学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷02（天津专用，人教A版选择性必修第一册全册：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 .: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) O .: 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：空间向量，直线和圆，圆锥曲线（选择性必修一全部内容） O : 第一部分（选择题共45分） 一、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 .: 1.设x,yR,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a1c,b∥c,则a+b1=() A.2V2 B.V10 C.3 D.4 : 2.方程 2 =1表示椭圆的充要条件是（) 4+m 2-m O O : A.-4<<-1 B.>-1 C.-4<<2 D.-4<m<-1或-1<m<2 3.已知直线1：3x+3y叶1=0和12：(m-2)x+3y+m=0.若h∥2，则m的值为() 絮 A.-1 B.3 C.1或3 D.-1或3 4.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为（ : A.V3 B.2V3 C.2 D.1 x2 。 5. 上-1内一点P3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（） 若过椭圆6+4 16 : A.3x+4y-13=0 B.3x-4y-5=0 C.4x+3y-15=0 D.4x-3y-9=0 . 6.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线L过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线L的斜率k 的取值范围是() : 试题第1页（共4页） 可学科网·学易金卷德概：限爱是鲁 A.-4 B.-45≤ 3 C.4≤4 D.2或-4 7.已知A(3,1,0),B(5,2,2),C(2,0,3),则点C到直线AB的距离为() A.3 B.V5 C.22 D.V10 8.抛物线=2w(p>0)的焦点与双曲线_ ·=1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 169 的值为() 20 8V7 A.2 B. 3 C. 3 D. 3 9.设双由线C:兰器1>0，b>0的右供点为只，双曲线C上的两点4、B关于原店对称，且清足 FA·FB=0,FB<|A≤31FB,则双曲线C的离心率的取值范围是() A.，+四) B.[V2,+o) C.(,+m D.(2,+o) 第Ⅱ卷（非选择题）共105分 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.已知向量a=(1,-2, -2),6=(m,3,-受-2，若(a+b)L(日-b,则m的值为 2 11.设直线1的方程为(a叶1)x+y+2-a=0(aER),若1在两坐标轴上的截距相等，则1的方 程 12.己知圆C1:(x-1)2+(y-Q)2=18与圆C2:(x-a)2+y-1)2=2有且仅有一条公共切线，则实数 a的值是 13.若直线3x-4叶5=0与圆x2+y2=2(r>0)相交于A,B两点，且∠AOB=120°(0为坐标原点)，则 AB= 14.已知直线y=k(x-2)+4,则直线1恒过定点 ,与曲线y=1+V4-x2仅有一个公共点， 则实数的k的取值范围是 x2 y2 15.己知双曲线C:a2-b2 =1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心，a为半径作圆A,圆A与双 曲线C的一条渐近线交于MN两点，若∠MAN=60°，则C的离心率为一· 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做好格：限美是器 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分)已知点M(3,5),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4 (1)若过点M的直线1与圆C相切，求直线1的方程； (2)若直线-y叶4=0与圆C相交于A,B两点，弦AB的长为2V3,求a的值. 17.(15分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,-2),B(4,-3),C(3,1).求： (1)边AC所在直线1的方程： (2)边AC上的高所在直线12的方程： (3)边AC上的中线所在直线3的方程， 18.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA=1,AB=V3,BC=1, AD=2,M是PD的中点. (1)求证：CM∥平面PAB: (2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值： 《3)在线段BD上是否存在点Q.使得点D到平面AQ的距离为？若存在，求出的值；若不 存在，请说明理由. D 试题第3页（共4页） : 19.45分)已知椭圆花+太 b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0),且离心率e= 6 3 (1)求椭圆的标准方程： O : (2)设点A、B是x轴上的两个动点，M(√3，-1)且AM=BM,直线AM、BM分别交椭圆于点P、 .: Q(均异于M),证明：直线PQ的斜率为定值. : 年 : 米 20.(16分)设横圆c:三+号 2=1(a>b≥0)的右顶点为A,离心率为安 ,且以坐标原点为圆心，椭圆C 游 游 的短半轴长为半径的圆与直线x+y一V6=0相切. : (1)求椭圆C的方程： : (2)设直线x=-2上两点M,N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B(B异于点A),直线 O BV与x轴相交于点D,若△MMD的面积为，求直线AM的方程； 8V3 : : (3)P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线1与桶圆C交于G,H两点，求PG+P : PE 的取值范围， E闵 .: 戡 O : @ : : : 试题第4页（共4页）null2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ----一-----=----一-------=--一--- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×11√11/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1.AJIB]ICJID] 5.1AJIB]IC]ID] 9.AJIBIICIIDI 2.[AIIBIICJIDI 6.A1[B1[C1ID1 3.IAlIBIICIIDI 7.AIIBIICIID] 4.JAIIBIICIIDI 81AI[BI[CIID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 11. 12 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(14分) 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) M D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B B A D D B A 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． -2 11． x+y+2＝0或3x+y＝0． 12． 3或﹣1 13. 14. （2，4）；（，+∞）∪{}． 15. 2． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 【解答】解：（1）由题意知圆心的坐标为（1，2），半径r＝2， 当过点M的直线斜率不存在时，方程为x＝3，3分 由圆心（1，2）到直线x＝3的距离3﹣1＝2＝r知，直线x＝3与圆相切， 当过点M的直线存在斜率k时， 设方程为y﹣5＝k（x﹣3），即kx﹣y+5﹣3k＝0．5分 由题意知， 解得，8分 ∴直线l的方程为5x﹣12y+45＝0． 故过点M的圆的切线方程为x＝3或5x﹣12y+45＝0．10分 （2）∵圆心（1，2）到直线ax﹣y+4＝0的距离为，11分 ∴， 解得．14分 17.（15分） 【解答】解：（1）△ABC的三个顶点分别为A（0，﹣2），B（4，﹣3），C（3，1）， 所以边AC所在的直线方程为，整理得x﹣y﹣2＝0；5分 （2）由于直线AC的斜率k，所以边AC上的高所在直线l2的方程y+3＝﹣（x﹣4），整理得x+y﹣1＝0；10分 （3）由于A（0，﹣2），C（3，1），故AC的中点坐标为D（）， 所以：AC上的中线所在直线l3的方程为：，整理得x+y﹣1＝0．15分 18.（15分） 【解答】解：（1）证明：取AB的中点E，连接ME，因为M是PD的中点， 所以，1分 又因为，所以， 所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE，3分 又因为CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB， 所以CM∥平面PAB．4分 （2）由题意：PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，则AP，AB，AC两两垂直， 所以建立如图所示空间直角坐标系， 又因为PA＝1，是PD的中点， 所以点的坐标为P（0，0，1），，D（0，2，0），，5分 所以平面PAB的法向量为，6分 设平面PCD的法向量为， ，由， 则，则， 令y＝1，则，8分 所以． 所以，平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为．9分 （3）设，且，， 则，10分 设平面PAQ的法向量为， 则，可得， 令y0＝1，所以．12分 因为点D到平面PAQ的距离为， 所以， 解得，14分 所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为，此时．15分 19.（15分） 【解答】解：（1）由已知c＝2， 又离心率得，， 所以椭圆方程为．4分 （2）证明：由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m， 设点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，满足Δ＞0时， 有，，7分 由|AM|＝|BM|可得kMP+kMQ＝0， 即，即，9分 化简得，12分 代入韦达定理，可得，13分 又点不在直线PQ上，因此，所以，即，14分 故直线PQ的斜率为定值．15分 20题（16分） 【解答】解：（1）由题意可得，， 且点（0，0）到直线的距离，2分 又，解得a＝2， 所以椭圆C的方程为；3分 （2）设直线AM方程为x＝my+2，m≠0， 与直线l的方程x＝﹣2联立，可得点，， 联立AM跟椭圆方程，消去x，整理得（3m2+4）y2+12my＝0， 解得y1＝0，，可得，），5分 由，， 则直线BN方程， 令y＝0，解得，即，7分 所以有， 整理得，解得m＝±或m，9分 所以，直线AP的方程为：x2＝0或xy﹣2＝0或xy﹣2＝0或xy﹣2＝0；10分 （3）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），其中k＜0，G（x1，y1），H（x2，y2）， 联立，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，所以，， Δ＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）， 所以，12分 当点P在椭圆及外部，即时，x1≥0，x2＞0， 所以；13分 当点P在椭圆内部，即时，x1＜0，x2＞0， 所以，14分 令，则1＜m＜2，所以， 综上所述，的取值范围为．16分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：空间向量，直线和圆，圆锥曲线（选择性必修一全部内容） 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设x,eR,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则a+b=() A.2V2 B.V10 C.3 D.4 2.方程2 =1表示椭圆的充要条件是() A.-4<m<-1 B.m>-1 C.-4<<2 D.-4<<-1或-1<m<2 3.己知直线1：3x+3y叶1=0和2：(m-2)x+3y+m=0.若l1∥12，则m的值为() A.-1 B.3 C.1或3 D.-1或3 4.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为（) A.V3 B.2W3 C.2 D.1 若过椭圆二+上1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( 4 A.3x+4y-13=0 B.3x-4y-5=0 C.4x+3y-15=0 D.4x-3y-9=0 6.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线L过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线L的斜率k 的取值范围是() A.-s4 B.-4E 114 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3 C.4≤4 D.2我-4 7.已知A(3,1,0),B（5,2,2),C(2,0,3),则点C到直线AB的距离为() A.3 B.5 C.22 D.10 &.抛物线=3心p>0)的焦点与双曲线兰二=1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 16 9 的值为() A.2 B. 0 c.20 8V7 D. 3 3 3 9.设双曲线C: 京之=1(a>0,b>0)的右焦点为刀，双曲线C上的两点小、B关于原点对称，且满足 x2 v2 FA·FB=0,FB到<A≤3B,则双曲线C的离心率的取值范围是() A四，+) B.[V2,+o) c.,+m) D.(V2,+∞) 第IⅡ卷（非选择题）共105分 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.已知向a-1,2,受-2.i-(m,3-罗-2，若(a+)1日-.则m的值为 11.设直线1的方程为(t1)x+叶2-a=0(aER),若1在两坐标轴上的截距相等，则1的方 程 12.已知圆C1:(x-1)2+y-a)2=18与圆C2:x-a)2+y-1)2=2有且仅有一条公共切线，则实数a 的值是 13.若直线3x-4叶5=0与圆x2+y2=2(r>0)相交于A,B两点，且∠AOB=120°(0为坐标原点)，则AB 14.已知直线y=k(x-2)+4,则直线1恒过定点 ,与曲线y=1+V4-x2仅有一个公共点， 则实数的k的取值范围是 15.已知双曲线C: x2 y2 2-2=1(a>0,b>0)的右顶点为4，以A为圆心，a为半径作圆4，圆A与双曲 线C的一条渐近线交于MN两点，若∠MAN=60°，则C的离心率为 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分)已知点M(3,5),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)若过点M的直线1与圆C相切，求直线1的方程； (2)若直线ax-叶4=0与圆C相交于A,B两点，弦AB的长为2V3,求α的值. 214 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,-2),B(4,-3),C(3,1).求： (1)边AC所在直线h的方程： (2)边AC上的高所在直线2的方程： (3)边AC上的中线所在直线3的方程. 18.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA=1,AB=V3,BC=1, AD=2,M是PD的中点. (1)求证：CM∥平面PAB: (2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值： G)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面AO的距离为2？若存在，求出的值；若不净 7 在，请说明理由， M 3/4 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y2 19.(15分)已知椭圆：+2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0),且离心率e=后 (1)求椭圆的标准方程： (2)设点A、B是x轴上的两个动点，M(3,-1)且AM=BM,直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q (均异于M),证明：直线PO的斜率为定值. 20.(16分》设椭周C:名+号1ab0的右页点为A,离心奉为号且以坐标原点为属心，洞C的 短半轴长为半径的圆与直线x+y-V6=0相切. (1)求椭圆C的方程： (2)设直线x=-2上两点M,N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B(B异于点A),直线BN 与x轴相交于点D,若△MMD的面积为3，求直线AM的方程 G+ (3)P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线1与椭圆C交于G,H两点，求 PE 的取值范围. 414■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 ! 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 的 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A][B][C][D] 戡 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10 11. 12. 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) ◇ A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．__________ __________ 14．________ ____________ 15．__________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量，直线和圆，圆锥曲线（选择性必修一全部内容） 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（　　） A． B． C．3 D．4 2．方程表示椭圆的充要条件是（　　） A．﹣4＜m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣4＜m＜2 D．﹣4＜m＜﹣1或﹣1＜m＜2 3．已知直线l1：3x+3my+1＝0和l2：（m﹣2）x+3y+m＝0．若l1∥l2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．1或3 D．﹣1或3 4．已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2y﹣6＝0，则两圆的公共弦长为（　　） A． B．2 C．2 D．1 5．若过椭圆1内一点P（3，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（　　） A．3x+4y﹣13＝0 B．3x﹣4y﹣5＝0 C．4x+3y﹣15＝0 D．4x﹣3y﹣9＝0 6．已知两点M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线L的斜率k的取值范围是（　　） A．k≤4 B．﹣4≤k C．k≤4 D．k或k≤﹣4 7．已知A（3，1，0），B（5，2，2），C（2，0，3），则点C到直线AB的距离为（　　） A．3 B． C． D． 8．抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（　　） A． B． C． D． 9．设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题）共105分 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知向量（1，﹣2，2），（m，3，2），若（）⊥（），则m的值为 　 　 ． 11．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R），若l在两坐标轴上的截距相等，则l的方程 　 　 ． 12．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数a的值是 　 　 ． 13．若直线3x﹣4y+5＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则|AB|＝ 　 　 ． 14．已知直线y＝k（x﹣2）+4，则直线l恒过定点 　 　 ，与曲线y＝1仅有一个公共点，则实数的k的取值范围是 　 　 ． 15．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率为　 　 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知点M（3，5），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． （1）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线ax﹣y+4＝0与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值． 17．（15分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，﹣2），B（4，﹣3），C（3，1）．求： （1）边AC所在直线l1的方程； （2）边AC上的高所在直线l2的方程； （3）边AC上的中线所在直线l3的方程． 18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点． （1）求证：CM∥平面PAB； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（15分）已知椭圆的一个焦点为F（2，0），且离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点A、B是x轴上的两个动点，且|AM|＝|BM|，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均异于M），证明：直线PQ的斜率为定值． 20．（16分）设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线x＝﹣2上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若△AMD的面积为，求直线AM的方程； （3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量，直线和圆，圆锥曲线（选择性必修一全部内容） 第一部分（选择题 共45分） 1、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（　　） A． B． C．3 D．4 2．方程表示椭圆的充要条件是（　　） A．﹣4＜m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣4＜m＜2 D．﹣4＜m＜﹣1或﹣1＜m＜2 3．已知直线l1：3x+3my+1＝0和l2：（m﹣2）x+3y+m＝0．若l1∥l2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．1或3 D．﹣1或3 4．已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2y﹣6＝0，则两圆的公共弦长为（　　） A． B．2 C．2 D．1 5．若过椭圆1内一点P（3，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（　　） A．3x+4y﹣13＝0 B．3x﹣4y﹣5＝0 C．4x+3y﹣15＝0 D．4x﹣3y﹣9＝0 6．已知两点M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线L的斜率k的取值范围是（　　） A．k≤4 B．﹣4≤k C．k≤4 D．k或k≤﹣4 7．已知A（3，1，0），B（5，2，2），C（2，0，3），则点C到直线AB的距离为（　　） A．3 B． C． D． 8．抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（　　） A． B． C． D． 9．设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题）共105分 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知向量（1，﹣2，2），（m，3，2），若（）⊥（），则m的值为 　 　 ． 11．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R），若l在两坐标轴上的截距相等，则l的方程 　 　 ． 12．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数a的值是 　 　 ． 13．若直线3x﹣4y+5＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则|AB|＝ 　 　 ． 14．已知直线y＝k（x﹣2）+4，则直线l恒过定点 　 　 ，与曲线y＝1仅有一个公共点，则实数的k的取值范围是 　 　 ． 15．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率为　 　 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知点M（3，5），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． （1）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线ax﹣y+4＝0与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值． 17．（15分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，﹣2），B（4，﹣3），C（3，1）．求： （1）边AC所在直线l1的方程； （2）边AC上的高所在直线l2的方程； （3）边AC上的中线所在直线l3的方程． 18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点． （1）求证：CM∥平面PAB； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（15分）已知椭圆的一个焦点为F（2，0），且离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点A、B是x轴上的两个动点，且|AM|＝|BM|，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均异于M），证明：直线PQ的斜率为定值． 20．（16分）设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线x＝﹣2上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若△AMD的面积为，求直线AM的方程； （3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版（2019）选择性必修第一册：空间向量与立体几何，直线和圆的方程，圆锥曲线方程。 第I卷（选择题）共45分 1、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（　　） A． B． C．3 D．4 【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直． 【答案】C 【分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出||． 【解答】解：设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2）， 且⊥，∥， ∴，解得x＝1，y＝﹣2， ∴（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2）， ∴||． 故选：C． 2．（5分）方程表示椭圆的充要条件是（　　） A．﹣4＜m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣4＜m＜2 D．﹣4＜m＜﹣1或﹣1＜m＜2 【考点】椭圆的标准方程；椭圆的几何特征． 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程，列出不等式组求解即可． 【解答】解：方程表示椭圆， 可得，解得﹣4＜m＜﹣1或﹣1＜m＜2． 故选：D． 3．（5分）已知直线l1：3x+3my+1＝0和l2：（m﹣2）x+3y+m＝0．若l1∥l2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．1或3 D．﹣1或3 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【答案】B 【分析】写出两条直线平行的充要条件，可得m的值． 【解答】解：由l1∥l2，则有3×3﹣3m（m﹣2）＝0，且3m×m≠1×3， 解得m＝3． 故选：B． 4．（5分）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2y﹣6＝0，则两圆的公共弦长为（　　） A． B．2 C．2 D．1 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【答案】B 【分析】把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长． 【解答】解：圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2y﹣6＝0的方程相减可得公共弦所在的直线方程为y＝﹣1， 由于圆x2+y2＝4的圆心到直线y＝﹣1的距离为1，且圆x2+y2＝4的半径为2， 故公共弦的长为22， 故选：B． 5．（5分）若过椭圆1内一点P（3，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（　　） A．3x+4y﹣13＝0 B．3x﹣4y﹣5＝0 C．4x+3y﹣15＝0 D．4x﹣3y﹣9＝0 【考点】直线与椭圆的综合． 【答案】A 【分析】设出A，B坐标，利用点在椭圆上，通过平方差公式，结合中点坐标，求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），P为AB中点得， ∵A，B在椭圆上有， 两式相减得， 可得0，可得， 则k，且过点P（3，1），有y﹣1（x﹣3）， 整理得3x+4y﹣13＝0． 故选：A． 6．（5分）已知两点M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线L的斜率k的取值范围是（　　） A．k≤4 B．﹣4≤k C．k≤4 D．k或k≤﹣4 【考点】直线的斜率． 【答案】D 【分析】利用斜率的计算公式及其意义即可得出． 【解答】解：kPM4，kPN，直线L过点P（1，1）且与线段MN相交， 则直线L的斜率k的取值范围是：或k≤﹣4． 故选：D． 7．（5分）已知A（3，1，0），B（5，2，2），C（2，0，3），则点C到直线AB的距离为（　　） A．3 B． C． D． 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离． 【答案】D 【分析】求出（2，1，2），（﹣1，﹣1，3），点C到直线AB的距离为d＝||•，由此能求出结果． 【解答】解：A（3，1，0），B（5，2，2），C（2，0，3）， （2，1，2），（﹣1，﹣1，3）， 则点C到直线AB的距离为： d＝||•． 故选：D． 8．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】圆锥曲线的综合． 【答案】B 【分析】由双曲线及抛物线的方程可得两个焦点的坐标，及渐近线的斜率，求出两个焦点所在的直线的斜率，由题意可得斜率等于其中一条渐近线的斜率的负倒数，求出p的值． 【解答】解：由双曲线的方程可得右焦点坐标为：（5，0）渐近线的方程为：3x±4y＝0，而由抛物线的方程的坐标为（0，）， 所以两个焦点连线的斜率为：， 由题意可得，解得p， 故选：B． 9．（5分）设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】求双曲线的离心率． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点F′，由双曲线的对称性结合，得到四边形AFBF1为矩形，设|AF1|＝n，|AF|＝m，在直角△ABF中，利用双曲线的定义和勾股定理化简得到，再根据|FB|＜|FA|≤3|FB|，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解． 【解答】解：双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，设双曲线的左焦点F1，如图所示： 由双曲线的对称性可知，四边形AFBF1为平行四边形， 又，则FA⊥FB，∴平行四边形AFBF1为矩形，故|AB|＝|FF1|＝2c， 设|AF1|＝n，|AF|＝m，则|BF|＝n， 在Rt△ABF中，m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2， ∴2mn＝4c2﹣4a2＝4b2，则mn＝2b2， ∴， 令，得， 又由|FB|＜|FA|≤3|FB|，得， ∵对勾函数在（1，3]上单调递增，∴， ∴，即， 则，故， ∴， ∴双曲线离心率的取值范围是． 故选：A． 第II卷（非选择题）共105分 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．（5分）已知向量（1，﹣2，2），（m，3，2），若（）⊥（），则m的值为 　﹣2　 ． 【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直． 【答案】﹣2 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的数量积运算求出结果． 【解答】解：向量（1，﹣2，2），（m，3，2）， 故（m+1，1，﹣4），（1﹣m，﹣5，m）， 由于（）⊥（），故（）•（）＝0， 所以m2+4m+4＝0，解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 11．（5分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R），若l在两坐标轴上的截距相等，则l的方程 　x+y+2＝0或3x+y＝0　 ． 【考点】直线的截距式方程． 【答案】x+y+2＝0或3x+y＝0． 【分析】由已知对直线在两坐标轴上的截距是否为0进行分类讨论即可求解． 【解答】解：当l在两坐标轴上的截距为0时，即直线过原点， 此时有2﹣a＝0，即a＝2， 当l在两坐标轴上的截距不为0时，则a+1≠0，2﹣a≠0， 令x＝0可得y＝a﹣2，令y＝0可得x， 所以a﹣2， 解得a＝0， 故直线l的方程为x+y+2＝0或3x+y＝0． 故答案为：x+y+2＝0或3x+y＝0． 12．（5分）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数a的值是 　3或﹣1　 ． 【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数． 【答案】3或﹣1． 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可． 【解答】解：因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆C1的圆心C1（1，a），半径，圆C2的圆心C2（a，1），半径， 而两圆圆心距，即， 解得a的值为3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 13．（5分）若直线3x﹣4y+5＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则|AB|＝ 　　 ． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式与弦长公式计算即可． 【解答】解：若直线3x﹣4y+5＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点）， 可知圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5＝0的距离， 即，解得r＝2，所以． 故答案为：． 14．（5分）已知直线y＝k（x﹣2）+4，则直线l恒过定点 　（2，4）　 ，与曲线y＝1仅有一个公共点，则实数的k的取值范围是 　（，+∞）∪{}　 ． 【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线． 【答案】（2，4）；（，+∞）∪{}． 【分析】根据直线点斜式方程求出定点，题中曲线为半圆，数形结合判断直线与它的交点个数，进而得到k的取值范围． 【解答】解：直线y＝k（x﹣2）+4恒过点（2，4）； 由题可知曲线y＝1即x²+（y﹣1）²＝4， 表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图： 因为直线与曲线只有一个交点， 则圆心到直线的距离等于半径，即2，解得k， 由图可知，当直线经过点（﹣2，1）时，直线的斜率为， 当直线经过点（2，1）时，直线的斜率不存在， 综上，k的取值范围是k或k， 故答案为：（2，4）；（，+∞）∪{}． 15．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率为　2　 ． 【考点】双曲线的几何特征． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用已知条件，求出A到渐近线的距离，然后推出双曲线的离心率即可． 【解答】解：由题意可得MA＝NA＝a，则△MAN为正三角形， 则A到渐近线距离为d，A（a，0）， 渐近线为bx±ay＝0，则d， 则，可得b， 解得e2． 故答案为：2． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知点M（3，5），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． （1）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线ax﹣y+4＝0与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值． 【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程． 【答案】（1）x＝3或5x﹣12y+45＝0． （2）． 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点M的直线斜率不存在时，方程为x＝3，当过点M的直线存在斜率k时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3），利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程即可． （2）利用圆心（1，2）到直线ax﹣y+4＝0的距离，半径半弦长满足勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）由题意知圆心的坐标为（1，2），半径r＝2， 当过点M的直线斜率不存在时，方程为x＝3， 由圆心（1，2）到直线x＝3的距离3﹣1＝2＝r知，直线x＝3与圆相切， 当过点M的直线存在斜率k时， 设方程为y﹣5＝k（x﹣3），即kx﹣y+5﹣3k＝0． 由题意知， 解得， ∴直线l的方程为5x﹣12y+45＝0． 故过点M的圆的切线方程为x＝3或5x﹣12y+45＝0． （2）∵圆心（1，2）到直线ax﹣y+4＝0的距离为， ∴， 解得． 17．（15分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，﹣2），B（4，﹣3），C（3，1）．求： （1）边AC所在直线l1的方程； （2）边AC上的高所在直线l2的方程； （3）边AC上的中线所在直线l3的方程． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的性质． 【答案】（1）x﹣y﹣2＝0；（2）x+y﹣1＝0；（3）x+y﹣1＝0． 【分析】（1）直接利用点斜式的应用求出直线的方程； （2）首先利用直线垂直的充要条件求出直线AC边上的高的直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程； （3）利用中点坐标求出中点D的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程． 【解答】解：（1）△ABC的三个顶点分别为A（0，﹣2），B（4，﹣3），C（3，1）， 所以边AC所在的直线方程为，整理得x﹣y﹣2＝0； （2）由于直线AC的斜率k，所以边AC上的高所在直线l2的方程y+3＝﹣（x﹣4），整理得x+y﹣1＝0； （3）由于A（0，﹣2），C（3，1），故AC的中点坐标为D（）， 所以：AC上的中线所在直线l3的方程为：，整理得x+y﹣1＝0． 18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点． （1）求证：CM∥平面PAB； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；空间中点到平面的距离；直线与平面平行． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在平面PAB内找一条直线与CM平行即可； （2）建系，利用空间向量和数量积公式即可求解二面角的余弦值； （3）根据设点，根据点到平面的距离列出方程，方程存在（0，1）上的解则存在点Q，反之则不存在． 【解答】解：（1）证明：取AB的中点E，连接ME，因为M是PD的中点， 所以， 又因为，所以， 所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE， 又因为CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB， 所以CM∥平面PAB． （2）由题意：PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，则AP，AB，AC两两垂直， 所以建立如图所示空间直角坐标系， 又因为PA＝1，是PD的中点， 所以点的坐标为P（0，0，1），，D（0，2，0），， 所以平面PAB的法向量为， 设平面PCD的法向量为， ，由， 则，则， 令y＝1，则， 所以． 所以，平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为． （3）设，且，， 则， 设平面PAQ的法向量为， 则，可得， 令y0＝1，所以． 因为点D到平面PAQ的距离为， 所以， 解得， 所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为，此时． 19．（15分）已知椭圆的一个焦点为F（2，0），且离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点A、B是x轴上的两个动点，且|AM|＝|BM|，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均异于M），证明：直线PQ的斜率为定值． 【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件求得a、b的值即可． （2）设出直线PQ方程，与椭圆方程联立得x1+x2，x1x2，代入kMP+kMQ＝0化简即可求得结果． 【解答】解：（1）由已知c＝2， 又离心率得，， 所以椭圆方程为． （2）证明：由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m， 设点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，满足Δ＞0时， 有，， 由|AM|＝|BM|可得kMP+kMQ＝0， 即，即， 化简得， 代入韦达定理，可得， 又点不在直线PQ上，因此，所以，即， 故直线PQ的斜率为定值． 20．（16分）设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线x＝﹣2上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若△AMD的面积为，求直线AM的方程； （3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围． 【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数． 【答案】（1）； （2）直线AP的方程为：x2＝0或xy﹣2＝0或xy﹣2＝0或xy﹣2＝0； （3）． 【分析】（1）根据椭圆的离心率，即点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）直线AM方程为x＝my+2，代入椭圆方程，求得B点坐标，求得直线BN的方程，求得D点坐标，求得△AMD的面积，即可求得m的值，求得直线AM的方程； （3）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可表示出，分类即可求得的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得，， 且点（0，0）到直线的距离， 又，解得a＝2， 所以椭圆C的方程为； （2）设直线AM方程为x＝my+2，m≠0， 与直线l的方程x＝﹣2联立，可得点，， 联立AM跟椭圆方程，消去x，整理得（3m2+4）y2+12my＝0， 解得y1＝0，，可得，）， 由，， 则直线BN方程， 令y＝0，解得，即， 所以有， 整理得，解得m＝±或m， 所以，直线AP的方程为：x2＝0或xy﹣2＝0或xy﹣2＝0或xy﹣2＝0； （3）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），其中k＜0，G（x1，y1），H（x2，y2）， 联立，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，所以，， Δ＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）， 所以， 当点P在椭圆及外部，即时，x1≥0，x2＞0， 所以； 当点P在椭圆内部，即时，x1＜0，x2＞0， 所以， 令，则1＜m＜2，所以， 综上所述，的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $