7.2.2 复数的乘、除运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数乘除运算及应用，通过“新知探究”中的问题驱动导入，从乘法法则（类比多项式乘法）到除法定义（逆运算），再到复数范围内方程求解，构建连贯知识支架，帮助学生逐步建构复数运算体系。 其亮点在于以问题引导法则建构（如推导除法公式培养推理能力），典例采用多解法对比（如例4用平方差公式与多项式乘法提升运算能力），拓展i的周期性和方程求解体现应用意识。学生能发展数学思维，教师可借助清晰结构提升教学效率。

7.2.2 复数的乘、除运算 2. 回忆： 若a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)应该如何展开呢？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 复习引入 激活旧知 1. 复数的加法、减法法则： 设z1=a+bi，z2=c+di （其中a，b，c，d∈R）是任意 两个复数，则： z1+z2 ＝(a＋c)＋(b+d)i， z1-z2 ＝(a - c)＋(b - d)i. 2 新知探究 建构法则 问题1:若z1=a+bi，z2=c+di （其中a，b，c，d∈R）， 那么这两个复数的乘积z1·z2等于什么呢？ (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i. 即z1z2＝(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i . 两个复数的积是一个确定的复数，特别地，当z1, z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. z1·z2 ＝ i2=-1. 3 设z1=a+bi，z2=c+di （其中a，b，c，d∈R）是 任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i. 总结：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并整理成a+bi的形式即可. 我们规定，复数乘法法则如下（教科书77页）： 新知探究 建构法则 i2=-1. 4 问题2：复数乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？ 设复数z1=a1+b1i, z2=a2+b2i （a1，b1，a2，b2∈R），则 z1·z2 =(a1+b1i) (a2+b2i ) = (a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i z2·z1 =(a2+b2i ) (a1+b1i) = (a2a1－b2b1)＋(a2b1＋a1b2)i 根据复数相等的充要条件可得 z1·z2 =z2·z1 .（即复数的乘法满足交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)， 同理可证复数乘法也满足结合律和乘法对加法的分配律： z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3. a1b2+a2b1 = a2b1+a1b2. 新知探究 建构法则 ∴ a1a2=a2a1， b1b2=b2b1， ∵ 实数的乘法满足交换律， 5 典例分析 巩固提升 例3 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i). 解： (1-2i)(3+4i)(-2+i) =(3+4i-6i-8i2)(-2+i) 分析：可以从左到右依次相乘. (-2+i) = -20+15i = -22+11i+4i-2i2 6 例4 计算 解法2： (2+3i)(2-3i) =22-(3i)2 =4-(-9) =13 解法1： = 4-(-9) = 13 平方差公式： (1) (2+3i)(2-3i); 典例分析 巩固提升 7 例4 计算 完全平方公式： (2) (1+i)2. 解法2： (1+i)2 =1+2i+i2 =1+2i-1 =2i 解法1： (a+b)2=a2+2ab+b2 典例分析 巩固提升 8 问题3：若z1，z2是共轭复数，则 z1z2是一个什么样的数？ z1z2 z1z2 的结果是一个实数. 即两个共轭复数的乘积是一个实数. 常用结论： (a+bi)·(a-bi)= a2+b2(a，b∈R)； (a±bi)2=a2±2abi-b2 (a，b∈R)； (1+i)2＝2i， (1－i)2＝－2i， (1+i) (1－i)=2. 设z1=a+bi，它的共轭复数z2=a-bi. （其中a，b∈R） 新知探究 建构法则 9 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请同学们思考：如何定义复数的除法呢？ 我们把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (a,b,c,d,x,y∈R, 且c+di≠0) 的复数x+yi叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商 , 记为： 或 逆向思维 探求除法 我们要求a+bi 除以 c+di的商，就是要找到一个复数x+yi，使得(c+di)(x+yi) =a+bi . 问题4：若(c+di)(x+yi) =a+bi (a,b,c,d,x,y∈R,且c+di≠0) 应该如何 求出复数 x+yi 呢？ (cx-dy)+(dx+cy)i =a+bi ∵(c+di)(x+yi) =a+bi ∴ 根据复数相等的充要条件可得 逆向思维 探求除法 (c+di≠0) 复数除法的运算法则（教科书78页）： 分子与分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化. 新知探究 建构法则 例5 计算(1＋2i )÷(3－4i ) 典例分析 巩固提升 分子与分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化. 例6 在复数范围内解下列方程： 解：(1) 因为， 所以方程的根为. (1) ； (2) ，其中， 且. 典例分析 巩固提升 (2) 将方程的二次项系数化为， 典例分析 巩固提升 得.配方，得， 即 由，知. 类似(1)，可得 所以，原方程的根为 归纳总结 提炼要点 在复数范围内，实系数一元二次方程 的求根公式为： ①当∆≥0时， 练习训练 巩固提高 1．计算：(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i   B．－2－4i      C．6－2i  D．6＋2i 2．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　) A．2－13i   B．13＋2i       C．13－13i D．－13－2i 在复数范围内一元二次方程x2－2x＋5＝0的解是_______. .   (2) ；(3)  ；(4) . 5. 在复数范围内解下列方程： （1）x2＋4x＋5＝0； （2）2x2－3x＋4＝0.   1= . 拓展延伸 深化认知 2025= . 4n＋1＝ 4n＋2＝－1 4n＋3＝－ 4n＋4＝1 n n+1n+2 n+3=0 (n∈N*) 问题5：你能运用所学的复数运算法则解决下列问题吗？ 3= . 4= . 5= . 6= . 的幂的周期性 和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，即z z ⋯z = zn，比如：4表示4个 相乘. n 个z － 1 －1 7= . 8= . 2= . －1 － 1 复数乘法 复数的乘 除运算 课堂小结 梳脉提质 复数除法 乘法法则 乘法运算律 的幂的周期性 布置作业 固学延展 必做题： 作业1：教科书第80页 练习第1,2,3,4题； 第80页习题 7.2 复习巩固第3题. 选做题： 作业2：教科书第94页复习参考题第8题. $