π） D．与 【典例6】　（2024秋•河北期中）下列函数为同一函数的是（　　） A．f（x）＝x0与g（x）＝1 B．f（x）＝|x|与 C．与 D．与 题型3 简单函数的定义域 【典例7】　（2024秋•娄底期末）函数的定义域为 　　 ． 【典例8】　（2024秋•新吴区期中）函数的定义域为（　　） A．（2，5） B．[2，5） C．（2，5）∪（5，+∞） D．[2，5）∪（5，+∞） 【典例9】　（2024秋•淮安月考）函数f（x）的定义域为　 　 ． 题型4 抽象函数的定义域 【典例10】　（2025春•廊坊期中）若函数f（x）的定义域是[﹣3，7]，则函数f（2x﹣1）的定义域是（　　） A．[﹣7，13] B．[﹣5，15] C．[﹣1，4] D．[﹣2，3] 【典例11】　（2025春•牡丹江期末）若函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数的定义域为（　　） A．（1，16） B．（1，16] C．（1，4） D．（1，4] 【典例12】　（2025春•高新区月考）已知函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，则y＝f（1﹣3x）的定义域为（　　） A．[，0] B．[，3] C．[0，1] D．[，1] 题型5 由定义域求解函数或参数 【典例13】　（2024秋•资阳期末）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 【典例14】　（2025春•牡丹江期末）若函数的定义域为R，则实数m取值范围是　 　 ． 【典例15】　（2024秋•任城区月考）“函数的定义域为R”是“a＜4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6 函数的值域 【典例16】　（2024秋•大理州期末）函数的值域为　　 ． 【典例17】　（2024秋•正定县期中）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【典例18】　（2023秋•杨浦区期中）当x＜0时，函数f（x）的值域为 　 ． 题型7 函数表示方法的选择与转换 【典例19】　（2024秋•包头期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（　　） A． B． C． D． 【典例20】　（2024秋•重庆期末）2024年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）重庆的温度走势． 下列说法错误的是（　　） A．11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低 B．11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为2℃，最高气温为12℃ C．根据图象，这一天12时所对应的温度为10℃ D．根据图象，这一天21时所对应的温度为6℃ 【典例21】　（2024秋•柳州期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（　　） A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在5h时电量为0 C．该手机在0h∼3h内电量下降的速度比3h∼5h内下降的速度更快 D．该手机在5h∼6h进行了充电操作 题型8 求函数解析式 【典例22】　（2024秋•平和县期末）若函数f（x）满足f（x﹣1）＝x2﹣1，则f（x）的解析式为（　　） A．f（x）＝﹣x2﹣2x B．f（x）＝﹣x2+2x C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2﹣2x 【典例23】　（2025春•莲池区期中）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x，且f（1）＝2，则f（x）的解析式是（　　） A．f（x）＝x2﹣x+2 B．f（x）＝x2+x+2 C．f（x）＝x2﹣x+1 D．f（x）＝x2+x+1 【典例24】　（2025春•立山区期末）已知，则f（x）＝（　　） A．x2+2 B．x2﹣2 C． D．x2+2（|x|≥2） 学科网（北京）股份有限公司 $