学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷02（范围：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆+双曲线，全国卷地区适用）

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章+椭圆+双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 2．已知双曲线的右焦点为，以为圆心且过坐标原点的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 3．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 10．正方体中，是棱上的动点（含端点），则（    ） A．的最小值为 B．若是棱的中点，则点到平面的距离为 C．记四棱锥外接球的球心为，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．若分别是棱的中点，则在上的投影向量的模长为定值 11．若曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．若曲线与直线有公共点，则 C．曲线上任意两点之间距离的最大值为 D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 13．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 14．当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 16．(15分）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB长度的最小值． 17．(15分）如图，直三棱柱中，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求二面角的正切值； (3)若，，，求与平面所成角的正弦值． 18．(17分）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 19．(17分）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得，此方程称为平面的一般式方程．已知集合，，． (1)指出集合M和N表示的图形； (2)求过三点，，的平面的点法式方程和一般式方程； (3)设R中所有点构成的几何体为K，求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值． 3 / 5 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章+椭圆+双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 2．已知双曲线的右焦点为，以为圆心且过坐标原点的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 3．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 10．正方体中，是棱上的动点（含端点），则（    ） A．的最小值为 B．若是棱的中点，则点到平面的距离为 C．记四棱锥外接球的球心为，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．若分别是棱的中点，则在上的投影向量的模长为定值 11．若曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．若曲线与直线有公共点，则 C．曲线上任意两点之间距离的最大值为 D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 13．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 14．当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 16．(15分）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB长度的最小值． 17．(15分）如图，直三棱柱中，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求二面角的正切值； (3)若，，，求与平面所成角的正弦值． 18．(17分）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 19．(17分）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得，此方程称为平面的一般式方程．已知集合，，． (1)指出集合M和N表示的图形； (2)求过三点，，的平面的点法式方程和一般式方程； (3)设R中所有点构成的几何体为K，求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） $■■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A][B][C][D] 製 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 1O[A][B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 舶 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) C A B C A M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 O (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : : 4.测试范围：人教A版(2019)选修第一册第1-2章+椭圆+双曲线。 第一部分（选择题共58分） : : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 : 尽 1.若直线1：y=tan 的倾斜角为a,则a=（) 3 A.0 B. 元 C. D.不存在 3 2 : O O 2.已知双曲线： -y=1的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点 苗 O,A,则OA=() A.4 B.8 C.5 D.25 : 3.经过点(1,2)，且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是() 浆 A.x+y-3=0 B.x+y-3=0或2x-y=0 C.x-y+1=0 D.x-y+1=0或2x-y=0 : 4,已知椭圆C大人 62 =1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F,过右焦点F的直线与C交于A,B两点，且 BE=2FA,BE⊥AB,则椭圆C的离心率为() A. 8.5 C.5 D. : 3 4 2-5 : 5.两圆x2+y2-2my+m2-1=0和x2+y2-4x+4n2-9=0恰有一条公切线，则n的最大值为（) 剂 K A.1 B.2 C.3 D.4 6.棱长为√6的正四面体A-BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足AM=√5，则直线AM与直线BD 所成的角的余弦值的取值范围为() ○ B. 2 试题第1页（共4页） : : : 西学科网·学易金卷做好黄：就限家是鲁满 c. 0,2 7.已知直线l1:mx+y+2=0与直线l2:x-my-2=0交于点M,点M关于直线x-y=0对称的点为N(a,b), 则+2的取值范围是() a A.[-7,] B.（-o,-7][1,+∞) c.[-1,7] D.（-o,-1小J[7,+∞） 8.已知A,B,C,D是椭圆E:￡+上=1上四个不同的点，且M(2,2)是线段AB,CD的交点，且 169 AMCM =4,若1⊥AC,则直线I的斜率为() BM DM 9 A.4 B.3 C.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有() A.直线y=ax-2a(a∈R)必过定点(2,0) B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1 C.直线x+V5y+1=0的倾斜角为2 3 D.经过任意两个不同点P(x,y),(x2,y2)的直线都可用方程(x2-x)y-)=(y2-y)(x-x)表示 10.正方体ABCD-A,B,CD,中，AB=2,E是棱AB上的动点（含端点），则() A.AE+EC的最小值为26 B.若E是棱AB的中点，则点4到平面EBD的距离为6 C.记四棱锥A,-ABCD外接球的球心为O,则直线OE与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为 D.若M,N分别是棱BC,CC,的中点，则NE在NM上的投影向量的模长为定值 11.若曲线E的方程为x2+y2=2x+2y,则下列结论正确的是（) A.曲线E围成图形的面积为2π+4 B.若曲线E与直线y=x+m有公共点，则-4≤m≤4 C.曲线E上任意两点之间距离的最大值为4√2 D.若圆x2+y2=r2(r>0)能完全包围曲线E,则r的最小值为2√2 试题第2页（共4页） 西学科网·学易金卷悠概慈：限蒙是鲁春 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间向量0B、0B、0B两两垂直，空间中点A满足AB=AB=AB=1,记OP=0B+OB,+OB, 则AP的取值范围为 1B.已知双重线号若=0>0b>0佰左布焦点分别为R,P为双街找右支上的一点，若有到直线以 的距离是2a, 则双曲线离心率的取值范围是 14.当m变化时，不在直线(1-m2)x+2my-2W3m-2=0上的点构成区域G,P(x,y)是区域G内的任意一 35 点，则2+2》的取值范围是 V3.x2+y 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知直线1：x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线I上求一点P,使PA|+|PBI的值最小： (2)在直线1上求一点P,使PB1-PA的值最大； (3)若点B的坐标变为(-2,4)，再分别求(1)，(2)问中的结果. 16.(15分)已知圆M:x2+(y-2)=1,点P是直线I:x+2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA, PB,切点为A,B. (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)若△PAM的外接圆为圆N,试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标； 若不存在，请说明理由： (3)求线段AB长度的最小值. 试题第3页（共4页） : 17.(15分)如图，直三棱柱ABC-AB,C,中，M,N分别为AB和B,C的中点. : : : B B 年 : (1)求证：MN/平面ACC,A: (2)若AC=BC=CC,∠ACB=90°，求二面角N-CM-B的正切值： (3)若AC=2V2,AB=4,∠ACB=90°，MN⊥AC,求AC与平面CMN所成角的正弦值. : .·... 棕 分)已知椭圆T名+(a>6>0,8、B分别是椭圆短轴的上下两个端点，R是椭圆左焦息 : P是椭圆上异于点B、B2的点，△BFB2是边长为4的等边三角形， : (1)写出椭圆的标准方程： (2)当直线PB,的斜率为-1时，求以PB,为直径的圆的标准方程： (3)设点R满足：RB,⊥PB,RB2⊥PB2.求证：△PB,B,与△RB,B,面积之比为定值. > ·: : : : 学 : 19.(17分)在空间直角坐标系Oz中，过点P(x,,2)且一个法向量为i=(a,b,c)的平面的方程为 a(x-x)+b(y-yo)+c(z-zo)=0.此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得ax+by+cz+d=0,此 方程称为平面的一般式方程.已知集合M={《x,,2x=0},N={(x,zx2+y2+z2=}, R={x,y,z+y+≤1}. : (1)指出集合M和N表示的图形： (2)求过三点A(1,0,0),B(01,0),C(0,0,1)的平面的点法式方程和一般式方程： (3)设R中所有点构成的几何体为K,求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值. 试题第4页（共4页）null 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B A A A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分） 【详解】（1）设点A关于直线l对称点为， 则，解得，即， 因为点P在直线l上运动， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最小值等于， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 联立，解得， 所以交点（4分） （2）因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最大值为， 即P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB方程为， 联立，解得， 故所求点P的坐标为（8分） （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即点P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB的方程为，即， 联立，解得， 故使的值最小时，P点坐标为. 由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时取得最大值， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 所以，解得， 所以交点（13分） 16．(15分） 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或．（4分） （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即， 由， 解得或， 所以圆过定点，．（9分） （3）因为圆N方程为， 即① 又圆② ①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为 ． 点到直线AB的距离， 所以相交弦长 ， 所以当时，AB有最小值．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 又因为直三棱柱中，为的中点，所以且， 所以且，故四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面. （4分） （2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，令，得，故， 设二面角的平面角为，则，则， 所以； （9分） （3）由，，，得， 设，则， ，， 由得，解得， ，，设平面的法向量为， 则，令，得，故， ， 设与平面所成角为，则（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因是边长为4的等边三角形，则得，解得， 故椭圆的标准方程为.（4分） （2）因，直线的斜率为，则直线的方程为 联立，解得和，即， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为：.（9分） （3）设直线的斜率分别为，则直线的方程为． 由，直线的方程为． 将代入，得， 因为是椭圆上异于点的点，所以．则， 所以． 由，所以直线的方程为． 由，解得． 所以， 即与面积之比为定值．（7分）    19．(17分） 【详解】（1）集合表示点集，表示平面． 因为，所以， 所以集合表示球心在原点，半径为1的球面．（4分） （2），， 设是平面的法向量，则 取，得，， 所以平面的一个法向量为． 所以过点且一个法向量为的点法式方程为， 整理可得一般式方程为．（10分） （3）对于，当x，y，时，可得， 结合（2）中可知方程表示经过三点，，的平面的一部分（在第一卦限的部分）． 由对称性可知表示以，，，，，，这六个点为顶点的正八面体内所有的点． 设平面的法向量为，由，，得取，则，，故平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则．故中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值为．（17分） 1 / 4 $ 11 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章+椭圆+双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解并判断． 【详解】∵， ∴直线l平行于x轴，其倾斜角为0， 故选：A． 2．已知双曲线的右焦点为，以为圆心且过坐标原点的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出右焦点坐标及渐近线方程，再求出焦点距离渐近线距离，最后根据垂径定理及勾股定理求解 【详解】 根据双曲线方程得右焦点，渐近线为 因此焦点距离两渐近线的距离均为. 由于圆过原点，故其半径为. 因此 故选：D. 3．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 4．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 5．两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】两个圆只有一条公切线，则两圆内切，利用圆与圆的位置关系可得，结合基本不等式求解即可. 【详解】两圆的标准方程为，和，圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆和恰有一条公切线， 所以两圆内切，即， 得，则，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故选：A. 6．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为在正四面体中，是等边三角形， 则，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故选：A. 7．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出点坐标，可得，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即， 当时，，则无意义； 当时， ，当且仅当即等号成立； 当时， ，当且仅当即等号成立； 综上，，或. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出点坐标，代入利用基本不等式求最值. 8．已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线、类似点差法建立等量关系式，由直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率. 【详解】设，而， 因为，故， 即， 所以，则， 又都在椭圆上， 故①，且， 即②， ①②两式相减并化简得：， 即③， 同理可得：④， ④－③得：， 所以， 因为，所以直线l的斜率为. 故选：D 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【分析】对于A，将直线方程整理成以为未知数的方程即可求得定点；对于B，根据截距的定义求解；对于C，将方程化成斜截式方程，求得直线斜率，即可求出其倾斜角；对于D，将经过两点的直线分成三种情况，分别考虑即得结论. 【详解】对于A，因，故该直线经过定点，故A正确； 对于B，在直线方程中，令，可得，即该直线在y轴上的截距为，故B错误； 对于C，由化成斜截式为，可知直线的斜率为， 则直线的倾斜角满足，因，故得，故C错误； 对于D，对于经过任意两个不同点的直线， 若，则直线的斜率不存在，直线方程为，满足； 若，则直线的斜率为0，直线方程为，满足； 若且，则该直线方程为， 去分母后即得方程.综上可知，D正确. 故选：AD. 10．正方体中，是棱上的动点（含端点），则（    ） A．的最小值为 B．若是棱的中点，则点到平面的距离为 C．记四棱锥外接球的球心为，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．若分别是棱的中点，则在上的投影向量的模长为定值 【答案】BCD 【分析】根据正方体的性质，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短判断选项A，利用等体积法求点到平面距离判断选项B，构造空间直角坐标系，结合正方体及其外接球的性质判断选项C，利用投影向量模长公式求解判断选项D． 【详解】选项A：如图把平面沿翻折至与平面共面， 则，故A错误； 选项B： 如图，因为中点，则， 又，， 则的面积为， 设点到平面的距离为， 由可得，解得，故B正确； 选项C：由图知，四棱锥的外接球球心即该正方体的外接球球心， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，过点作平面，垂足为点， 连接，则即为与平面所成的角. 由，，设，则，， 则， 因，则当或2时，取最小值，当时取最大值1， 即直线与平面所成角的正切值的取值范围为，故C正确； 选项D：记向量与的夹角为，则为锐角. 则在上的投影向量的模长为， 在C项所示空间直角坐标系中，，则， 于是，为定值，故D正确. 故选：． 11．若曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．若曲线与直线有公共点，则 C．曲线上任意两点之间距离的最大值为 D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】通过配方得到，进而得到对应曲线，结合曲线逐项判断即可. 【详解】由，得，易知曲线位于四个象限的图象分别是以，，，为圆心，为半径的半圆弧，如图所示. 选项A：曲线围成图形的面积为，（提示：通过观察图形，可得曲线围成的图形由一个边长为的正方形和四个半径均为的半圆组成） 故A错误； 选项B：若直线与曲线在第四象限相切，则，，（提示：直线与曲线在第四象限相切，即直线与圆心为，半径为的圆在第四象限相切） 得，由对称性可得直线与曲线在第二象限相切时，，数形结合可知若曲线与直线有公共点，则，故B正确； 选项C：连接，则曲线上任意两点之间距离的最大值为，故C正确； 选项D：若圆能完全包围曲线，则的最小值为，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设，，，，由空间向量模的意义及条件可得，进而求出范围. 【详解】不妨设，，，则. 设，则有， 所以， 由，及， 因此得到等式，即， 所以. 故答案为：. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一：求得过与渐近线平行的直线方程，进而可得点到的距离，可得，求解即可.解法二：数形结合可得，求解即可. 【详解】法一：由题意可得，双曲线的一条渐近线为， 则过与渐近线平行的直线方程为， 即， 则点到的距离， 若到直线的距离是，则可得，所以， 所以，所以，所以，所以双曲线离心率的取值范围是. 法二：如图10，因为点在右支上， 所以，，， 即，可得． 14．当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将方程整理为，知方程无根；当时，利用可得所求区域，将所求式子化为与夹角余弦值，通过确定向量夹角的范围可确定所求式子的范围；当时，知满足题意，代入可得式子的值；综合两种情况可得结果. 【详解】将直线方程转化为：， 区域表示不在直线上的点构成的集合， 方程无实数根； ①当时，，整理得：， 即在以为圆心，为半径的圆的内部. 令，则，，， 设与夹角为，则， 又直线与圆相切于点，且， ，； ②当时，直线方程为，令，解得：， 当时，必有取值，则当时，只有不在直线上. 此时； 综上所述： 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 【答案】(1)P点坐标为 (2)P点坐标为 (3)当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大 【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. （2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案. （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. 【详解】（1）设点A关于直线l对称点为， 则，解得，即， 因为点P在直线l上运动， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最小值等于， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 联立，解得， 所以交点（4分） （2）因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最大值为， 即P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB方程为， 联立，解得， 故所求点P的坐标为（8分） （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即点P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB的方程为，即， 联立，解得， 故使的值最小时，P点坐标为. 由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时取得最大值， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 所以，解得， 所以交点（13分） 16．(15分）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB长度的最小值． 【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值． 【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果； （2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果. 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或．（4分） （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即， 由， 解得或， 所以圆过定点，．（9分） （3）因为圆N方程为， 即① 又圆② ①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为 ． 点到直线AB的距离， 所以相交弦长 ， 所以当时，AB有最小值．（15分） 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 17．（15分）如图，直三棱柱中，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求二面角的正切值； (3)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）构造辅助线，利用线面平行判定定理； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，求出二面角的平面角的正切值； （3）建立空间直角坐标系，求平面的法向量及线面角的正弦值. 【详解】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 又因为直三棱柱中，为的中点，所以且， 所以且，故四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面. （4分） （2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，令，得，故， 设二面角的平面角为，则，则， 所以； （9分） （3）由，，，得， 设，则， ，， 由得，解得， ，，设平面的法向量为， 则，令，得，故， ， 设与平面所成角为，则（15分） 18．（17分）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）依题求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点，即可求得以为直径的圆的方程； （3）设直线的斜率分别为，写出直线的方程并与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可推得，由，写出直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标，结合图形，利用三角形面积公式代入化简求解即得证. 【详解】（1）因是边长为4的等边三角形，则得，解得， 故椭圆的标准方程为.（4分） （2）因，直线的斜率为，则直线的方程为 联立，解得和，即， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为：.（9分） （3）设直线的斜率分别为，则直线的方程为． 由，直线的方程为． 将代入，得， 因为是椭圆上异于点的点，所以．则， 所以． 由，所以直线的方程为． 由，解得． 所以， 即与面积之比为定值．（7分）    19．(17分）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得，此方程称为平面的一般式方程．已知集合，，． (1)指出集合M和N表示的图形； (2)求过三点，，的平面的点法式方程和一般式方程； (3)设R中所有点构成的几何体为K，求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值． 【答案】(1)集合表示平面，集合表示球心在原点，半径为1的球面 (2)， (3) 【分析】（1）在空间直角坐标系下，结合集合的概念，即可求解； （2）求出平面的法向量，利用题目中的定义，即可求解； （3）先求出几何体K的顶点，再求出平面的法向量，结合（2）问，即可求解. 【详解】（1）集合表示点集，表示平面． 因为，所以， 所以集合表示球心在原点，半径为1的球面．（4分） （2），， 设是平面的法向量，则 取，得，， 所以平面的一个法向量为． 所以过点且一个法向量为的点法式方程为， 整理可得一般式方程为．（10分） （3）对于，当x，y，时，可得， 结合（2）中可知方程表示经过三点，，的平面的一部分（在第一卦限的部分）． 由对称性可知表示以，，，，，，这六个点为顶点的正八面体内所有的点． 设平面的法向量为，由，，得取，则，，故平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则．故中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值为．（17分） 【点睛】关键点睛：本题综合运用平面的法向量，平面的点法式方程和一般式方程以及二面角的求法，较为综合，属于难题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 。。-=▣=▣。▣。▣。=。▣。-=一▣。▣。-。▣==。▣。▣-■=-▣ 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 口 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂X1IW11/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B[C]D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][BI[CD】 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) C M B 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！