安徽省大联考2025-2026学年高二上学期10月调研考试数学试题

高二年级十月调研考试 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案C 命题透析本题考查空间向量的基本运算， 解析依题意，A店+B'C+CC=A成+B配+CC=AC 2.答案C 命题透析本题考查直线的方向向量和倾斜角， 解析依题意可知，直线！的斜率：=-3，所以直线1的倾斜角为 3.答案D 命题透析本题考查平均数的计算. 解析数据，…，6的平均数为g（2×3+5×10)=7 4.答案B 命题透析本题考查空间向量的线性运算和数量积运算. 解析由题意知AB,Ad,M两两互相垂直，故a·b=a·c=b·c=0,又1b1=1,所以(a+b)·(b-c)=a· b-a·c+b2-b·c=1. 5.答案D 命题透析本题考查相互独立事件的概率计算， 解析至少有一人投中的概率为1-（1-号)(1-2）=。 6.答案D 命题透析本题考查空间向量基本定理和基本运算， 解析因为花=+？(M官+D)=2店+市+，=A花+京=店+和+？记+2成= 破++，所以+-店+弓d+多，即x=1,y=:=弓所以x+y+=4 7.答案B 命题透析本题考查空间向量的应用. 解析取AC的中点0，以0为坐标原点，O2,OC的方向分别为x,y轴正方向，竖直向上的方向为z轴正方向， 建立空间直角坐标系.设A4,=h(h>0),则A(0,-1,0),B(3,0,0),B,(3,0,h),C,(0,1,h),所以AB,= (3,1,h),BC=(-3,1,h),所以AB·BC=-3+1+2=0,得h=2.易得平面BCC,B,的一个法向量为 一1 n=(1,3,0),设直线AB,与平面BCC,B,所成的角为0，则sin0= IAB,·nl-25-2 1AB1·1nl√6×22 8.答案A 命题透析本题考查直线的方程、两直线的位置关系. 解析因为两条直线平行，所以B=51,所以+B+C=术+，51+C≥+5A=(A+-子，当A: -时，上式取得最小值-子，即当A=-受，B=-弓，C=0时，+B+心取得最小值，为-} 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查直线的方程与两直线的位置关系. 解析对于A,两条直线的一般式系数满足a×1+1×(-a)=0,所以l1⊥l2,故A正确； 对于B,l1过定点(-2,0)，2过定点(2,0)，故B错误： 对于C,若a=1,则1：y=-x-2,l2:y=x-2,所以1，与l2关于y轴对称，故C正确； 2-2a2 「ax+y+2a=0, [x= a2+1 对于D,联立方程组得 解得 所以IOM1=」 2-2+16d_2+2a=2,为定 x-ay-2=0, 4a (a2+1)2 a2+1 y=- a2+1 值，故D正确 10.答案AD 命题透析本题考查解三角形. 解析对于A,因为C-侣所以C=V个-C-3语放A正确： 对于B,由A可知7×35+3v5sA=0,所以csA=-) 14 又Ae(0,m),所以A=故B错误： 对于C,由正弦定理可得 Ac整理得e=弓a,又因为a+c=10.所以a=7,c=3.6=asC+6sA 3 7×异+3×()=5，故c错误： 对于D,S△Bc= 号x5×3×号-15故D正晚 2 11.答案ABC 命题透析本题考查新情境下空间向量的应用问题， 解析对于A,根据定义，少2-241=2×1-（-4)×1=6，x,-2x1=（-4)×3-1×1=-13,x2-xy1= 1×1-2×3=-5,即a×b=(6,-13,-5),故A正确； 对于B.a,b都是非零向量，不妨设0，若a×b=0,由名-⅓=0得归=子，由-=0得= —2 所以h=()-())-，所以a/6,放B正确： 对于C,(a×b)·a=y12-x2+2名-x1出+1y2ǎ1-x2出=0，同理有(a×b)·b=0,因为a,b不共 线，由选项B知a×b不是零向量，则a×b可以是平面α的法向量，故C正确： 对于D,1a11b1sin0=√1al2·1b12sin20=√/1a2·1b12-1a121b12cos28= √(x+斤+)（号+号+）-(x2+y3+a2)2=√(y-)2+(a-x)2+(x-x)尸=1a×b1, 若1a×b1=1a·b1,则sin0=1cs01,0=牙或买，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案2 命题透析本题考查复数的基本概念与运算， 解析x=2i-i2-1=2i,所以1zl=2. 13.答案5 命题透析本题考查直线的方程、点到直线的距离公式， 解析点C到线B的距离1+发-又B2-=22,故S成号4·M1=分 5×22=5. 14.答案4 命题透析本题考查直线的方程与性质. 解析方程可改写为(x-I)sina-ycos a+2=0,无论x取何值，该直线系中的直线到点(1,0)的距离d= 1(1-1)sima+0·cosa+21=2,为定值，因为1，∥儿2，所以1，2之间的距离为4. √sin&+cos2a 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.命题透析本题考查直线的方程、直线的倾斜角和斜率. 解折(=子号=行， …(2分）】 因为（与直线AB垂直，所以k=-7,…… (4分) 所以l的方程为y=-7x+1.…(6分) （2)依题意如=子。1，k如=是。 -2-1 =-1,…(8分） 若l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围是(-∞，-1]U[1,+∞)，…(10分)》 故倾斜角的取值范围是[平，引 (13分) 16.命题透析本题考查直线的方程、两直线的位置关系以及对称问题. 解析(1)因为点B在x轴的负半轴上，所以设直线AB的方程为生+X=1(a<0),…(2分) aa 将点A的坐标代入，得2+二4=1，解得a=-2,…(4分) —3— 所以直线AB的方程为x+y+2=0.…(6分)》 (2)设点C关于直线AB对称的点为C(x,y), 则ICP+IDP|=|CP+DP|≥|C'D川，故只需求出|CD|即可.…(9分) 由(1)知直线AB的方程为x+y+2=0,其斜率为-1， x 「t=-3, 则 解得 即C'(-3,-3).…(12分) 号号2=0 y=-3, 2 所以1C'D1=/(3+3)2+(5+3)2=10, 所以|CP引+|DP川的最小值为10.…（15分) 17.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用. 解析(1)如图，取AD的中点O,连接PO,B0,BD 因为底面ABCD是菱形，LABC-?,所以△MBD是正三角形，所以BO1AD 又△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.… (2分) 因为B0∩P0=O,所以AD⊥平面PB0,… (4分) 又PBC平面PBO,所以PB⊥AD.… …(5分) ,0 (2)由平面PAD⊥底面ABCD,可得OB,AD,0P两两互相垂直，以O为坐标原点，O品，OA,O的方向分别为x, y,之轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.…(6分) 设AD=2,则A(0,1,0),D(0,-1,0),C(3,-2,0),P(0,0,w3),…(7分) 所以D=(0,2,0),D=(0,1,3),P元=(5，-2，-3)， 所以=亦+成=亦+号元(，}，2) …(9分）》 设平面EAD的法向量为n=(x,y,z), rn·Di=0,y=0, 则 得 可取n=(2,0,-1).…(12分) n.Di=0,l5x+y+25z=0, 易知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),…(13分) 则m产高5 一4 故平面PAD与平面ED的夹角的余弦值为2 5 (15分) 18.命题透析本题考查直线的方程以及距离公式的应用. 解析(1)设所求直线方程为4x+3y+入=0， 由平行线间的距离公式可得1-（一24）=2，解得入=-14或A=-34, √42+32 即所求的直线方程为4x+3y-14=0或4x+3y-34=0. (4分) (2)由条件知CD与x轴垂直，所以∠CDO=∠BOA=90°，要使两个三角形相似，只需再确定另一组相等的角 即可 ①若∠60D=∠B140.则直线0C:y=号， 4 [y= 3, 「x=3 由 解得 所以C(3,4),此时1=3.…（7分) 4x+3y-24=0, y=4, 3 ②若∠0CD=LBA0,则直线0C:y=4x, Y= 3 96 X= t, 25 由 解得 所以c9672 72 2525 此时1 4x+3y-24=0, y=25' 综上=3或器 (10分) (3)①当∠CDM=时，M与0重合，D(,0),C(1,), 把点C的坐标代入直线方程4红+3y-24=0,可得1=头.此时m=0 …(12分) ②当∠DCM=时，C(,),M(0,), 把点C的坐标代入直线方程4x+3y-24=0,可得t= 此时m 24 ……(14分) ③当∠DMc=时，M(0,0,C(,2), 把点C的坐标代人直线方程4红+3y-24=0,可得1=号，此时m=号 综上，m=0或m4或m号 5 (17分) 19.命题透析本题考查截面问题、异面直线所成的角、两平面的夹角， 解析(1)根据题意，易知截面EBFD'是平行四边形，EF与BD'的交点为正方体的中心. 以D为坐标原点，Di,D心，DD的方向分别为x,y,轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.…(1分) 则B1,10.c0,10,10,3)0,1,) …(2分) -(-1,1,）7=l=(-1,0.0）,（3分） 所以cs(E成，4D1=E应·AD 1 319 1E1·A'D119 19， ×1 即直线EF与A'D'所成角的余弦值为3四 19 …(5分) B (2)设AE=t,CF=h,则t,k∈(0,1)且t+k=1, E(1,0,),F(0,1,k),B2=(0,-1,),B7=(-1,0,k),…(6分) cos L EBF= B应.B k h B应1·1B√T+F√1+及√个+产+k+F√个+2h+R1+k' …(9分) 又≤“=子所以中≤行，当且仅当：==分时等号成立。 4 故os∠EBF的最大值为 …（11分） (注：没有说明取最值的理由，扣2分) (3)设平面BEF的法向量为u=(x,y,z),由(2)得B2=(0,-1,）,B市=(-1,0，k), ru·BE=-y+t=0, 则 不妨令名=1，得=(h,t,1).…(13分) u·Bf=-x+z=0, 又平面ABBA',平面BCCB,平面ABCD的法向量分别可取(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)， 于是cs&=k,L1)·1,0,0) √+P+1·1V++1 c0sB=h,1)·(0,1,0)- √/2+t2+1·12+2+1 c0s0=k,L1)·(0.0,1) 1 V2+2+1·1+2+1 于是cos&+cosB= t k+t 1 √++1"√E++1+2+1√辰++ =c0s0, 即C0s0=C0sa+C0sB.…(17分) —6绝密★启用前 高二年级十月调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 器 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. r 1.如图所示的几何体是一个平行六面体，则AB+B'C+CC= D C 兵 救 怒 A.BD B.DB C.AC D.A'C 2.已知u=(2,-2√3)为直线1的一个方向向量，则直线1的倾斜角为 A石 B胃 c D 蜜 3.已知数据x1,x2,x3的平均数为2，数据x4,x5,x6,x7,xg的平均数为10，则数据x1,x2,…,xg 的平均数为 A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，若AB=a,AD=b,AA'=c,则(a+b)·(b-c)= A.0 B.1 C.2 D.4 5,甲，乙两人投篮的命中率分别为号和？，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至 少有一人投中的概率为 2 c D 5-6 数学试题第1页（共4页） 6.已知E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的上底面A'B'C'D'和侧面CC'D'D的中心，若AE+ AP=xAB+yAD+zAA,则 A.x+y=3 B.x-y=3 C.x+y+z=3 D.x+y+z=4 7.如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，AB=2,若AB1⊥BC1,则直线AB,与平面BCC,B,所成角 的正弦值为 A B B② C.21 7 8.已知直线Ax+By+C=0与x+√3y-3=0平行，则A2+B+C2的最小值为 A. B.-2 c.0 D.1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线l1:ax+y+2a=0,l2:x-ay-2=0,a∈R,0为坐标原点，则下列说法正确的是 A.L1⊥2 B.l1与2过同一个定点 C.若a=1,则l1与l2关于y轴对称 D.若l1与l2交于点M,则1OM为定值 0,在△ABC中，内角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,且7sinC+33cosA0 a+c=10,则 A.sin C=33 Γ14 B.A=5T Γ6 C.b=6 D.△4BC的面积为15,3 4 11.对于两个向量a=(x1少1，之)，b=(x2,2,之)，定义a×b为a,b的“向量积”，该运算的结 果是一个向量：a×b=(y12-2之1，之1x2-x1,x1少2一七2y),则下列说法正确的是 A.若a=(1,2,-4),b=(3,1,1),则a×b=(6,-13,-5) B.若a,b是非零向量，且a×b为零向量，则一定有a∥b C.若a,b是平面a内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是a×b D.若a,b是非零向量，且laxb1=a·b1,则a,b的夹角为平 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数x=i(2-i)-1,则1z1= 13.已知点A,B都在直线x+y+4=0上，且点A,B的横坐标之差为2，点C(1,0),则△ABC 的面积为 14.“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取 不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知U1,l2是直线系A:xsin a-ycos a+2- sina=0(∈[0,2π))中的两条直线，若l1∥12，则l1,L2之间的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知点A(-4,-3),B(3,-2),直线1经过点P(0,1). (1)若1与直线AB垂直，求I的方程； (2)若1与线段AB有交点，求1的倾斜角的取值范围. 16.(15分) 已知点A(2,-4),点B在x轴负半轴上，直线AB在两坐标轴上的截距相等. (1)求直线AB的方程； (2)已知点C(1,1)和D(3,5),点P在直线AB上运动，求ICPI+IDPI的最小值 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为菱形，且∠ABC=2π 3 (1)证明：PB⊥AD; (2)若平面PAD1底面ABCD,P它=3P元，求平面PAD与平面EAD的夹角的余弦值 18.(17分) 在直角坐标系xOy中，直线l:4x+3y-24=0与x,y轴分别交于点A,B,直线x=t与线段 AB交于点C,与x轴交于点D, (1)求与1平行且距离为2的直线的方程； (2)若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； (3)若点M(0,m)满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 19.(17分) 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，过直线BD'的平面分别与棱AA',CC'交于 点E,F(点E,F均与所在棱的端点不重合). (1)若3A正=AA,求直线EF与A'D'所成角的余弦值； (2)求∠EBF的余弦值的最大值； (3)设平面BEF与平面ABB'A',平面BCC'B',平面ABCD的夹角分别为a,B,0,证明： cos 0 cos a+cos B. D' D 数学试题第4页（共4页）