期中模拟卷02（沪教版：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用+数列）高二数学上学期沪教版

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用+数列 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 ． 2．已知点，则该点关于平面的对称点坐标为 . 3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ． 5．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 6．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的斜二测直观图，且，则该平面图形的原面积为 .    7．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 8．已知数列满足，且．设，则数列的前n项和 . 9．若将一个的直角三角形的一直角边放在一桌面上，另一直角边与桌面所成角为，则此时该三角板的斜边与桌面所成的角等于 . 10．在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为 . 11．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 12．如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 16．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ） A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．四棱锥体积的最大值为 D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 18．（14分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，.    (1)求异面直线和所成角； (2)求二面角的正切值. 19．（14分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 20．（18分）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 21．（18分）如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用+数列 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 ． 2．已知点，则该点关于平面的对称点坐标为 . 3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ． 5．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 6．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的斜二测直观图，且，则该平面图形的原面积为 .    7．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 8．已知数列满足，且．设，则数列的前n项和 . 9．若将一个的直角三角形的一直角边放在一桌面上，另一直角边与桌面所成角为，则此时该三角板的斜边与桌面所成的角等于 . 10．在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为 . 11．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 12．如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 16．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ） A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．四棱锥体积的最大值为 D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 18．（14分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，.    (1)求异面直线和所成角； (2)求二面角的正切值. 19．（14分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 20．（18分）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 21．（18分）如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用+数列 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【详解】∵平面∥平面， ∴平面与平面没有公共点 ∵， ∴直线没有公共点 ∴直线的位置关系是平行或异面 故答案为：平行或异面． 2．已知点，则该点关于平面的对称点坐标为 . 【答案】 【详解】求一个点关于平面的对称点坐标， 就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变， 故点关于平面的对称点坐标为. 故答案为：. 3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为. 4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以两平面的法向量共线， 所以存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 5．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】，取得到， 当时，， ，当时，不满足 所以. 故答案为：. 6．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的斜二测直观图，且，则该平面图形的原面积为 .    【答案】 【详解】因为是等腰直角三角形，且，所以， 所以， 设该平面图形的原面积为，则，即. 故答案为： 7．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 【答案】 【详解】因为与互相垂直，，， 所以， 解得. 故答案为：. 8．已知数列满足，且．设，则数列的前n项和 . 【答案】 【详解】根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 所以， 所以数列的前项和为：. 故答案为：. 9．若将一个的直角三角形的一直角边放在一桌面上，另一直角边与桌面所成角为，则此时该三角板的斜边与桌面所成的角等于 . 【答案】 【详解】如图, 直角三角形中, , , 平面, , 交于, , 此时该三角板的斜边与桌面所成的角为, 设, 则, , , . 所以该三角板的斜边与桌面所成角为. 故答案为: 10．在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为 . 【答案】 【详解】作图如下: 为二面角的一个面内一点. 是它到另一个面的距离, , 是它到棱的距离. , ， 又， 平面, 得出, 所以为二面角的平面角, . 在中, . 故答案为. 11．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 【答案】 【详解】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则， 由截面圆的周长为，得，∴， 球的半径是． 所以该球的表面积为. 故答案为：. 12．如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    【答案】 【详解】连接，依题意平面，而平面， 所以，，是的中点，则， 由于，所以， 则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，    将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，    连接，交于，在三角形中， 由余弦定理得 ， 所以的周长最小值为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】两条平行线中有一条和平面垂直，那么另外一条也和该平面垂直，故A正确； 由于垂直于同一个平面的直线平行可知B正确； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 故选：C 14．已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，， 得； 当时，， 得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 15．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 16．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ） A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．四棱锥体积的最大值为 D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 【答案】C 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵中，，侧棱平面， A选项，∴，又，且，则平面， ∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确； B选项，由，即，又且， ∴平面，∴，则为直角三角形， 又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确； C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号， ，最大值为，故C错误； D选项，因为，，，所以平面，故D正确； 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 【详解】（1）设的公差为d，则，解得， 所以.……（7分） （2）由（1）可得， 当或时，取得最小值，最小值为.……（14分） 18．（14分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，.    (1)求异面直线和所成角； (2)求二面角的正切值. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面， 则，，所以点的曲率为， 所以，所以为正三角形， 取中点，连， 则，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以即为异面直线和所成角 设，则可得，， 所以， 即异面直线和所成角为.……（7分）      （2）取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 又平面，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，    则，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角的补角. 设，设，则，，. 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为.……（14分） 19．（14分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为；……（7分） （2）假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好．……（14分） 20．（18分）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【详解】（1）由题意，，，，；以；……（4分） （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立.……（11分） （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.……（18分） 21．（18分）如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【详解】（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为.……（6分） （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以.……（12分） （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则， ， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $