2.2基本不等式(第1课时)课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，通过“能否用其他方法证明”“类比乘法公式几何解释”等问题驱动，连接初中几何直观经验与高中逻辑推理，构建从证明方法（分析法、综合法）到几何意义的学习支架。 其亮点在于融合分析法“执果索因”与综合法“由因导果”的逻辑推理，结合圆中弦长与半径关系的几何直观，培养数学思维与眼光。总结环节明确“一正、二定、三相等”应用条件，学生可系统掌握知识，教师能依托清晰流程提升教学效率。

第 2 章 一元二次函数、方程和不等式 人教A版2019必修第一册 2.2 基本不等式（第1课时） 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标。 你还记得我们得出什么样的结论吗？ 问题1　 导入新知 基本不等式的证明 方法一　(作差法) ≤ (a>0, b>0) 的证明： ∵ - = = ≥0 ∴ (当a=b时取等号) 探究新知 证明： （当且仅当a=b时，等号成立） 思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？ 探究新知 证明： 要证 当且仅当a=b时，不等式中的等号成立． 只要证 只要证 只要证 显然成立. 所以原不等式成立． 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法； 综合法：把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法. 该证明方法称为分析法“执果索因” 当且仅当a=b时等号成立. 证明： 综合法“由因导果” 问题4： 初中对乘法公式中的字母赋予几何意义，对乘法公式进行几何解释，从图形角度理解乘法公式。能否类比以上过程，尝试对基本不等式中的字母赋予几何意义，对基本不等式进行几何解释？ ≤ (a>0, b>0) 的几何解释： D A B C E 如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD= , 半径为 . 思考：图中什么时候 = ？ 探究新知 提示　当a>0,b>0时,有①≤;②ab≤;③a+b≥2.由此我们发现若两个正数的和为定值,我们可以求这两个数乘积的最大值,若两个数的乘积为定值,我们可以求这两个数和的最小值. 问题5： 你能写出基本不等式的几种变形吗? 探究新知 小试牛刀 正数 小试牛刀 正数 取等 积定 一正、 二定、 三相等 应用新知 应用新知 总结：积定和最小；和定积最大 应用新知 题型二　利用基本不等式求最值　 利用基本不等式求最值时，需满足: （1）a，b必须是正数. （正） （2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值； 当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定） （3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等） 总结新知 2.基本不等式的使用特点 1.基本不等式的定义 3.积xy等于定值，和x＋y有最小值 和x＋y等于定值，积xy有最大值 基本不等式 “一正,二定,三相等” 算数平均数 几何平均数 两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 积等于定值，和有最小值 和等于定值，积有最小值 课堂小结 作业设计 1.小册子P143层级(一)T1、2、 4、6，层级(二)T1； 2.《三维设计》红本P23题型一、题型二全部. 重要不等式：对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． 几何意义:半径不小于半弦 例2 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 证明：因为x，y都是正数，所以. (1)当积等于定值P时，， 所以，当且仅当时，上式等号成立.于是， 当时，和有最小值. 例2 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 （2） 当和等于定值S时，， 所以，当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，积有最大值. 例2 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 [典例2]　(1)已知x＞2，求x＋的最小值； (2)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值； (3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值． [解]　(1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当x－2＝即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6. (2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，∴x(1－2x)的最大值为. [典例2]　(1)已知x＞2，求x＋的最小值； (2)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值； (3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值． (3)∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)· ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. ∴x＋2y的最小值为18. [典例2]　 (3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值． 注: 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件， 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法 创建应用基本不等式的条件． $