第一章 1 菱形的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 陕西专版）

参考答案 正文答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.C2.(2,-3)3.C4.245.证明：四边形ABCD是菱形，.AB=CD=AD= BC,∠B=∠D,:CE=AF,.BC-CE=AD-AF,即BE=DF.在△ABE和△CDF AB=CD, 中，∠B=∠D,∴.△ABE≌△CDF(SAS),∠BAE=∠DCF.6.D7.4 BE=DE. 弥 .解：1)60°120°(2)：四边形ABCD是菱形，∴AB=DC,ACLBD,OD=号BD 1 帐 -×4=2,AC=2OC..在Rt△OCD中，∠ACD=30°，∴.DC=2OD=4.根据勾股定 理，得OC=√DC-OD=√/4-2=2√3，∴.AB=DC=4,AC=2OC=4√5. 9.43或2√3 能力提升 10.B1L.A12.解：(1)四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC,AB∥CD.又BE =BC,∴BE=CD,BE∥CD,四边形BECD是平行四边形，∴.BD=CE;(2)四边形 她 BECD是平行四边形，.BD∥CE,.∠ABO=∠E=50°.又四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,即∠AOB=90°，∴.∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40°. 思维拓展 封13.解：(1)DE=DF(2)DE=DF,理由如下：连接DB.:四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=CD=DA.∠A=60°，∴.△ABD和△CBD为等边三角形，∠ADB= ∠DBF=∠A=6O°，AD=BD.又：'∠EDF=60°，∴.∠ADE+∠EDB=∠BDF+ ∠A=∠DBF, 物 ∠EDB,∴.∠ADE=∠BDF.在△ADE和△BDF中，AD=BD, .∴.△ADE≌ ∠ADE=∠BDF, △BDF(ASA),.DE=DF;(3)由(2)可知DE=DF.∠EDF=60°，∴△DEF为等边 三角形，要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可.：点E为边AB上 的一点，.当DE⊥AB时，DE取得最小值，在Rt△DEA中，∠DEA=90°，∠A=60°， ∴∠ADE=30,AE=合AD=AB=2,DE=VAD-AE=VN-Z=25, ∴.△DEF周长的最小值为3×2√3=6√3；(4)由(2)可知，△ADE≌△BDF,.S△DE= S△DF,∴.S四边形DEBF=S△ABD,:△ABD的面积与点E的运动状态无关，.当点E在AB 边上运动时，四边形DEBF的面积保持不变. 第2课时菱形的判定 基础过关 1.5有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC.EF∥AD,∴.四边形ADEF是平行四边形，∠DAE=∠AEF.:AE是 ∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠EAF,∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.又：四边形 ADEF是平行四边形，∴.四边形ADEF是菱形.3.证明：：62十8=10，.BO+ AO=AB,.△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，∴.AC⊥BD.又：四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.4.四边相等的四边形是菱形5.证明： :AB=AC,AD是BC边上的中线，易得AD垂直平分BC,∴.EB=EC,FB=FC,BD =CD.CF∥BE,∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.又BD=CD,△EBD≌ △FCD(AAS),.BE=FC,.EB=BF=FC=EC,四边形BECF是菱形.6.C 第1页（共60页） 能力提升 7.C8.D9.证明：(1)连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是平行四边形，.OB =OD..BM∥DN,..∠MBO=∠NDO.又.'∠BOM=∠DON,.△BOM≌△DON (ASA),∴.OM=ON.又OB=OD,∴.四边形BMDN是平行四边形，∴.BN∥DM, .∠DMN=∠BNM:(2):四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD,∴.∠BCA= ∠DAC..'∠BAC=∠DAC,.∠BAC=∠BCA,.AB=BC,.四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,.MN⊥BD.又由(1)知四边形BMDN是平行四边形，，.四边形BMDN 是菱形 思维拓展 10.解：(1)(18-t)cm(2):BC=13cm,.Q在BC上运动时间为13÷2=6.5(s). BC+CD=13十23=36(cm),.Q运动时间最长为36÷2=18(s),.6.5s≤t≤18s 时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分， 且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平 行四边形，如答图①.：AB∥CD,即PB∥CQ,∴.只需PB=CQ即Dh 可，由(1)知，PB=(18-t)cm.Q以2cm/s的速度沿折线B-C 答图① -D向终点D运动，.CQ=2t-BC=(2t-13)cm,∴.18-t=2t 13,解得1=号：@四边形ADQP是平行四边形，如答图@.：AP D ∥DQ,∴.只需AP=DQ,四边形ADQP是平行四边形.由(1)知， AP=tcm,则DQ=CD+CB-2t=(36-2t)cm,∴.36-2t=t,解得 答图② 4=12.综上所述，当1=s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其 中的一部分是平行四边形；(3)设Q的速度为xc/s,由(2)可知，Q在CD边上，此时四 边形PBCQ可为菱形.PB∥CQ,.只需满足PB=BC=CQ即可，由(1)知，PB=(18 -t)cm,由(2)知，CQ=(xt-13)cm,BC=13cm,.18-t=13,xt-13=13,解得t=5, x=5.2,.当点Q的运动速度为5.2cm/s时，运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱 形 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.96 48 5 2.解：(1)四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,∠ABD =7∠ABC=×60=30,A0=AB=号×20=10(m),AC=2A0=2X10= 20(m).在Rt△AB0中，由勾股定理，得BO=√AB-AO=√202-10=10V3(m), BD=2B0=2X105=205(m:(2)SD=AC.BD=号×20X20V万= 200V3(m).3.B4.255.证明：四边形ABCD是菱形，AB=AD.又：MG ∥AD,NF∥AB,.四边形AMEN是平行四边形..BM=DN,.AB-BM=AD DV,即AM=AV,∴.四边形AMEV是菱形.6.解：不正确.菱形的面积等于对角线 乘积的-半，S=号×6X8=24, 能力提升 7.C8.8√39.解：(1)EF垂直平分AC,.FA=FC,EA=EC,FO⊥AC,.∠AFE =∠CFE.又：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∴.∠AFE=∠CEF, ∴∠CFE=∠CEF,∴.CF=CE,∴AE=EC=CF=FA,∴四边形AECF是菱形：(2)：AC ⊥CD,AC⊥EF,∴·EF∥CD.又.四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AD∥BC, ∴四边形ECDF是平行四边形，∴.EF=CD=AB=6.易得∠BAC=90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=√BC一AB=√102-6=8，∴.四边形AECF的面积为 合AC·EF=合X8X6=24. 思维拓展 10.解：(1)由题意可知，AB=BC=CD=DA.:AB=CD,BC=DA,∴.四边形ABCD是 第2页（共60页） 平行四边形.：AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形；(2)①：四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=DA,∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB,∴∠ABE=∠CBE= ∠CDF=∠ADF.,BE=DF,∴△ABE≌△CBE≌△ADF≌△CDF,AE=CE=CF =AF,∴.四边形AECF是菱形；②AB=15cm.[解析：连接AC,交EF于点O.:四边 形AECF是菱形，周长为80cm,EF=32cm,.AE=20cm,OE=OF=16cm,AC⊥ EF,∴.OB=OE-BE=16-7=9(cm),∠AOB=90°，∴.OA=√AE-OE= √/20-16=12(cm),.AB=√/OA+OB=√/12+9=15(cm),即AB的长为15cm] 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.C2.20°3.证明：四边形ABCD为矩形，.AB=CD,∠B=∠C=90°..BE= AB=DC, CF,∴.BE+EF=CF+EF.即BF=CE.在△ABF和△DCE中，∠B=∠C,∴.△ABF BF=CE, ≌△DCE(SAS),.AF=DE.4.C5.126.证明：四边形ABCD是矩形，.AC= BD,AD∥BC.又BE∥AC,∴.四边形AEBC是平行四边形，.BE=AC,.BE=BD. 7.C8.B9.D 能力提升 10.B1.号2.解：)：四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，CD/ EF.∠DCE=∠BEC.:CF∥ED,∴.四边形CDEF是平行四边形.EC平分 ∠DEB,.∠DEC=∠BEC..∠DEC=∠DCE,.ED=CD,.四边形CDEF是菱形： (2)连接DF,GF.·四边形ABCD是矩形，四边形CDEF是菱形，BC=3,CD=5, AD=BC=3,EF=ED=CD=5,∠DAE=∠FAG=90°，CE垂直平分DF,∴.AE= ED-AD=5-3=4,FG=DG=3-AG,..AF=EF-AE=5-4=1..AG2+ AF=FG,∴AG+1P=(8-AG,∴AG=号 思维拓展 13.解：(1)：四边形BCAD是矩形，.AD∥BC,∠DAC=90°，.∠F=∠CBF,∠EAF =90.“点G是EF的中点，AG=号EF=FG,∠F=∠GAF.:EF=2AB,AB =AG,∴.∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠ABG+ ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴.射线BF是∠ABC的一条三等分线；(2)30 第2课时矩形的判定 基础过关 1.矩形2.证明：：DE∥AC,AE∥BD,.四边形AODE是平行四边形.四边形 ABCD为菱形，，.AC⊥BD,即∠AOD=90°..四边形AODE是矩形.3.对角线相等 的平行四边形是矩形4.证明：，AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形， .AC=2OA,BD=2OD.:OA=OD,∴.AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形.5.A 6.证明：.'CE⊥AB,AF⊥CD,.∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°..四边形ABCD是 平行四边形，.AB∥CD,∴.∠FAE=∠AFD=90°，.∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°， .四边形AECF是矩形.7.C 能力提升 8.A9.B10.1211.证明：(1)：AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.又 ,E为AD的中点，.AE=DE,.△AEF≌△DEC(AAS),.FA=CD.又·D为BC 的中点，.BD=CD,.FA=BD:(2)FA=BD,AF∥BD,.四边形ADBF是平行四 边形.AB=AC,D为BC的中点，.AD⊥BC,.∠ADB=90°，.四边形ADBF是矩形. 思维拓展 12.解：(1)四边形PBCE是平行四边形.理由如下：.CF∥AB,PE∥BC,.四边形 PBCE是平行四边形；(2)当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形.理由如下：·P 第3页（共60页）第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 ②基础过关。逐点击破 知识点3菱形的对角线的性质 知识点1菱形的定义及对称性 6.下列关于菱形的性质说法错误的是() A.对角线互相平分B.对角线互相垂直 1.下列有关菱形的说法不正确的是 ( C.邻边相等 D.对角线相等 A.菱形一定是平行四边形 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD B.平行四边形不一定是菱形 C.有一组邻边相等的四边形一定是菱形 相交于点O.若AB=√5cm,AC=2cm,则 D.四条边相等的四边形一定是菱形 BD的长为 cm. 2.如图，在菱形OABC中，点B在x 轴上，点A的坐标为(2,3)，则点C 的坐标为 知识点2菱形的边、角的性质 8.（教材P3例1变式)如图，四边形ABCD是 菱形，∠ACD=30°，BD=4. 3.如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知 (1)∠BAD= ,∠ABC= ∠ADC=140°，则∠DCA的度数为( (2)求AB和AC的长. A.40° B.30° C.20° D.15 (第3题图) (第4题图) 4.(2024·西安西北工大附中月考)如图，菱形 ABCD中，E,F分别是AB,AC的中点.若 EF=3,则菱形ABCD的周长为 5.(2024·西安理工大附中期末)如图，四边形 ABCD是菱形，点E,F分别在边BC,AD 上，且CE=AF.求证：∠BAE=∠DCF !易错点点的位置不确定时，未进行分 类讨论而导致漏解 9.四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6,对 角线AC与BD相交于点O,点E在AC上.若 OE=√5，则CE的长为 1名师测控·数学I九年级上册(BS) 可能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 10.(2024·宝鸡金台区期中)如图，在平面直 13.综合与实践拓展迁移探究综合实践课上，创 角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在 新小组的同学对如图所示的含60°角的菱 x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为 形进行探究， (4,5),则点C的坐标为 【问题情境】 A.(0,-2) B.(0,-3) 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E,F分 C.(0,-2.5) D.(-2,0) 别是边AB,BC上的点，且∠EDF=60°. y F 【初步感知】 (1)若点E是AB的中点，点F是CB的中点， 则DE与DF的数量关系为 (第10题图) (第11题图) 【深入探究】 11.通性通法面积法如图，菱形ABCD的周长 (2)若点E,F分别为AB,BC上任意一点， 为40，面积为80，P是对角线BD上一点， 则DE与DF的数量关系是什么？请说 分别作点P到直线AB,AD的垂线段PE, 明理由； PF,则PE+PF的值为 (3)若AB=4,求△DEF周长的最小值： A.8B.4 C.12 D.16 【问题解决】 12.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点 (4)当点E在AB边上运动时，小明发现， O,延长AB至点E,使BE=BC,连接CE. 四边形DEBF的面积保持不变，请你帮 (1)求证：BD=CE; 助小明验证他的发现 (2)若∠E=50°，求∠BAO的度数， 第一章特殊平行四边形2 第2课时 菱形的判定 ②基础过关。逐点击破 知识点3四边相等的四边形是菱形 知识点1有一组邻边相等的平行四边形 4.用直尺和圆规作一个以线段 是菱形 AB为边的菱形，作图痕迹如图 所示，能得到四边形ABCD是 1.如图，在□ABCD中，AB= 菱形的依据是 9cm,BC=4cm,将CB沿 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边 BA方向平移得到EF(点 上的中线，点E在DA的延长线上，连接 F在边AB上)，则当BF= cm时，四 BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于 边形DAFE是菱形，依据是 点F,连接BF,CE. 求证：四边形BECF是菱形， 2.如图，在□ABCD中，AE是∠DAB的平分 线，EF∥AD交AB,CD于点F,E 求证：四边形ADEF是菱形. 知识点2对角线互相垂直的平行四边形 ?易错点由对角线的特征判定菱形时易 是菱形 出错 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD 6.下列说法正确的是 相交于点O,且AB=10,AO=8,BO=6. A.对角线互相垂直的四边形是菱形 求证：四边形ABCD是菱形， B.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 可1 能力提升。整合运用 7.(2024·渭南潼关县期末)下列平行四边形 中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形 的是 309 609 1209 又609 530s 30 160 3名师测控·数学I九年级上册(BS) 8.如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边 思维拓展。学科素养 形EFGH,要使四边形EFGH为菱形，应添 10.新考法化动为静法如图， A 加的条件是 在四边形ABCD中，AB A.AB∥DC ∥CD,∠ADC=90°，Dh B.AB=DC AB=18cm,BC=13cm,CD=23cm,动点 C.AC⊥BD P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B D.AC=BD 运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s 9.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥ 的速度沿折线B一C一D向终点D运动，其 DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接 中一个动点到达终点时，另一个动点也随 MD.BN. 之停止运动，设运动时间为ts. (1)求证：∠DMN=∠BNM; (1)用含t的式子表示PB为 (2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形 (2)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD BMDN是菱形， 分成两个部分，且其中的一部分是平行 四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中 某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q 的运动速度应为多少？ 第一章特殊平行四边形4 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 ②基础过关。逐点击破 知识点1菱形面积的计算 1.如图，在菱形ABCD中，对角 D 线AC与BD相交于点O,且 (第3题图) (第4题图)》 AC=16,BD=12,则菱形 4.(2024·渭南潼关县一模)如图，将四根长度 ABCD的面积为 相等的细木条首尾相连.用钉子钉成四边形 【拓展设问】若DH是AB边上的高，则DH ABCD,若AB=2,∠A=120°.则B,D两点 的长为 间的距离为 2.情境题花坛如图，菱形花坛ABCD的一边 5.如图，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在 长AB为20m,∠ABC=60°，沿着该菱形的 AB,AD上，且BM=DN,MG∥AD,NF∥ 对角线修建两条小路AC和BD, AB,点F,G分别在BC,CD上，MG与NF相 (1)求AC和BD的长； 交于点E (2)求菱形花坛ABCD的面积. 求证：四边形AMEN是菱形. ?易错点错误地运用菱形的面积公式 6.若菱形的两条对角线的长分别为6和8，求 菱形的面积. 解：S菱形=6×8=48. 上述解法正确吗？若不正确，请写出正确的 解题过程. 知识点2菱形的性质与判定的综合应用 3.如图，点O既是AB的中点，又是CD的中 点，且AB⊥CD,连接AC,BC,AD,BD.若 AC=2,则四边形ACBD的周长是() A.6 B.8 C.10 D.不能确定 5名师测控·数学I九年级上册(BS) 可能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 7.如图，已知菱形ABCD的周长为40，对角线 10.(教材P。“议一议”变式)【教材呈现】如下是 AC,BD交于点O,且AO+BO=14,则该菱 北师大版九年级上册数学课本第6页的部 形的面积等于 分内容 A.24 B.56 C.96 D.48 如图1-4，分别以A, C为圆心，以大于 609 2 AC的长为半径作 D 弧，两条弧分别相交 图1-4 于点B,D,依次连接A,B,C,D,四边形 B ABCD看上去是菱形 (第7题图) (第8题图) 你是怎么做的？认为小刚的做法正确吗？与同伴交流 8.(2024·广西)如图，两张宽度均为3cm的纸 定理四边相等的四边形是菱形 条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°， 请你完成这个定理的证明， 则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 (1)结合教材图1一4，完成这个定理的证明； cm (2)应用上述定理解决实际问题： 9.如图，在□ABCD中，EF垂直平分AC交 周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精 BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF. 致的吊灯，其截面如图所示，四边形 (1)求证：四边形AECF是菱形； ABCD是一个菱形内框架，四边形 (2)若AC⊥CD,AB=6,BC=10,求四边形 AECF是其外部框架，且点E,B,D,F AECF的面积. 在同一直线上，BE=DF, ①求证：四边形外框AECF是菱形； ②若外框AECF的周长为80cm,EF 32cm,BE=7cm,直接写出AB的长. 第一章特殊平行四边形6