14.2.5第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形全等的判定（HL）”，通过回顾ASA、SAS等已有全等条件，以“SSA无法判定一般三角形全等”为问题起点，引导学生探究直角三角形的特殊情况，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重探究过程与核心素养培养，通过画图操作验证HL定理，发展学生几何直观与空间观念，例题涵盖实际情境（如两人同时出发的距离问题），培养应用意识。小结明确定理要素，帮助学生形成推理意识，学生能深化理解，教师可高效组织教学。

14.2　三角形全等的判定 第5课时　直角三角形全等的判定(“HL”) 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 Administrator (A) - 每课时设置的三大版块，重在让学生学会学习。及时回顾反思。 判断：具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A'B'C'(其中∠C=∠C'=90°)是否全等？若全等，在(　　)里填写理由；若不全等，在(　　)里打“×”: 知识关联 (1)AC=A'C',∠A=∠A'; (　　) (2)AC=A'C',BC=B'C'; (　　) (3)AB=A'B',∠B=∠B'; (　　) (4)∠A=∠A',∠B=∠B'; (　　) A ′ B′ C ′ A B C ASA SAS AAS × 助力教学 (助) - 对于之前的全等三角形的判定方法转化到直角三角形中 同样适用，引导学生知道直角三角形的特殊性，隐藏的条件是什么？ 【探究】直角三角形全等的判定方法--HL 【情境问题】 前面学习的三角形全等的判定方法,对满足条件的三角形都是适用的,同样也适用于直角三角形. 探究与应用 由于两个直角三角形的直角相等,故对于两个直角三角形,满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等,或斜边和一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了. 如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗? 新课讲解 知识点 斜边及一条直角边证全等（HL） 思考 (1) 如图，已知AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′，△ABC≌△A′B′C′ 吗？ A B C B′ C′ A′ 我们知道，证明三角形全等不存在“SSA” 定理，所以无法证明△ABC≌△A′B′C′. (2)如果这两个三角形都是直角三角形，能判定△ABC≌△A′B′C′ 吗？ 新课讲解 探究 A B C B′ C′ A′ 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，且A′B′=AB，B′C′=BC，这两个三角形全等吗？ 我们可以用画图的方法. 新课讲解 （1）先画∠DC′E=90°. （2）在射线C′E上截取B′C′=BC. （3）以点B′为圆心，AB为半径作弧，交射线C′D于点A′. （4）连接A′B′. E C′ D A B C B′ A′ 是不是这样的点A′一定会与点A重合呢？ 新课讲解 为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. E (C′) D (B′) A (A') B C ① 设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，则有AB＞BM′＞BM． M 外角的性质. M' 垂线段最短. 在点A下方时，长度<AB. ③ 设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN>AB. 因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点 A′在射线CA上，A′B′=AB，可知点A′与点A重合． 在点A上方时，长度>AB. N 新课讲解 E C′ D B′ A′ A B C △A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A'B'C'与△ABC能够完全重合， 因而△A'B'C'≌△ABC. 新课讲解 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 几何语言： AB=A′B′， BC=B′C′， 结论： A B C A′ B′ C′ 6. 如图,AB⊥AC,AC⊥DC,AD=BC.求证: (1) AB=CD; (2) AD∥BC. (1) ∵ AB⊥AC,AC⊥DC,∴ ∠BAC=∠DCA=90°.在 Rt△BAC和Rt△DCA中,∴ Rt△BAC≌ Rt△DCA.∴ AB=CD　 (2) 由(1),知Rt△BAC≌Rt△DCA,∴ ∠ACB=∠CAD.∴ AD∥BC 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥ EF于点F,且AE=CF.求证:Rt△ADE≌Rt△CDF. 如图,连接BD.∵ ∠BAD=∠BCD=90°,在Rt△ABD和 Rt△CBD中,∴ Rt△ABD≌Rt△CBD.∴ AD =CD.∵ AE⊥EF,CF⊥EF,∴ ∠E=∠F=90°.在Rt△ADE 和Rt△CDF中,∴ Rt△ADE≌Rt△CDF 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,连接AO.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.如果∠AFD=145°,那么∠EDF=　　　　. 55° 解析:∵ DE⊥AB,DF⊥BC,∴ ∠DEB=∠FDC=∠FDB=90°.∵ ∠AFD =145°,∴ ∠CFD=180°-145°=35°.在Rt△BDE和Rt△CFD中, ∴ Rt△BDE≌Rt△CFD.∴ ∠BDE=∠CFD=35°.∴ ∠EDF =90°-35°=55°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12cm,则DE的长为　　　　cm. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF. ∵ AC⊥BC,AD⊥BD,∴ ∠ACB=∠BDA=90°.在 Rt△ABC和Rt△BAD中,∴ Rt△ABC≌ Rt△BAD.∴ ∠CBE=∠DAF.∵ CE⊥AB,DF⊥AB, ∴ ∠CEB=∠DFA=90°.在△BCE和△ADF中, ∴ △BCE≌△ADF.∴ CE=DF 第11题 （1）_______________（ ）； （2）_______________（ ）； （3）_______________（ ）； （4）_______________（ ）. 针对训练 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证明△ABC ≌ △BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由. AB = CD BC = AD ∠B = ∠D ∠BAC = ∠DCA HL SAS ASA AAS C D B A 或 AB // CD 随堂演练 1. 如图，AB⊥CD，垂足为 O，要得到 △ABC ≌ △DEF，添加下列一组条件后，不能判定 Rt△AOC ≌ Rt△BOD 的是（ ） A. AC = BD，OA = OB B. OA = OD，∠A =∠B C. AC = BD，OC = OD D. AC = BD，AC // BD B 5. 如图，AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，AD = AF，AC = AE. 求证：BC = BE. A B C D E F 随堂演练 证明：由题意知，△ADC 与△AFE 均为直角三角形， 在Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC = AE， AD = AF， ∴Rt△ADC ≌ Rt△AFE(HL). ∴CD = EF. 在Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， AB = AB， AD = AF， ∴Rt△ABD ≌ Rt△ABF(HL). ∴BD = BF. ∴BD – CD = BF – EF，即 BC = BE. A B C D E F 随堂演练 课堂小结 斜边、 直角边 内容 前提条件 探索方法 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 在直角三角形中 依次说明三角形的三个顶点重合 用“HL”判定两个直角三角形全等 设BD于EF交于点G，即证EG=FG. 当堂练习 QING JING YIN RU ∴BF＝DE ∴△GBF≌△GDE (AAS) ∠BFG＝∠DEG ∠BGF＝∠DGE 4.如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF. A F C E D B G 证明：在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL). 在 △GBF 和 Rt△GDE 中， BF＝DE ∴GF=GE，即BD平分EF. 当堂练习 QING JING YIN RU 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 5.如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 3. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ A B C D E 教材P43练习 第1题 随堂演练 教材P43练习 第1题 解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由： ∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC. 又两人同时同速度出发， 并同时到达D，E 两地，∴CD = CE. 又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°. 在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， A B C D E AC = BC， CD = CE， ∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL). ∴DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 的距离相等. 随堂演练 教材P43练习 第2题 4. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF. A B C D E F 教材P43练习 第1题 证明: ∵CE = BF， ∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE. 又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB(HL). ∴AE = DF. A B C D E F 9．（2024·遵义期末）如图，CD平分∠BCA且平分∠BDA，∠A＝90°，点F在射线CB上，且DF＝DE. 求证：(1)DB＝DA； (2)AE＝BF. 10． 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在边AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等． 29 证明：(1)∵CD平分∠BCA且平分∠BDA， ∴∠BCD＝∠ACD，∠BDC＝∠ADC. 在△BCD和△ACD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠BCD＝∠ACD，,CD＝CD，,∠BDC＝∠ADC，))) ∴△BCD≌△ACD(ASA)，∴DB＝DA； (2)由(1)得△BCD≌△ACD， ∴∠CBD＝∠A＝90°，∴∠DBF＝90°. 在Rt△AED和Rt△BFD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(DE＝DF，,DA＝DB，))) ∴Rt△AED≌Rt△BFD(HL)，∴AE＝BF. 解：分两种情况讨论： ①当点P运动到AC的中点处时，AP＝BC＝5 cm. 在Rt△ABC和Rt△QPA中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BA＝PQ，,CB＝AP，)) ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)； ②当点P运动到与点C重合时，AP＝AC＝10 cm. 在Rt△ABC和Rt△PQA中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝PQ，,CA＝AP，)) ∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). 综上所述，当点P运动到AC的中点处或与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． $