学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（广西专用，测试范围：人教版第二十一章～第二十四章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（    ） A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 4．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（  　） A．110° B．120° C．130° D．140° 7．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．12 C． D．8 9．如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 10．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 11．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13．点关于原点的对称点的坐标为 ． 14．如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ． 15．为了响应“绿水青山就是金山银山”的倡导，某市年投入经费万元用于环境治理，年投入经费万元．设经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 16．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1)； (2). 18．（10分）如图所示，的三个顶点在格点上，分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转度的； (3)求（2）中，点旋转到经过的路径长． 19．（10分）如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 20．（10分）如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 21．（10分）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22．（12分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 23．（12分）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A是中心对称图形，故正确； B.不是中心对称图形，故错误； C.不是中心对称图形，故错误； D.不是中心对称图形，故错误； 故选A． 2．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不是整式方程，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； B、，含有两个未知数，并且未知数的最高次数不是二次，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，还是整式方程，故此方程是一元二次方程，符合题意； D、，未知数的最高次数不是2次，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握此定义是解此题的关键． 3．抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（    ） A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的特点即可求解． 【详解】抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（-3，﹣1） 故选D． 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数y＝（x-h）2+k的顶点为（h，k）． 4．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x）， ∴可列方程为：2500（1+x）2=3600； 故选：B． 5．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，同弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 故选：B． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（  　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】由∠A=115°，根据圆的内接四边四边形的性质求得∠BCD的度数，又由同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半继而求得∠BOD的度数． 【详解】解：∵ ∠A=115° ∴ ∠BCD=180°-∠A=65°， ∴∠BOD=2∠BCD=130°． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用． 7．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 8．若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．12 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设行车通道的宽度为． 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 10．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数图象经过的象限和与y轴交点的位置判断出一次函数解析式中a、b的符号，根据二次函数图象的开口方向和对称轴的位置判断出二次函数解析式中a、b的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，二次函数图象开口向下，则，二者不一致，不符合题意； B、一次函数图象经过第二、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向下且对称轴在y轴右侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； C、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴右侧，则，，即，二者一致，符合题意； D、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴左侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； 故选：C． 11．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故选：A． 12．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据抛物线的对称轴即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，则①正确； 抛物线与x轴没有交点， ，则②错误； 由图得：抛物线的对称轴为：， 即：，故③错误； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有2个， 故选B． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13．点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求解即可． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 14．如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ． 【答案】-2 【分析】直接利用一元二次方程的定义进而分析得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴=2，m-2≠0， 解得：m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 15．为了响应“绿水青山就是金山银山”的倡导，某市年投入经费万元用于环境治理，年投入经费万元．设经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是用含的代数式把年投入的经费表示出来为，已知年投入经费万元，根据相等关系可列关于的方程． 【详解】解：设经费投入的年平均增长率为， 则年投入经费为万元， 年投入经费为万元， 已知年投入经费万元， 可列方程为． 故答案为： ． 16．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，把求的最值转化为求的最值是关键；确定点M的运动路径；延长到E，使，连接，交于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本性质即可求得线段长度的取值范围． 【详解】解：∵， ∴在以B为圆心4为半径的圆上运动； ∵四边形为矩形， ∴； 延长到E，使，连接，交于点F、G； ∵N为的中点， ∴； 当M与F重合时，最小，且最小值为长；当M与G重合时，最大，且最大值为长； ∵，， ∴； ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， 则线段长度的取值范围是．    故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】（1）移项，直接开平方即可得到答案； （2）移项，系数化为1，配方，再直接开平方即可得到答案； 【详解】（1）解：移项得， ， 即：， 两边开平方得， ， ∴，； （2）解：移项得， ， 系数化为1得， ， 配方得， ， 两边开方得， ， ∴，； 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法并选择适当的解法求解． 18．（10分）如图所示，的三个顶点在格点上，分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转度的； (3)求（2）中，点旋转到经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)点旋转到经过的路径长为 【分析】（1）分别作出的三个顶点关于原点成中心对称的对称点，再顺次连接即可． （2）分别作出的三个顶点绕点逆时针旋转度的点，再顺次连接即可． （3）由题意可得旋转到经过的路径长为：以为圆心，和为半径，圆心角为的扇形弧长，再由勾股定理可得，代入弧长公式即可． 【详解】（1）解：∵的三个顶点分别为，，， ∴的三个顶点分别为，，， 如图所示：即为所求： （2）解：如图所示：，即为所求： （3）解：由题意可得旋转到经过的路径长为：以为圆心，和为半径，圆心角为的扇形弧长， 结合网格和图形，由勾股定理可得， ∴， ∴点旋转到经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查关于原点中心对称，旋转作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（10分）如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质就可以证明； （2）先证出是等边三角形，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 【详解】（1）∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，... 在和中， ，，， ∴ ， ∴.. （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． 20．（10分）如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接连接，可证明四边形是正方形，则，设，则，由勾股定理得，求得半径r即可． 【详解】（1）证明：连接，则． ． ， ． ． ． ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ． ． 四边形是矩形， ． 四边形是正方形． ． 设， ， ． ． ． 解得（不符合题意，舍去）． 故的半径为3． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21．（10分）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元 (3)将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于44元且不高于52元确定的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即：； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元． 22．（12分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【详解】（1）解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； （2）解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． （3）解：连接，，作于E，作的延长线交于F，如下图：    ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，10构成直角三角形，10是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 23．（12分）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键. 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 三 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIICJID] 11[AJ[B]ICIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 12[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13 14 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(10分) 5 4 2 -6-5-4-3-2-10 123456x B A 2 -3 4 -5 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) C 、.2c a 0 C--- b B Bb E a 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1※差易，年☒兴的项每诺R群‘易中海☒酷易，目疆号亚梨 (I)E 1※平苦易，裤御☒兴谢到印安诺吊群‘易中海年☒易，目号平单画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 4 5 8 9 10 11 12 C D E B C B C B C A B 第二部分（非选择题共84分) 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13.(1,-2) 14.-2 154000(1+x)2=6000 16.3≤CN≤7 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【详解】(1)解：移项得， 3(x-1)2=18, 即：(x-1)2=6,(2分) 两边开平方得， x-1=±V6, ∴x1=1+V6,x2=1-V6;(4分) (2)解：移项得， 2x2-4x=8, 系数化为1得， x2-2x=4, 配方得， x-1)2=5, 两边开方得， x-1=±V5, x1=1+5,X2=1-V5:(4分) 1/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(10分) 【详解】(1)解：△ABC的三个顶点分别为(-2，-2)，(-4，-1)，(-4，-4)， ∴.△A1B1C1的三个顶点分别为(2,2)，（4,1)，(4,4)， 如图所示：△ABC1即为所求：(5分) 6 5 4 C 3 2 A B 6-54-3-2-10 二1 23456x B A(42 C B2 C =6 (2)解：如图所示：△A2B2C2,即为所求：(7分) 6 C 4 3 A 2 6-54-3-2-10 12345 B A(A2 C C =6 (3)解：由题意可得C旋转到C2经过的路径长为：以A为圆心，AC和AC2为半径，圆心角为90°的扇 形弧长， 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 结合网格和图形，由勾股定理可得AC=AC2=V22+22=2V2, :.lcc= 200=V2m,(10分) 90x2V2π ∴点C旋转到C2经过的路径长为y2元. 19.(10分) 【详解】(1)，C0绕点C顺时针旋转60·得到CD, .C0=CD,∠0CD=60°， △ABC是等边三角形， ∴.CA=CB,∠BCA=∠OCD=60°， ·∠BCA=∠OCD,∠BC0=∠ACD, 在△BC0和△ACD中， CA=CB,∠BCO=∠ACD,CO=CD, .△BCO兰△ACD(SAS, .B0=AD.(5分) (2).C0=CD,∠0CD=60°， ∴.△OCD是等边三角形， ∴.0D=0C=6,∠0DC=60°， △BC0兰△ACD, AD=OB=8,∠BOC=∠ADC, 0A=10, ∴0A2=AD2+0D2, ∴.∠AD0=90°， ∴.∠ADC=∠AD0+∠0DC=90°+60°=150° ∴.∠B0C=∠ADC=150°(10分) 20.(10分) 【详解】(1)证明：连接0D,则OD=OB. 3/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D ·∠ODB=∠B. AB=AC, ·∠C=∠B. :∠ODB=∠C ÷OD‖AC. :DF⊥AC, ·∠AFD=90o ÷∠0DF=180°-∠AFD=90°. :OD是⊙O的半径，且DF⊥OD, :DF是⊙O的切线.(5分) (2)解：连接0G, :AC与⊙0相切于点G, .AC⊥OG. ∠0GF=∠ODF=∠GFD=90°. ·四边形ODFG是矩形， :0G=0D :四边形ODFG是正方形 ÷FG=OG=OD=0B,∠D0G=90°. 设FG=OG=0B=r, AB=AC=8,CF=1, :AG=8-1-r=7-x,0A=8-r '∠0GA=90o ·AG2+0G2=0A2. ǎ(7-2+r2=(8-)2. 4/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得r1=3,r2=-5(不符合题意，舍去). 故⊙0的半径为3.(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：由题意得，y=300-10(x-44), 即：y=-10x+740(44≤x≤52)；(2分) (2)解：根据题意得(x-40)(-10x+740)=2400, 整理得x2-114x+3200=0, 解得X1=50,X2=64（舍去)， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；(6分) (3)解：由题意得，w=(x-40)(-10x+740) =-10x2+1140x-29600 =-10(x-57)2+2890, -10<0, .当x<57时，w随x的增大而增大， .44≤x≤52， .当x=52时，w有最大值，最大值为-10(52-57)2+2890=2640， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2640 元.(10分) 22.(12分) 【详解】(1)解：x2+2x+1=0是“勾氏方程”，理由如下： :x2+2x+1=0中，a=1,V2c=2,b=1, c=V2, ∴a2+b2=c2,a,b,c能构成直角三角形， ∴.方程x2+2x+1=0是“勾氏方程”；(3分) (2)解：：关于x的方程ax2+V2cx+b=0是“勾氏方程”， ∴.a,b,c构成直角三角形，c是斜边， ∴c2=a2+b2, .△=2c2-4ab, 5/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴A=2(a2+b2-2ab)=2(a-b)2≥0， ∴关于x的勾氏方程"ax2+V2cx+b=0必有实数根.(6分) (3)解：连接OD,OB,作OE⊥CD于E,作EO的延长线交AB于F,如下图： D B :关于x的方程mx2+10W2x+n=0是勾氏方程”， ∴.m,n,10构成直角三角形，10是斜边， m2+n2=102 ABIICD,OE⊥CD, ..OF L AB,DE=CD=n, ∴∠0ED=∠0FB=90°，BF=AB=m, ∴.DB2+0E2=0D2,0F2+BF2=0B2,即n2+0E2=102,0F2+m2=10, 又m2+n2=102, ∴.0E=m,0F=n, ∴.DE=OF,OE=BF, ∴.△OED≌△BF0(SSS), ∴.∠EOD=∠OBF, ∠0BF+∠B0F=90°， ∴.∠E0D+∠B0F=90°， ∴.∠D0B=90°， ∴.∠BAD=支∠D0B=45°.(12分) 23.(12分) 【详解】(1)解：：A-1,0),B3,0)在抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)上， +6g20 6/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 a=1 解得：b=-2' ∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3.(2分) (2)解：由题意知，抛物线的对称轴为直线x=~员=1，B(3,0),C0,-3), 设点P坐标为(1，s),点Q坐标为Q(t,0), 3+0=1+t ①当BC为对角线时，{0-3=s+0’ ∫s=-3 解得：1t=2’ ∴Q(2,0; 3+1=0+t ②当BP为对角线时， (0+s=-3+0 ∫s=-3 解得：t=4 ∴Q(4,0) (3+t=1+0 ③当BQ为对角线时，{0+0=s-3’ 解得： s=3 lt=-2’ 解得：Q(-2,0), 7/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上所述，存在点Q,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形，Q点的坐标为(2,0)或(4,0)或 （-2,0. (3)当抛物线y=x2-2x-3向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线 y=(x+1)2-2(x+1)-3+4,即y=x2, 设ST的解析式为y=kx+b,点S坐标为1y,点T坐标为&2y,则F0,b), y=kx+b 联立新抛物线与直线ST的解析式得： (y=x2, ∴x2-kx-b=0, X1十X2=k,81X2=-b, Fs2=x好+(y1b)2=x好+k3x好=(1+k2)x经. 同理，FT2=(1+k2)x3, “+六=（房+）= ]=(学) :十京为定值， 1+k2=k2+2b, 解得：b=, 当b=时，十京=4， :定点F(0),京+六的值为4.（12分) 8/82025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂I×1I11/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共36分） 1.[AJIBIICIID] 5.1AIIBIICI[D] 91AJIBIICJID] 2.1AJIBIICIID] 6.1AIIBIICIID] 10.1AIIBIIC]ID] 3.IAlIBIICIID] 7.AI[BIICIID] 111AIIBIICIID 4.[A]IBIICIID] 8.AI[B][CI[D] 12.1A]IB][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13 14. 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(10分) 5 4 3 2 -654-3-2-10 123456x 3 4 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) A D B 20.(10分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) A- C 0 ! 、2c a 0 D b A B Bb E a 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ⅰ※壬卷易明海☒兴的到继联写诺吊爵‘易￥海☒酷易明目号#學 (I)'EZ ⅰ※￥耄易年☒兴的到鲜毋诺吊册‘易中每☒易州目醋号乎梨 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（    ） A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 4．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（  　） A．110° B．120° C．130° D．140° 7．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．12 C． D．8 9．如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 10．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 11．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13．点关于原点的对称点的坐标为 ． 14．如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ． 15．为了响应“绿水青山就是金山银山”的倡导，某市年投入经费万元用于环境治理，年投入经费万元．设经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 16．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1)； (2). 18．（10分）如图所示，的三个顶点在格点上，分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转度的； (3)求（2）中，点旋转到经过的路径长． 19．（10分）如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 20．（10分）如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 21．（10分）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22．（12分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 23．（12分）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $