第一章 模型构建专题 与正方形有关的常考模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 陕西专版）

null为AB的中点，∴AP=BP.由(1)知四边形PBCE是平行四边形，∴BP=CE,∴AP =CE.,CF∥AB,即EC∥AP,∴.四边形APCE是平行四边形.又，△ABC是等边三 角形，P为AB的中点，CP⊥AB,∠APC=90°，∴四边形APCE是矩形 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.C2.B3.A4.解：(1)如图， AD即为所作；(2)延长AD到点E, 使ED=AD,连接EB,EC.·:CD=BD,AD=ED,.四边形ABEC为平行四边形. ∠CAB=90°，.四边形ABEC为矩形.∴AE=BC.AE=2AD,∴BC=2AD. 能力提升 5.A6,47.108,解：DF∥AB,DF=号AB,证明如下：在△ABC中，AB=AC,AD 是△ABC的-条角平分线，·AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=号∠BAC,BD=CD, ∴.∠ADC=90°.：AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，·∠MAN=∠CAN= ∠CAM,∠DAE=∠CAD+∠CAN=∠BAC+号∠CAM=号（∠BAC+ ∠CAM=号X180=90,:CE⊥AN,∠ABC=90,四边形ADCE为矩形， ∴AF=CE,又：BD=CD,∴DF是△ABC的中位线DF∥AB,DF=AB. 思维拓展 9.解：(1)|a-√131+√6-2+(c-3)2=0,且|a-√13|≥0，√6-2≥0，(c-3)2≥ 0,a-√13=0，b-2=0,c-3=0,a=√/13，b=2,c=3.b2十c2=2+32=13= a2,.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.PM⊥AB,PV⊥AC,∴.∠AMP= ∠ANP=90°，∴.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°，∴.四边形AMPN是矩形；(2)存在. 理由如下：连接AP..四边形AMPV是矩形，.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最 短，此时SAe=合AB·AC-BC·AP,∴2X3=VEAP,AP-6正即MN 1 13 的长度最小值为区 13 微专题1 1.242.C3.D4.C 教材母题变式专题矩形中的折叠问题 【母题】 解：如图， E光折痕EF即为所求.连接AF.:AB=6cm,BC=8cm,AC F =√AB+BC=√6+8=10(cm).:折叠后点C与点A重合，.EF垂直平分AC, ∴.AF=CF,OA=OC.设AF=CF=x,则BF=(8-x)cm.在Rt△ABF中，由勾股定 理，得AF=AB十BF,即=6十(8-)，解得x=草AF=CF=草.：SA 25×6 CF·AB-TAC:OF..OF-CF,A亚=AD/BC,∠OAEE AC ∠OAE=∠OCF, ∠OCF,在△AOE和△COF中，)OA=OC, .△AOE≌△COF(ASA),∴.OE= ∠AOE=∠COF, 第4页（共60页） OF=只EF=OE+0F=9+=号 【变式练习】 1.B2.B3.5.14.解：(1)易得点B的坐标为(3,4).AB=BD=3,∴.△ABD是 等腰直角三角形，∴∠BAD=45°，则∠DAE=∠BAD=45°，易得点E在y轴上，AE =AB=3,∴.OE=1,则点E的坐标为(0,1)：(2)当点E恰好落在x轴 y 上时，如答图.：四边形OABC为矩形，∴.BC=OA=4,∠AOC= ∠DCE=90°，：D(m,1),.CD=1.由折叠的性质可得DE=BD= BC-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m,在R△CDE中，由勾股定可 理，得EC=√DE-CD=√32-1严=2√2.则有OE=OC-CE=m 答图 -2√2.在Rt△AOE中，OA十OE=AE.即4十(m-2√2)2=m2,解得m=3√2. 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.D2.D3.90°4.C5.B6.27.60°8.证明：四边形ABCD是正方形， .∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD.:∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.在Rt△ABE AE=AF, 和Rt△ADF中， .Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),.BE=DF,.BC-BE= AB=AD, CD-DF,即CE=CF.9.证明：：四边形ABCD是正方形，.AD=CD,∠A= ∠BCD=∠ADC=90°，.∠DCF=90°.DE⊥DF,.∠EDF=90°，.∠ADC ∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中，，∠A= ∠DCF,AD=CD,∠ADE=∠CDF,∴.△ADE≌△CDF(ASA),.DE=DF.10.15 或75 能力提升 1.B2.13.解：1)90-&(2)AF=DE证明如下：△OEF是等腰直角三 角形，∴.OE=OF.:四边形ABCD是正方形，∴.OA=OD,∠COD=90°，：∠AOF= 90°-a,∠DOE=90°-a,∴.∠AOF=∠DOE,∴.△AOF≌△DOE(SAS),∴AF=DE. 思维拓展 14.解：(1)PE+PF的值是定值.四边形ABCD为正方形，.AC⊥BD,.∠AOB= 90°.：PF⊥BD,PE⊥AC,∴.∠PFO=∠PEO=90°，∠EOF=∠PFO=∠PEO= 90°，.四边形PFOE为矩形，.PE=OF.又，∠PBF=45°，易得△PBF是等腰直角 三角形，PF=BR,PE+PF=OF+BF=OB=号a:(2):∠EOF=∠PE0 ∠PFO=90°，.四边形PFOE为矩形，∴.PE=OF.又：∠PBF=∠ABO=45°，易得 △PBF是等腰直角三角形，∴PF=BF,∴PEPF=OF-BF=OB=号a 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.证明：连接AC,交BD于点O.:AB⊥BC,∠ABC=90°.又四边形ABCD 是平行四边形，∴.四边形ABCD是矩形.：四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD..四边 形ABCD是正方形.3.D4.AC=BD(答案不唯一)5.证明：：四边形ABCD是 正方形，.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又：AA'=BB'=CC= DD',∴.D'A=A'B=BC=C'D.易得△AA'D'≌△BBA'≌△CCB'≌△DD'C' (SAS),∴D'A'=A'B'=B'C'=CD',∴四边形A'B'C'D'是菱形.由全等知∠AD'A'= ∠BA'B'.又∠AD'A'+∠AA'D'=90°，∴∠AA'D'+∠BA'B'=90°，.∠D'A'B'= 180°-（∠AA'D'+∠BA'B')=90°，.四边形A'BCD'是正方形.6.C 能力提升 7.D8.2√29.解：(1)四边形BDCE是矩形.理由如下：：AC=BC,D为AB的中 点，.AD=BD,CD⊥AB,.∠BDC=90°.四边形ACED为平行四边形，∴.AD∥ 第5页（共60页） CE,AD=CE,BD∥CE,BD=CE,∴.四边形BDCE是平行四边形.又：∠BDC= 90°，.四边形BDCE是矩形；(2)当∠ACB=90°时，四边形BDCE为正方形，证明如 下：：四边形ACED为平行四边形，.DE∥AC,∴∠BFD=∠ACB.:∠ACB=90°， ∴∠BFD=90°，即BC⊥DE,∴.矩形BDCE为正方形.即四边形BDCE为正方形 思维拓展 10.解：(1)如图， 过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,则∠EQF= B O FC ∠EPD=90°.·四边形ABCD为正方形，∴.∠BCD=90°，∠DCA=∠BCA,∴∠QEP =90°，EQ=EP.又：四边形DEFG为矩形，∴∠DEF=90°，∴∠QEP=∠DEF, ∠QEP-∠FEP=∠DEF-∠FEP,即∠QEF=∠PED.在△EQF和△EPD中， ∠QEF=∠PED, EQ=EP, △EQF≌△EPD(ASA),∴.EF=ED,.矩形DEFG是正方形； ∠EQF=∠EPD, (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC=√2AB=2√2.又：CE=√2，∴ AE=CE=√2，即E是AC的中点，∴.DE⊥AC,点F与点C重合，此时△DCG是等腰 直角三角形，.四边形DECG是正方形，.CG=CE=√2；(3)分两种情况进行讨论：① 当DE与AD的夹角为30时，∠EFC=120°；②当DE与DC的夹角为30时，∠EFC= 30°.综上所述，∠EFC=120°或30. 模型构建专题与正方形有关的常考模型 1.√I32.解：探究：分别过点A,D作AN∥GH,DM∥EF,分别交BC,AB于点N, M,如图②.D C.四边形ABCD是正方形，.AB∥CD,AB=CD,∠DAB= G A ME B ∠B=90°，∴.四边形DMEF是平行四边形，∴.ME=DF=1,DM=EF.:DM∥EF GH⊥EF,DM⊥GH.同理，四边形AGHN是平行四边形，∴.GH LAN.∴.AN⊥ DM,.∠DAN+∠ADM=90°..·∠DAN+∠BAN=90°，.∠ADM=∠BAN.在 △ADM和△BAN中，：∠ADM=∠BAN,AD=BA,∠DAM=∠B,∴.△ADM≌ △BAN,.DM=AN,EF=DM=GH=AN.:E为AB的中点，.AE=号AB=2, .AM=AE-ME=2-1=1,∴.DM=√AD+AM=√4+1严=√I7,∴.GH=√I7; 应用：号√5十3[解析：AB=3,∴SD=3X3=9.:阴影部分的面积与正 方形ABCD的面积之比为2：3，阴影部分的面积为号×9=6，“空白部分的面积为 9-6=3.在△ABE和△BCF中，：BE=CF,∠ABE=∠C,AB=BC,∴△ABE≌ △BCF,∠BEA=∠CFB,Sa=SmF,∠FBC+∠BEA=90,Sam=合X 3=是∴∠BGE=90∠AGB=90,设AG=a,BG=6,则宁ab=号∴2ab=6.d +6=AB2=32,∴.a2+2ab+b=32十6=15，即(a十b)2=15,.a十b=√15，即AG+ BG=√15，.△ABG的周长为√15十3]3.解：(1)，四边形ABCD和四边形 A1BCO是正方形，.AO=BO,∠AOB=∠A1OC=90°，∠OAB=∠OBC=45°， ∴∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴.∠AOE=∠BOF.∴.△AOE≌ △BOF(ASA):(2)两个正方形重叠部分的面积等于a,理由如下：△AOE≌ △BOF,∴.S△OE=S△oF,∴.Sm边形CEBF=SARB十S△F=S△DB十SAOE=S△aAB= 子Sm=子d.【变式】D4.解：四边形ABCD是正方形，BA=BC, ∠ADB=∠ABE=∠CBE=45°.又.'BE=BE,.△ABE≌△CBE(SAS),.∠BEA= 第6页（共60页） ∠BEC.:∠BEA=∠ADB+∠DAF=45°+15°=60°，∴∠BEC=60°.5.证明：在 AB上截取BM=BE,连接ME.:四边形ABCD是正方形，.∠B=∠DCB=90°，AB =BC,∴∠BME=∠BEM=45°，.∠AME=180°-∠BME=180°-45°=135°.CF 是正方形外角∠DCG的平分线，.∠DCF=45°，.∠ECF=∠ECD十∠DCF=90°十 45°=135.：∠AEF=90°，∴.∠AEB+∠CEF=90°.又∠AEB+∠MAE=90°， .∠MAE=∠CEF.:AB=BC,BM=BE,.AB-BM=BC-BE,即AM=EC. △AME≌△ECF(ASA),∴AE=EF.6.D7.解：(1)四边形BEFE是正方形.理 由如下：由旋转的性质，得∠AEB=∠BE'C=90°，BE=BE',∠ABE=∠CBE.:四边 形ABCD是正方形，∴.∠ABC=90°，即∠ABE十∠CBE=90°.，∠ABE=∠CBE, .∠CBE十∠CBE=90°，即∠EBE=90°.∠BEF=∠E=∠EBE=90°，.四边形 BEFE是矩形.BE=BE,∴.四边形BEFE是正方形；(2)四边形BEFE是正方 形，.BE=BE=6,∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB-BE=√IO一6 =8.过点D作DH⊥AE于H,易证△ADH≌△BAE(AAS),∴.AH=BE=6,DH= AE=8,.HE=AE-AH=8-6=2.在Rt△DHE中，由勾股定理，得DE= √DH+HE=√82+2=2√17.8.A9.解：(1)：四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠B=∠CDF=90°.又BE=DF,.△CBE≌△CDF(SAS),.CE=CF: (2)GE=BE+GD成立.理由如下：由(I)得，△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF, ∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.又：∠GCE=45°， .∠GCF=∠ECF-∠GCE=90°-45°=45°，.∠GCF=∠GCE.又.CE=CF,GC= GC,∴.△ECG≌△FCG(SAS),∴.GE=GF.GF=DF+DG,∴.GE=BE+GD. 陕西热点专题特殊平行四边形中的最值问题 1.B2.D3.D4.A5.D6C7.982E变式4而9反10.5反 11.4 第一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.解：(1).AD∥BC,∴.∠ADO=∠CBO.在△ADO和△CBO中，·∠ADO= ∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,.△ADO≌△CBO,∴.OD=OB,∴.四边形ABCD 是平行四边形.，'AB=BC,∴.四边形ABCD是菱形；(2)与线段CE相等的线段有： AE,DE,AG,CF.解析：由(1)知，四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD,AC⊥ BD..'AB=AC,.AB=BC=CD=AD=AC,,.△ABC和△ADC为等边三角形. CH⊥AD,AH=DH,即CH为AD的垂直平分线，AE=DE.同理，得CE= AE,AE=DE=EBC,:△ADC为等边三角形，CH⊥AD,·∠ACH=∠ACD= 30°.：∠FEC=75°，.∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°，.∠EFC=∠FEC, ∴.CF=CE.:△ABC和△ADC为等边三角形，∴.∠BAC=∠CAD=60°.：CE=AE, ∴.∠EAC=∠ECA=30°，∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∠AEC=180°-∠EAC ∠ECA=120°，∴.∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°，.△AGE为等腰直角三角形，∴.AE =AG,∴.AG=EC3.B4.B5.解：(1)选择①，AD∥BC,AB∥CD,.四边形 ABCD是平行四边形.∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形：选择②，：AD∥BC, AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形； (2):AB=3,AC=5,∠ABC=90°，∴.BC=√AC-AB=√52-32=4，∴.四边形 ABCD的面积=AB·BC=3×4=12.6.解：(1)：四边形ABCD是菱形，.AD∥BC 且AD=BC.BE=CF,.BE+EC=CF+EC,即BC=EF,∴.AD=EF.AD∥EF, .四边形AEFD是平行四边形.AE⊥BC,.∠AEF=90°，.四边形AEFD是矩形： (2):四边形ABCD是菱形，ACLBD,A0=CO-号AC=5,BC=AB=13.在R△AB0 中，由勾股定理，得BO=√AB-AO=√/132-5=12，.BD=2BO=24.:S菱形D= 合AC·BD=BC·AE,2X10X24=13XAE,∴AE- .7.B8.A9.410.A 第7页（共60页） 11.B12.60°13.214.证明：(1)四边形ABCD为正方形，∴.AB=BC,∠ABE= ∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，：AB=CB,∠ABE=∠CBE,BE=BE, ∴△EAB2△ECB:(2):四边形ABCD为正方形，∠BDC=号∠CDA=45. :△EAB2△ECB,∠AEC=45,∠CED=∠AED=号∠AEC=2.5R.:∠BDC ∠CED+∠DCE=45°，.∠DCE=45°-22.5°=22.5°，∴∠CED=∠DCE,∴.DC= DE. 易错易混专攻 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.B2.m≠43. 3 ,4.x2-x-2=01-1-22x2-5=020-54x2 -x=04-10x2+3x+2=01325.x2+4x-60=06.B 能力提升 7.(x-2)2+(x-4)2=x8.(1)1(2)0或-19.解：(1)(90-2x)(70-2x) (90一2x)(70一2x)=1700(2)用到了数形结合的数学思想；(3)化为一般形式为x2 一80x十1150=0：是一元二次方程；二次项系数为1，一次项系数为一80，常数项为 1150. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.D【变式】-22.-1,63.C4.(1)-1334-0.010.363.33.4 (2)335.-1 能力提升 6.C【拓展设问17.2025【变式1】2.5【变式248.1)256-号×1012=20 (2)203030200(3)1或4 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 基础过关 1.D2.C3.x-1=3x-1=-34-24.解：(1)移项，得3x2=27.两边同除 以3，得x2=9.两边开平方，得x=士3.x1=3,x2=-3;(2)两边开平方，得x一1= 士2，即x-1=2,或x-1=-2=3=-1.5.)42(2)366(3)房 号6.A7.解：1)移项，得x-2x=24.配方，得x-2x十1=24+1，即(x-1)= 25.两边开平方，得x-1=士5，即x-1=5,或x-1=-5..x1=6,x2=-4:(2)移项， 得x2-2x-2x=1.合并同类项，得x2一4x=1.配方，得x2-4x十22=1十2，即(x 2)2=5.两边开平方，得x-2=士√5，即x-2=√5，或x-2=-√5..x1=2十5，x2=2 -√5.8.5 能力提升 9.B10.211.1012.解：(1)原方程化简，得x2-1=3.移项，得x2=4.两边开平方， 得x=士2..x1=2,x2=-2:(2)配方，得x2十2√2x十(2)2=4十(W2)2,即(x十√2)2 =6.两边开平方，得x十√2=±6，即x十√2=√6，或x十√2=一√6.∴x=√6-√2，x =一√6-√2,13.解：设增加了x行，则增加了x列.根据题意，得(6十x)(8十x)-6× 8=51.整理，得x2十14x-51=0.配方，得(x十7)2=100.解得x1=3,x2=-17(不符合 题意，舍去).答：增加了3行3列 第8页（共60页） 思维拓展 14.(1)55253(2)① 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 基础过关 1.c2D3受x()()是器是器号号-2- 4解：1两边同除以3，得x+号x-号=0配方，得x+专x十（号）一号一（号）】 =0(+号)-子=0，移项，得(x+号)=日两边开平方，得x十子=±号即： +号号或x十号=万=-7,2两边同乘以2得-8 3 十4=0.配方，得x2-8x十42-42十4=0，(x-4)2-12=0.移项，得(x-4)2=12.两边 开平方，得x-4=士2√3.即x-4=2√5，或x-4=-2√3.x1=4十2V3,x2=4- 2√3.5.解：(1)二配方配错了，方程左边应该同时加上1再减去1，而不是4 (2)两边同除以2，得x2+2x-4=0.配方，得x2十2x十1-12-4=0，(x十1)2-5=0. 移项，得(x十1)”=5.两边开平方，得x十1=士5.即x十1=√5，或x+1=-√5.∴x= -1十√5，x2=-1-√5. 能力提升 6.C7.C【变式】D8.解：方程整理，得x2-2x=-12.配方，得x2-2x十1=-12 十1，即(x-1)2=-11.:-11<0,∴.此方程无实数根. 思维拓展 9.解：(1)x2-4x十y+2y+5=0,.(x2-4x十4)+(y2+2y+1)=0,∴.(x-2)2+ (y十1)2=0.(x-2)≥0，(y十1)2≥0，.x-2=0,y十1=0，∴.x=2,y=-1;(2):a2十 =12a+86-52,.a2-12a+-8b+52=0,.(a2-12a十36)+(6-8b+16)=0,.(a -6)2十(b-4)2=0..(a-6)2≥0，(b-4)2≥0，.a-6=0,b-4=0,.a=6,b=4. :a,b,c是等腰三角形ABC的三边长，∴c=4或6. 微专题2 1.C2.173.大24.证明：x2-6x十13=(x2-6x+9)十4=(x-3)2十4.，不论 x取何值，总有(x-3)≥0，.(x-3)2十4≥4.即不论x取何值，代数式x2-6x+13的 值总不会小于4. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时公式法 基础过关 1.4x2-12x+5=04-125(-12)-4×4X564二(-12)±V6 2×4 2 2.C3.C4,解：1)这里a=1,6=-2,c=4.b4ac=(2)24☒ 一12<0，.该方程无实数根：(2)将原方程化为一般形式，得x2一3x十1=0.这里a= 1,6=-3,c=1.:6-4ac=(-3)-4X1X1=5>0.x=二（，3)±5=3±5，即 2×1 2 =-85=35,5C6A7C8C【废式1<49D 2· 能力提升 10.A11.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2-3x-2=0.这里a=1,b=-3,c= -2.:6-4ac=(-3)-4X1×(-2)=17>0,x=二(-3)±亚=3±厘，即 2×1 2 1-3十亚，-3亚，(2)将原方程化为一般形式，得2x--3=0.这里a=2, 2 2 6=-1,c=-3.b-4ac=(-1)2-4X2X(-3)=25>0,x=二（-10生/2压 2×2 第9页（共60页）