1.2一定是直角三角形吗学案讲义 2025-2026学年北师大版(2024)八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理及其逆定理这一核心知识点，系统梳理勾股定理（直角三角形性质）、三角形内角和定理（角的判定）、点到直线的距离等基础内容，构建从性质到判定，结合边角关系判断直角三角形的知识支架。 资料通过考点卡片系统整合知识，设计古埃及画直角、秦九韶沙田问题等情境题，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力。课中辅助教师分层教学，课后参考答案详细解析，助力学生查漏补缺，提升应用意识。

一定是直角三角形吗学案讲义 考点卡片 1 ．点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出 或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 2 ．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大 于 0°且小于 180° . （2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180° . （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平 行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法 求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 3 ．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线） 垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离 相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 4 ．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a ，b ，斜边长为 c ，那么 a2+b2 ＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式 a2+b2 ＝c2 的变形有及 ． （4）由于 a2+b2 ＝c2＞a2 ，所以 c＞a ，同理c＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角 边． 5 ．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 ＝c2 ，那么这个三角形就是直角三角形．说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的 和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件 来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和 与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 6 ．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中 抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形 的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三 角形的斜边． 课堂巩固练习 一．选择题（共 5 小题） 1 ．在△ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别是 a ，b ，c ，则下列条件中不能说明 △ABC 是直角三角形的是 ( ) A ．（a+b）（a - b）＝c2 B ． ∠A ＝90° - ∠B C ．a：b：c ＝1 ：2 ：3 D ．6∠A ＝2∠B ＝3∠C 2 ．如图，△ABC 中，AB ＝1 ，BC ＝2 ， AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的 长度为 ( ) A ．1 B ．2 C ． D ． 3 ．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问 有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有 一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，则这块沙田的面积为 ( ) A ．65 平方里 B ．60 平方里 C ．325 平方里 D ．30 平方里 4 ．在△ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别记为 a ，b ，c ，下列结论中不正确的 是 ( ) A ．如果 a2 ＝b2 - c2 ，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90° B ．如果∠A： ∠B： ∠C ＝1 ：2 ：3 ，那么△ABC 是直角三角形 C ．如果 a2 ：b2 ：c2 ＝9 ：16：25 ，那么△ABC 是直角三角形 D ．如果∠A - ∠B = ∠C，那么△ABC 是直角三角形 5．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结， 然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是 直角．这样做的道理是 ( ) A ．直角三角形两个锐角互余 B ．三角形内角和等于 180° C ．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D ．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 二．填空题（共 5 小题） 6 ．如图，AB⊥l1 ，CB⊥l2 ，且 AB ＝12 ，AC ＝5 ，BC ＝13 ，则点 C 到直线 AB 的距 离是 ． 7．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 ． 8 ．如图，P 是直线 l 外一点，A 、B 、C 三点在直线 l 上，且 PB⊥l 于点 B， ∠APC ＝90° , 若 PA ＝4 ，PC ＝3 ，AC ＝5 ， 则点A 到直线 PC 的距离是 ． 9 ． 已知图是 4×5 的方格纸，其中每个小正方形的边长均为 1 ，每个小正方形 的顶点称为格点，已知格点线段 AB ．请写出使得△ABC 为直角三角形的格点 C 有 个． 10 ．如图，在 3×3 的网格上标出了∠1 和∠2 ，则∠1+∠2 = . 三．解答题（共 5 小题） 11 ．如图，每个小正方形的边长都为 1． （1）求四边形的面积与周长； （2）试判断△BCD 的形状． 12 ．如图，四边形 ABCD 中，AB ＝20 ，BC ＝15 ，CD ＝7 ，AD ＝24 ， ∠B ＝90° . （1）判断∠D 是否是直角，并说明理由． （2）求四边形 ABCD 的面积． 13 ．如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1． （1）求△ABC 的周长； （2）求证： ∠ABC ＝90° ; （3）若点 P 为直线 AC 上任意一点，则线段 BP 的最小值为 ． 14 ．如图，在△ABC 中，AB 边上的垂直平分线 DE 与 AB 、AC 分别交于点 D、 E ，且 CB2 ＝AE2 - CE2． （1）求证： ∠C ＝90° ; （2）若 AC ＝8 ，BC ＝6 ，求 CE 的长． 15．如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2 ，CD ＝3， （1）求 AC 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积． 一定是直角三角形吗 参考答案与试题解析 一．选择题（共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C D D A D 一．选择题（共 5 小题） 1 ．在△ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别是 a ，b ，c ，则下列条件中不能说明△ABC 是直角三角形的是 ( ) A ．（a+b）（a - b）＝c2 B ． ∠A ＝90° - ∠B C ．a：b：c ＝1 ：2 ：3 D ．6∠A ＝2∠B ＝3∠C 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的 条件即可． 【解答】解：分析各选项如下： 选项 A 、 ∵（a+b）（a - b）＝c2 ，展开得 a2 - b2 ＝c2 ，即 a2 ＝b2+c2 ，符合勾股定理逆定理，故△ABC 是 直角三角形； 选项 B 、 ∵ ∠A ＝90° - ∠B， ∴ ∠A+∠B ＝90° , 又∵三角形内角和为 180° , ∴ ∠C ＝180° - (∠A+∠B）＝90° , 故△ABC 是直角三角形， 选项 C、设 a ＝k，b ＝2k，c ＝3k（k＞0）， 则 a+b ＝c ，不能构成三角形，故该选项符合题意， 选项D：D 、设 6∠A ＝2∠B ＝3∠C ＝6k，则∠A ＝k， ∠B ＝3k， ∠C ＝2k， ∵ ∠A+∠B+∠C ＝180° , ∴k+3k+2k ＝180° , 解得 k ＝30° , 则∠B ＝90° , 故△ABC 是直角三角形． 故选：C． 2 ．如图，△ABC 中，AB ＝1 ，BC ＝2 ， AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的 长度为 ( ) A ．1 B ．2 C ． D ． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】解： ∵△ABC 中，AB ＝1 ，BC ＝2 ， ∴AB2+BC2 ＝AC2， ∴△ABC 是直角三角形， ∠B ＝90° , ∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD ＝1， 由勾股定理得， 故选：D． 3 ．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问 有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有 一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，则这块沙田的面积为 ( ) A ．65 平方里 B ．60 平方里 C ．325 平方里 D ．30 平方里 【答案】D 【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【解答】解： ∵52+122 ＝169 ，132 ＝169， ∴根据勾股定理，52+122 ＝132， ∴三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为平方里）． 综上所述，只有选项 D 正确，符合题意， 故选：D． 4 ．在△ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别记为 a ，b ，c ，下列结论中不正确的 是 ( ) A ．如果 a2 ＝b2 - c2 ，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90° B ．如果∠A： ∠B： ∠C ＝1 ：2 ：3 ，那么△ABC 是直角三角形 C ．如果 a2 ：b2 ：c2 ＝9 ：16：25 ，那么△ABC 是直角三角形 D ．如果∠A - ∠B = ∠C，那么△ABC 是直角三角形 【答案】A 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：A 、如果 a2 ＝b2 - c2 ，即 b2 ＝a2+c2 ，那么△ABC 是直角三角形且∠B ＝90° , 选项错误， 符合题意； B 、如果∠A： ∠B： ∠C ＝1 ：2 ：3 ， 由∠A+∠B+∠C ＝180° , 可得∠A ＝90° , 那么△ABC 是直角三角 形，选项正确，不符合题意； C、如果 a2：b2：c2 ＝9 ：16：25 ，满足 a2+b2 ＝c2 ，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； D 、如果∠A - ∠B = ∠C，由∠A+∠B+∠C ＝180° , 可得∠A ＝90° , 那么△ABC 是直角三角形，选项正 确，不符合题意； 故选：A． 5．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结， 然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是 ( ) A ．直角三角形两个锐角互余 B ．三角形内角和等于 180° C ．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D ．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可． 【解答】解：设相邻两个结点的距离为 m ，则此三角形三边的长分别为 3m 、4m 、5m， ∵（3m）2+（4m）2 ＝（5m）2， ∴ 以 3m 、4m 、5m 为边长的三角形是直角三角形（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形）， 故选：D． 二．填空题（共 5 小题） 6 ．如图，AB⊥l1 ，CB⊥l2 ，且 AB ＝12 ，AC ＝5 ，BC ＝13 ，则点 C 到直线 AB 的距 离是 5 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据点 C 到直线AB 的距离即为 AC 的长求解即可． 【解答】解： ∵AB⊥l1， ∴ ∠CAB ＝90° , ∵AC ＝5， ∴点 C 到直线AB 的距离是 5， 故答案为：5． 7．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 5 ． 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高． 【解答】解： ∵三角形的三边长分别为 6 ，8 ，10 ，符合勾股定理的逆定理 62+82 ＝102， ∴此三角形为直角三角形，则 10 为直角三角形的斜边， ∵三角形斜边上的中线是斜边的一半， ∴三角形最长边上的中线为 5． 故答案为：5． 8 ．如图，P 是直线 l 外一点，A 、B 、C 三点在直线 l 上，且 PB⊥l 于点 B， ∠APC ＝90° , 若 PA ＝4 ，PC ＝3 ，AC ＝5 ， 则点A 到直线 PC 的距离是 4 ． 【答案】4．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△APC 为直角三角形，得 AP⊥PC，然后再根据点到直线距离的 定义可得出答案． 【解答】解： ∵PA ＝4 ，PC ＝3 ，AC ＝5， ∴PA2+PC2 ＝AC2， ∴△APC 为直角三角形，即∠APC ＝90° , ∴AP⊥PC， ∴点A 到直线 PC 的距离是是线段 AP 的长， 即点 A 到直线 PC 的距离是是 4． 故答案为：4． 9 ．已知图是 4×5 的方格纸，其中每个小正方形的边长均为 1 ，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段 AB ．请写出使得△ABC 为直角三角形的格点 C 有 6 个． 【答案】6． 【分析】根据直角三角形的定义画出图形即可． 【解答】解：如图： 满足条件的格点 C 有 6 个， 故答案为：6． 10 ．如图，在 3×3 的网格上标出了∠1 和∠2 ，则∠1+∠2 ＝ 45° . 【答案】45° . 【分析】如图，由 AP∥BQ ，CM∥AN 知∠1 = ∠BAP ， ∠2 = ∠CAN，再利用勾股定理逆定理证△ABC 是等腰直角三角形，得∠BAC ＝45° , 据此可得∠BAP+∠CAN＝45° , 继而得出答案． 【解答】解：如图， ∵AP∥BQ ，CM∥AN， ∴ ∠1 = ∠BAP ， ∠2 = ∠CAN， 设每个小正方形的边长为 a， ∴AB2+BC2 ＝5a2+5a2 ＝10a2 ＝AC2， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠BAC ＝45° , ∴ ∠BAP+∠CAN＝45° , ∴ ∠1+∠2 ＝45° , 故答案为：45° . 三．解答题（共 5 小题） 11 ．如图，每个小正方形的边长都为 1． （1）求四边形的面积与周长； （2）试判断△BCD 的形状． 解：（1） 周长 面积 14.5； （2） △BCD 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求出 AB 、BC、CD 和 DA 的长，即可求出四边形 ABCD 的周长；利用分割 法即可求出四边形的面积； （2）连接 BD ，求出 BD 的长，利用勾股定理的逆定理即可证明出结论． 【解答】解：（1）根据勾股定理得 故四边形 ABCD 的周长为 26 + 17 + 5 +2 5 = 26 + 17 +3 5， 面积为 （2）连接 BD， ∴BC2+CD2 ＝BD2， ∴ ∠BCD ＝90° , ∴△BCD 是直角三角形． 12 ．如图，四边形 ABCD 中，AB ＝20 ，BC ＝15 ，CD ＝7 ，AD ＝24 ， ∠B ＝90° . （1）判断∠D 是否是直角，并说明理由． （2）求四边形 ABCD 的面积． 【答案】（1） ∠D 是直角．理由见解析； （2）234． 【分析】（1）连接 AC，根据勾股定理可知 AC2 ＝BA2+BC2 ，再根据 AC2 ＝DA2+DC2 即可得出结论； （2）根据 S 四边形ABCD ＝S△ABC+S△ADC 即可得出结论． 【解答】（1）解： ∠D 是直角． 理由：连接 AC， ∵ ∠B ＝90° , ∴AC2 ＝BA2+BC2 ＝400+225 ＝625， ∵DA2+CD2 ＝242+72 ＝625， ∴AC2 ＝DA2+DC2， ∴△ADC 是直角三角形，即∠D 是直角； （2）解： ∵S 四边形ABCD ＝S△ABC+S△ADC， =234． 13 ．如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1． （1）求△ABC 的周长； （2）求证： ∠ABC ＝90° ; （3）若点 P 为直线 AC 上任意一点，则线段 BP 的最小值为 2 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）运用勾股定理求得 AB ，BC 及 AC 的长，即可求出△ABC 的周长． （2）运用勾股定理的逆定理求得 AC2 ＝AB2+BC2 ，得出∠ABC ＝90° . （3）过 B 作BP⊥AC，解答即可． 解 △ABC 的周长＝2 5 + 5 +5 ＝3 5 +5， （2） ∵AC2 ＝25 ，AB2 ＝20 ，BC2 ＝5， ∴AC2 ＝AB2+BC2， ∴ ∠ABC ＝90° . （3）过 B 作BP⊥AC， ∵△ABC 的面积 解得 BP ＝2， 故答案为：2 14 ．如图，在△ABC 中，AB 边上的垂直平分线 DE 与 AB 、AC 分别交于点 D、 E ，且 CB2 ＝AE2 - CE2． （1）求证： ∠C ＝90° ; （2）若 AC ＝8 ，BC ＝6 ，求 CE 的长． 【答案】（1）见解析． （2） 【分析】（1）连接 BE ，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设 CE ＝x ，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【解答】（1）证明：连接 BE ，如图： ∵AB 边上的垂直平分线为 DE， ∴AE ＝BE， ∵CB2 ＝AE2 - CE2， ∴CB2 ＝BE2 - CE2， ∴CB2+CE2 ＝BE2 ， ∴ ∠C ＝90° ; （2）设 CE ＝x ，则 AE ＝BE ＝8 - x， ∴在 Rt△BCE 中， EC2+BC2 ＝BE2， 即 x2+62 ＝（8 - x）2 解得： 则 15．如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2 ，CD ＝3， （1）求 AC 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用勾股定理解 Rt△ABC 即可； （2） 利用勾股定理的逆定理证明△ACD 是直角三角形 ，则四边形 ABCD 的面积等于 Rt△ABC 与 Rt△ACD 面积之和． 【解答】解：（1） ∵AB⊥BC，AB ＝1 ，BC ＝2， ∴△ACD 是直角三角形， ∴四边形 ABCD 的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $