第一章 特殊平行四边形单元练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形单元练习 一、选择题 1.在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,添加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是() A.AC=BD B.AB=AC C.∠A=∠B D.AC⊥BD 2.菱形ABCD中，若对角线AC=8cm,BD=6Cm,则菱形ABCD的周长是() A.10 B.20 C.30 D.40 3.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形， 他想出了以下几种方案，其中合理的是() A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量其中的三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为2,0)边长为2，若直线 y=-x+b与正方形ABCD有交点，则b的取值范围是() A.2≤b≤4 B.3≤b≤5 C.4≤b≤6 D.2≤b≤6 5.下列命题中：真命题的个数是（) ①两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形： ②菱形的一条对角线平分一组对角： ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形： ④两条对角线互相平分的四边形是矩形： ⑤平行四边形对角线相等。 1/12 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，四边形ABCD是正方形，将AB绕点A顺时针旋转20°得AB,连接DB,则∠ABD的角度为 B B A.80o B.70° C.65° D.55° 7.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是（) D B A号 B.6 c.兽 D.12 8.某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MQ,WO恰好互相垂直，小径MN的中点P 与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km,则P,O两点间距离为() A.0.5km B.0.75km C.1km D.2km 9.如图，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为() B 150 A.30° B.600 C.120° D.150° 10.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P 的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为 2/12 】 B 2 D 图1 图2 A.2 B.3 c.5 D.22 二、填空题 11.如图，菱形ABCD的面积为10，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD的中点，则四边形 EFGH的面积为 12,如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点，若0E=6,则CD的长 为 13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=3,BC=4:点D是AB边上的动点，过点D作边 AC,BC的垂线，垂足分别为E,F.连接EF,则EF的最小值为 E D B 14.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE,则∠BED的度数为 A E 15.如图，点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边三角形，连接BD~DE,则∠BDE= 3/12 E B 三、证明题 16.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过点A作AE//BC,使AE=BD,连接BE. 求证：四边形AEBD是矩形 17,正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D 逆时针旋转90·，得到△DCM. M (1)求证：EF=FM: (2)当AE=1时，求EF的长. 18.如图，在四边形ABCD中，AB/CD,AB=CD.过点D分别作DF⊥AB于点F,DE⊥BC于 点E,且DE=DF.求证：四边形ABCD是菱形. D 19.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=4,将对角线AC绕点A逆时针旋转90·得AF,作 FE⊥AD交AD于点E. 4/12 9 (1)证明：△ABC兰△AEF; (2)连接DF,求DF的长， 20.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠ABC的平分线交AD于点E(尺规作图的痕迹保 留在图中了)，连接EF (1)求证：四边形ABFE为菱形； (2)BE,AF相交于点0，若AF=12,AB=10,求BE的长。 21.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNIBC,设MN交∠BCA的外 角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E. M (1)试说明E0=0F; (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论： (3)在(2)的条件下猜想△ABC满足什么条件能使四边形AECF是正方形，并证明你的结论， 22.问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个 全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFB,其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D·将 △ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B).当∠ABE=∠A时，延 长DE交AC于点G: 5/12 D G B B B 图1 图2 图3 图4 (1)数学思考：四边形BCGE的形状是 (2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让 同学们提出新的问题. ①善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BBE,交BE的延长线于点 M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明； ②智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，AB交DE于点M,若BC=9,AC=12, 求AM的长 6/12 答案解析部分 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】A 9.【答案】A 10.【答案】C 11.【答案】5 12.【答案】12 13.【答案】2.4 14.【答案】45° 15.【答案】30 16.【答案】证明：“AE//BC,AE=BD ∴.四边形AEBD是平行四边形 :AB=AC,D是BC的中点 ∴.ADLBC .四边形AEBD是矩形 17.【答案】(1)解：，四边形ABCD是正方形， ∴·AB=BC=CD=AD=3,∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°， 由旋转知，DE=DM,∠EDM=90°， ∴·∠EDF+∠FDM=90o· ∠EDF=45°， .∠FDM=∠EDF=45°. :∠DCM=∠DAE=90°， ·∠DCM+∠DCB=180°· .F、C、M三点在同一条直线上 7/12 DF=DF .△DEF兰△DMF(SAS)· ∴·EF=MF (2)解：设EF=x: .AE=CM=1, .BF=BC+CM-MF=4-x,EB=2. 在Rt△EBF中， 由勾股定理得EB2+BF2=EF2, 即2+(4-x2=x2 解得，x=: 小EF= 18.【答案】证明：在四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD .四边形ABCD是平行四边形， ∴.S四边形ABCD-BC.DE=AB.DF, .DE=DF. ∴.BC=AB, ∴.四边形ABCD是菱形 19.【答案】(1)证明：：四边形ABCD为矩形， ∠B=∠BAD=90°， ·∠BAC+∠CAD=90°， :AC绕点A逆时针旋转90·得AF, ·AC=AF,∠CAF=90o, ·∠EAF+∠CAD=90°， ·∠BAC=∠EAF, :FE⊥AD, .∠AEF=90°， ·∠B=∠AEF, 在△ABC和△AEF中， 8/12 I∠BAC=∠EAF ∠B=∠AEF AC-AF ·△ABC≌△AEF(AAS) (2)解：：四边形ABCD为矩形，如图， B ·AD=BC=4, :△ABC≌△AEF, ·AB=AE=3,BC=EF=4, ·DE=AD-AE=4-3=1, :FE⊥AD, ÷∠DEF=90°， 在Rt△DEF中，根据勾股定理得： DF=VEF2+DE2=V42+12=V17· 20.【答案】(1)证明：由尺规作∠ABF的角平分线的过程可得AB=BF∠ABE=∠FBE,:四边形 ABCD是平行四边形 ·AD‖BC ·∠EBF=∠AEB ·∠ABE=∠AEB ·AB=AE ∴·AE=BF ∴.四边形ABFE为平行四边形 .AB=BF .四边形ABFE为菱形 (2)解：：四边形ABFE为菱形 AF⊥BE,A0=0F=AP=6'0B=吉BE 9/12 ∠A0B=90 在Rt△A0B中，由勾股定理得：0B=√AB2-A02=V102-62=8' ∴.BE=20B=16 答：BE的长为16. 21.【答案】(1)证明：：MN‖BC ·∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠FCD :CE平分∠ACB,CF平分∠ACD ·∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠FCD ·∠OEC=∠ACE,∠OFC=∠ACF ·E0=0C,0C=0F .E0=0F (2)解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下： :点O是AC中点 :0A=0C 由(1)可知，0E=0C=0F ÷四边形AECF是平行四边形，且OA=OE=OC=OF ·EF=AC :四边形AECF是矩形 (3)解：△ABC是直角三角形，且∠ACB=90·时，能使四边形AECF是正方形，证明如下： 由(2)可知，当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， ÷∠AEC=90o :∠ACB=90° ·∠ACE=∠BCE=45o :△ACE是等腰直角三角形 :AE-=CE :四边形AECF是正方形 22.【答案】(1)正方形： (2)解：①AM=BE,证明如下： '∠ABE=∠BAC, ∴.AN=BN 10/12