精品解析：福建省厦门市同安第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

同安一中2025—2026学年高二上学期第一次月考数学科试卷 命题：李玉树 审核：叶仲凯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 3. P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为 (　 　) A. B. C. 3 D. 6 4. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题". sinx"的否定是“ x∈R，sinx>1" B. “a>1"是<1”的充分不必要条件 C. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形 D. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A= sin2B，则A=B 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 是共线的充分不必要条件 B. 若共线，则 C. 三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影数量是__． 13. 已知复数，其中且，则的最小值是________. 14. 对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，_____；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤. 15. 已知的三个顶点分别是. （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）若直线过点，且点、到直线的距离相等，求直线的方程； （3）求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 19. “绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如图1），将这些点两两连成线段（如图2），就得到由线段构成的“绣曲线”． “绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程，当k取定时，表示一条直线；当k变化时，表示过点的直线（除y轴外）的直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． 已知：在直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是．当实数a变化时，动直线AB组成的直线族记为． （1）判断点是否在中的某条直线上，并说明理由； （2）点不在中的任意一条直线上，求的取值范围； （3）写出的包络的方程，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2025—2026学年高二上学期第一次月考数学科试卷 命题：李玉树 审核：叶仲凯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直，列出方程求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，直线，， 若，可得，解得， 即的充要条件是，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 3. P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为 (　 　) A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离． 6x＋8y＋6＝0化为， 所以两平行线的距离为， 所以|PQ|的最小值为3. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式及弦化切公式计算即可得. 【详解】，则， 则. 故选：A. 5. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据时函数的符号即可求解. 【详解】由， 可知为偶函数， 又由当时，. 故选：A 8. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 易得函数过定点，再根据在直线上，得到，然后利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点， 又因为点在直线上， 所以，即， 所以, 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为4 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题". sinx"的否定是“ x∈R，sinx>1" B. “a>1"是<1”的充分不必要条件 C. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形 D. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A= sin2B，则A=B 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据命题的否定，充分条件与必要条件的定义，逐个选项进行判断即可 【详解】对于A，符合命题的否定的定义，A正确； 对于B，“a>1”可以推导出<1，但是<1，包括，所以，<1无法得出a>1，所以，B正确； 对于C，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，只能说明为锐角，无法说明△ABC为锐角三角形，C错误； 对于D，sin2A= sin2B，当时，同样成立，D错； 故选：AB 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 是共线的充分不必要条件 B. 若共线，则 C. 三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到直线与所成的角为，而为等边三角形，从而求出异面直线所成角；B选项，由于，而与相交，故B错误；C选项，作出辅助线，得到线线垂直，为二面角的平面角，求出各边长，求出；D选项，证明面面垂直，点到平面的距离等于点到的距离，即，故D正确. 【详解】对于A，如图（1），连接分别为棱的中点，， 则直线与所成的角为，而为等边三角形，则， 故直线与所成的角为，故A正确. 对于B，设为的中点，连接，如图（1），由于，而与相交， 直线异面，故B错误； 对于C，如图（2），记，则，连接， . 又四边形为正方形，， 故为二面角的平面角， 又， 在中，，故C正确. 对于D，平面即平面，显然⊥平面， 又平面，所以平面平面， 故点到平面的距离等于点到的距离，即， 在正方形中易得此距离为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影数量是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】由题意可得在上的投影数量为， 故答案为：. 13. 已知复数，其中且，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】借助复数几何意义及点到直线距离公式计算即可得. 【详解】复数在复平面内对应的点，在直线上， 的几何意义是点到点的距离， 其最小值为点到直线的距离， 故最小值为. 故答案为：. 14. 对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，_____；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出向量、的坐标，结合题中定义可求得的值；分析可知在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上，设点，，利用题中定义结合三角函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，则，， 所以． 因为在上底面内（含边界）运动，且， 则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上， 可设，则，，， 所以，， 因为，则，所以． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤. 15. 已知的三个顶点分别是. （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）若直线过点，且点、到直线的距离相等，求直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求出过点与直线平行或过边的中点的直线方程即可. （3）求出边长，再求出点到直线的距离即可求出三角形面积. 【小问1详解】 由，得直线的斜率为， 又是边上的高线，则直线的斜率为，而， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由点、到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，直线的斜率， 则直线的斜率为，而直线过点， 因此直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，得边的中点， 又，则直线的斜率， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 由点，得， 直线的斜率为，直线的方程为，即， 点到直线的距离， 所以的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可； （2）利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系, 则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. 【小问2详解】 设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 19. “绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如图1），将这些点两两连成线段（如图2），就得到由线段构成的“绣曲线”． “绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程，当k取定时，表示一条直线；当k变化时，表示过点的直线（除y轴外）的直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． 已知：在直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是．当实数a变化时，动直线AB组成的直线族记为． （1）判断点是否在中的某条直线上，并说明理由； （2）点不在中的任意一条直线上，求的取值范围； （3）写出的包络的方程，并给出证明． 【答案】（1）在，理由： 由，，则直线的斜率， 所以直线AB的方程为 将的坐标代入AB的方程，得到关于a的方程， 即，因为，所以此方程有实数解， 因此点在中的某条直线上． （2） （3） 的包络是抛物线． 证明如下： 过点和的直线的方程是， 该直线与抛物线切于点． 设为抛物线上任意一点，由函数求导可得， 在处的切线方程是， 将代入整理得，． 取，该切线方程为， 整理得，是过点和的直线． 因此，抛物线是的包络． 【解析】 【分析】（1）由两点坐标，则可得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程的性质，可得答案； （2）由（1）所得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程无解的情况，建立不等式，可得答案； （3）由题意写出曲线方程，利用导数的几何意义，求得任意一点的切线方程，整理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点不在中的任意一条直线上， 所以关于a的方程无实数解，即无实数解． 因此，解得． 因此，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $