第一章 2 矩形的性质与判定 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 陕西专版）

2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①有一个角是 的平行四边形叫做矩形 ②矩形的四个角都是 ③矩形的对角线 ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的 当堂练习 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若OA=2,则BD的长为 A.4 B.3 C.2 D.1 (第1题图) (第2题图) ◆（第3题图） (第4题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=16cm,点D为AB的中点，则CD的长 为 ( A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 3.如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，且CE=DE.若AB=2AD,则∠ADE等 于 ( A.45° B.30° C.60° D.75 4.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,点E为AB的中点，AD=6,DE=5,则线段BD的 长等于 5.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AB=AO,求∠ABD的度数 ·4 第2课时矩形的判定 知识梳理 ①有一个角是 的平行四边形是矩形 ②对角线 的平行四边形是矩形. 3有三个角是 的四边形是矩形. 当堂练习 1.下列命题正确的是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 2.如图，要使□ABCD成为矩形，可以添加的条件是 A.AB-BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.∠1=∠2 (第2题图) (第3题图) 3.如图，MN∥PQ,EF与MN,PQ分别交于A,C两点，过A,C两点作两组内错角的平分 线，分别交于点B,D,则四边形ABCD是 4.如图，在□ABCD中，点E,F分别为BC边上的点，且BE=CF,AF=DE. 求证：四边形ABCD是矩形 ·5· 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 当堂练习 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,以下说法错误的 是 ( A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD 2.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点得到一个新的四边形，对这个新的四边 形的形状描述最准确的是 ( A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,P为边BC上一动点，PE⊥AB于 点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点，则AM的最小值是 ( A.2.5 B.2.4 C.2 D.3 D (第3题图) (第4题图) 4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AB=6cm,BC=8cm,则△ABO的 周长是 cm. 5.如图，在□ABCD中，点P是AB边上一点（不与A,B重合），CP=CD,过点P作PQ⊥ CP,交AD边于点Q,连接CQ. (1)若∠BPC=∠AQP,求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，当AP=2,AD=6时，求AQ的长. ·6·于销售单价x的函数表达式为y=x十b(k≠0).将(7,500)，(12,250)分别代入，得 7k十b=500, /k=-50, 解得 .y=一50x十850.，经营部规定销售单价不得高于12 12k+b=250, b=850. 元，也不得低于7元，.7x12,∴.日均销售量y关于销售单价x的函数表达式为y =-50x十850(7≤x≤12)：(2)根据题意，得(x-5)(-50x十850)=1600.整理，得x2 -22x十117=0，解得x1=9,x2=13(不符合题意，舍去).答：销售单价应定为9元. 专练（六）概率的计算 1.C2.A3.A4.25.解：画树状图如下： 开始 总共 第-次123 第二次1公31公31公3 所有可能出现的结果234345456 有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸出的书签上的数字之和为 偶数的结果有5种：(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，.两次摸出的书签上的数字之和 为偶数的概率为号，6，解：1)画树状图如下： xy所有可能出现的结果 (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,3) (2,4) 开始 (3,1) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，点(x,y)在函数y=一x十 5的图象上的结果有4种：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，点(x,y)在函数y=-x十5的 图象上的概率为壳子：2)这个游戏不公平，理由如下：由1)可知x,y满足y>6 的结果有4种：(2,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，满足xy<6的结果有6种：(1,2)，(1,3)， （1,4),2,1),(3,1,4,1小明胜的概率为是=子小红胜的概率为号=分：号 <分，“这个游戏不公平。 专练（七）相似三角形的性质与判定 1.B2.23.9 2 6.解：如图.AN 7.解：(1)如图： 点A的坐标为(-3,0)：(2)4：18.解：(1)AE=AB, B ∴∠ABE=∠AEB.:BE平分∠CBD,.∠DBE=∠CBE.:∠ABD=∠ABE- ∠DBE,∠C=∠AEB-∠CBE,∴.∠ABD=∠C.又∠A=∠A,△ABD∽△ACB: (2:△ABD△ACB.AB=6,AC=8,六咒-铝-=号=是.AD=是AB= 号，DB=是CCD=AC-AD=子：∠CBD=90,CD=VDB+C=号C 第52页（共60页） 专练（八）投影与视图 1D2.A3.B4B5166是（只0）7：解：根据三种视图可知该工件是由 底面直径分别是4cm和8cm,高分别是2cm和8cm的两个圆柱组成的，∴.该工件的 体积为x×(告）×2+×（受）×8=136x(cm).8解：110如图： LL-1-1--1-1 主视图 左视图 俯视图 (2)这个几何体的表面有38个小正方形，去掉与地面接触的6个，则有32个小正方形 需要喷上红色的漆，.共需要漆32×2×2=256(g):(3)4 专练（九）反比例函数的性质与应用 1.B2.-203.-184.①②④5.解：(1)四边形AOEB是矩形，∴.BE=OA= 0.6X10=6(m.:AB=1mB1,6.将B1.6)代人y=交，得6=气k=6, 反比例函数的表达式是y=兰：点C的纵坐标为0,6×2=1.2当y=1.2时， 1.2=6 x=5..CF=5-1=4(m):(2)Q到水面的距离不高于3m,y≤3.当y =3时，至=3∴x=2,对于y=(>0),由反比例函数的图象与性质可知，当≤3 时，x≥2.∴.Q到BE的距离至少为2-1=1(m) 期未复习综合测试 1.B2.B3.A4.B5.D6.C7.C8.D9.∠A=∠ECD(答案不唯一)10.7 1.万12.2或号1B.解：(1)：四边形ABCD是矩形，OD=0B=DB,OC=0A =号AC,DB=AC,OD=OC=OB=OA.∠ECF=∠ODE:DE=BE,∠ODE =∠OBF.∴∠OBF=∠ECF.又，∠OFB=∠EFC,.△OBF△ECF;(2),△OBF n△BCF,OF=3,BEP=2,83-g器=是设CP=2a,则BF=号CF=3m,∴AF= OA十OF=OC+OF=3+2m+3=2m+6.由(1)，得∠OBF=∠ECF.:CD∥AB, ∴.∠ECF=∠BAF.∴.∠OBF=∠BAF.又：∠OFB=∠BFA,∴.△OFB∽△BFA, 邵票∴品=汗解得网+D上少（不合题意，含去，B肝 3 =3×1+/四-1+.BF的长度是1+丽。14.解：(1)(600-10)(10十x) 3 (2)根据题意，得(10十x)(500-10x)=8000.整理，得x2-40x十300=0，解得x=10, x2=30.要“薄利多销”，x=30不符合题意，舍去，.x=10.此时500-10×10= 400(kg),50十10=60（元/kg).答：销售价格应定为60元/kg,这时进货400kg才能恰 好卖完.15.解：(1)2(2)：四边形ABCD是菱形，AC是对角线，BC=AB=2, ∠ACB=∠ACD.:'∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠B=∠BAC= ∠ACB=∠ACD=60°.：'∠EAF=60°，.∠BAC=∠EAF,∴.∠BAE=∠CAF, .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF,.CE+CF=CE十BE=BC=2:(3)同(2)可得， △ABE≌△ACF,AE=AF.∠EAF=60°，.△AEF是等边三角形，.AE=EF= AF,∠AEF=60°.EF⊥BC,∴∠CEF=90°，∴∠AEB=90°-∠AEF=30°.又：∠B =60°，∴.∠BAE=90°，.BE=2AB=4,∴.AE=√BE-AB=√/4-2=2√3. ∴.△AEF的周长为2√5X3=6√5 第53页（共60页） 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①相等②2③相等④互相垂直 当堂练习 1.C2.C3.35°4.①②③④5.证明：：四边形ABCD是菱形，.AD=AB,∠D= ∠B,DC=BC.:CE=CF,.DC-CF=BC-CE,即DF=BE,.△ABE≌△ADF (SAS),∴.AE=AF 第2课时菱形的判定 知识梳理 ①菱形②互相垂直③相等 当堂练习 1.B2.A3.菱形4.菱形5.证明：(1)，△ABC≌△ABD,∴∠CBE=∠DBE. 'CE∥BD,∴.∠CEB=∠DBE,∴.∠CEB=∠CBE;(2):△ABC≌△ABD,BC= BD.由(I)得∠CEB=∠CBE,.CE=CB,∴.CE=BD.又：CE∥BD,∴.四边形BCED 是平行四边形.又BC=BD,.四边形BCED是菱形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 知识梳理 一半 当堂练习 1B2.453904. :5.解：(1)：AE∥BF,∠ADB=∠CBD.BD平分 ∠ABF,∠ABD=∠CBD,∠ABD=∠ADB,∴.AB=AD.同理，得AB=BC,∴AD =BC,又：AE∥BF,.四边形ABCD是平行四边形.又：AB=AD,.四边形ABCD 是菱形：(2)四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,.∠AOD=90°.：∠ADB=30°， .∠DAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-90°-30°=60°.又.AD=CD,.△ADC 为等边三角形，∴.AC=AD=6. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直角②直角③相等④一半 当堂练习 1.A2.D3.A4.85.解：：四边形ABCD是矩形，AC=BD,AC=2AO,BD= 2BO,∴.AO=OB..AB=AO,∴.AB=AO=BO,.△ABO是等边三角形，.∠ABD= 60. 第2课时矩形的判定 知识梳理 ①直角②相等③直角 当堂练习 1.C2.C3.矩形4.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD AB=DC, :BE=CF,.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，JBF=CE, AF=DE, ∴.△ABF≌△DCE(SSS),∴.∠B=∠C.又：AB∥CD,∴∠B+∠C=180°，∴∠B= ∠C=90°，∴.四边形ABCD是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 当堂练习 1.D2.C3.B4.165.解：(1)PQ⊥CP,∴∠CPQ=90°，∴∠APQ+∠BPC= 180°-∠CPQ=180°-90°=90°.：'∠BPC=∠AQP,.∠APQ+∠AQP=90°. :∠APQ十∠AQP+∠A=180°，∴∠A=90°，又：四边形ABCD是平行四边形，.四 边形ABCD是矩形：(2)，四边形ABCD是矩形，.∠D=∠CPQ=90°.在Rt△CDQ 和R1△cpQ中，CP_Cg六R△CDQ2R△CPQCHL)..pQ=-PQ,设AQ=z月 DQ=AD-AQ=6-x,∴.PQ=6-x.在Rt△APQ中，由勾股定理，得AQ+AP2= PQ,即+2=(6-)，解得x=令∴AQ的长是号 第54页（共60页）