第十一章 实数和二次根式（知识清单）数学北京版2024八年级上册

第十一章 实数和二次根式 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的 ，也叫做 （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于 . 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求 . 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为 ； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有 ； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做 . 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点二、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的 ； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个 ，0的平方根也叫做0的算术平方根， 没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 知识点三、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的 . 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为 . 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做 . 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点四、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做 . 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 知识点五、实数及分类 1.有理数和无理数统称为 . 2.实数的分类 （1）按 分类： （2）按 分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 知识点六、近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的 ，也叫做 . 2.准确数：与实际完全符合的数值称为 . 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的 . 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1） ：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2） ：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 知识点七、二次根式 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为 ； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 二次根式的性质： （1），（ ）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 二次根式的运算： 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是 . 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做 . 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 6.分母有理化 ：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 一、平方根与算术平方根 1.一个正数的平方根有两个，互为相反数 错误：忘记负根 注意：一个正数的平方根有两个，千万不能忘记负数根 （24-25八年级上·北京东城·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 2.算术平方根的双重非负性 错误：在算术平方根中，底数要大于等于0，结果也要大于等于0 注意：要注意算术平方根的双重非负性 （24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）已知：与互为相反数，求的算术平方根 3.算术平方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是100倍，结果就是10倍 （24-25八年级上·北京门头沟·阶段练习）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 二、立方根 1.无论正数、负数，还是0，均有立方根 错误：与平方根搞混，忽略负数也有立方根 注意：牢记负数也要立方根，切与原数符号保持一致，0也有立方根 （24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 2.立方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是1000倍，结果就是10倍 （24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 三、实数 1.实数的概念与分类 错误：实数的分类界限不清晰，导致分类错误 注意：掌握实数的概念，注意分类 （24-25八年级上·北京·阶段练习）在，…（两个“3”之间依次多一个“0”）中，无理数有（　　）个 A．6 B．7 C．8 D．9 2.无理数的整数部分与小数部分的计算问题 错误：不会表示无理数的小数部分 注意：用原数减去整数部分即可得到小数部分 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 四、二次根式 1.二次根式的化简问题 错误：二次根式的化简，要注意范围，尤其是带字母的式子 注意：要考虑字母的取值范围，如果是正数，直接化简即可，如果是负数，要记得留下负号 （24-25八年级上·北京西城·阶段练习）已知，则简化的结果是（    ） A．-3 B．3 C．2 D．3 2.复合二次根式的化简 错误：要会对二次根式里边的式子进行完全平方变形 注意：要会对其一一对应，知道平方数的和与2ab的对应数 已知，则（   ） A． B． C． D．2a 3.二次根式的混合运算 错误：混合运算时顺序错误，容易漏项 注意：计算时要统一标准，可以先化简成最简二次根式，再进行计算 （24-25八年级上·北京东城·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 1．（25-26九年级上·北京·开学考试）下列二次根式中，最简二次根式是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（（24-25八年级上·北京东城·阶段练习））已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 4．（（24-25八年级上·北京·阶段练习））在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 5．（（24-25八年级上·北京东城·阶段练习））如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·北京·开学考试）下列计算：①；②；③；④．其中结果确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 8．（2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 9．（2024·北京·三模）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·北京·期末）对于任意不相等的两个实数、，定义运算¤如下：，那么 ． 11．对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 12．阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 13．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）计算： 14．（24-25七年级下·北京·期中）计算： 15．（24-25八年级上·北京·期末）已知，求实数x，y的值． 16．（24-25八年级上·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 17．（25-26八年级上·北京·单元测试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用） 问题： (1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）； (2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）． 18．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1) = ； (2)化简：； (3)已知，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 实数和二次根式 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点二、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 知识点三、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点四、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 知识点五、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 知识点六、近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 知识点七、二次根式 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 二次根式的运算： 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 6.分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 一、平方根与算术平方根 1.一个正数的平方根有两个，互为相反数 错误：忘记负根 注意：一个正数的平方根有两个，千万不能忘记负数根 （24-25八年级上·北京东城·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 2.算术平方根的双重非负性 错误：在算术平方根中，底数要大于等于0，结果也要大于等于0 注意：要注意算术平方根的双重非负性 （24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）已知：与互为相反数，求的算术平方根 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性，算术平方根，解题的关键是掌握二次根式的非负性． 利用二次根式的非负性得出，然后求其算术平方根即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得， ∴， ∴的算术平方根为1． 3.算术平方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是100倍，结果就是10倍 （24-25八年级上·北京门头沟·阶段练习）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 二、立方根 1.无论正数、负数，还是0，均有立方根 错误：与平方根搞混，忽略负数也有立方根 注意：牢记负数也要立方根，切与原数符号保持一致，0也有立方根 （24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 2.立方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是1000倍，结果就是10倍 （24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 三、实数 1.实数的概念与分类 错误：实数的分类界限不清晰，导致分类错误 注意：掌握实数的概念，注意分类 （24-25八年级上·北京·阶段练习）在，…（两个“3”之间依次多一个“0”）中，无理数有（　　）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定． 本题考查的是无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：无理数有：，（两个“3”之间依次多一个“0”）共8个， 故选：C． 2.无理数的整数部分与小数部分的计算问题 错误：不会表示无理数的小数部分 注意：用原数减去整数部分即可得到小数部分 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．的被开方数是13，可以找到最接近13的两个完全平方数，来确定的整数部分，再用减去整数部分就得到小数部分，然后根据题意计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 故选B． 四、二次根式 1.二次根式的化简问题 错误：二次根式的化简，要注意范围，尤其是带字母的式子 注意：要考虑字母的取值范围，如果是正数，直接化简即可，如果是负数，要记得留下负号 （24-25八年级上·北京西城·阶段练习）已知，则简化的结果是（    ） A．-3 B．3 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简；由，再结合x的范围化简绝对值，最后进行合并计算即可. 【详解】解： ∵ ∴，， ∴. 故选：C. 2.复合二次根式的化简 错误：要会对二次根式里边的式子进行完全平方变形 注意：要会对其一一对应，知道平方数的和与2ab的对应数 已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 3.二次根式的混合运算 错误：混合运算时顺序错误，容易漏项 注意：计算时要统一标准，可以先化简成最简二次根式，再进行计算 （24-25八年级上·北京东城·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先化简二次根式，再计算除法，最后计算加减即可； （2）先根据乘法公式计算，再计算加减即可； （3）先化简二次根式，再计算加法，最后计算除法即可； （4）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】（1） （2） ， （3） （4） 1．（25-26九年级上·北京·开学考试）下列二次根式中，最简二次根式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式． 根据最简二次根式的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，选项A符合题意， B．被开方数含分母，不是最简二次根式，选项B不符合题意， C．被开方数含分母，不是最简二次根式，选项C不符合题意， D．被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，结果不是，故D项错误． 故选：B． 3．（（24-25八年级上·北京东城·阶段练习））已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 4．（（24-25八年级上·北京·阶段练习））在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵， ∴，故甲的结果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确； 故选：A 5．（（24-25八年级上·北京东城·阶段练习））如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 6．（25-26九年级上·北京·开学考试）下列计算：①；②；③；④．其中结果确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质和二次根式的计算，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：①根据二次根式的性质可得：，故正确； ②，被开方数不能为负数，所以此题无意义，故错误； ③，故正确； ④，故错误； 所以共有2个正确； 故选：B． 7．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 8．（2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 9．（2024·北京·三模）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故答案为：且． 10．（24-25八年级上·北京·期末）对于任意不相等的两个实数、，定义运算¤如下：，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，化简二次根式，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根，仿照阅读材料利用完全平方公式将写成，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负指数幂的意义，绝对值和平方根化简，零指数幂的意义；负指数幂是正指数幂的倒数，，，. 【详解】解： . 14．（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算， 熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算立方根，绝对值和算术平方根，再相加即可． 【详解】解： ． 15．（24-25八年级上·北京·期末）已知，求实数x，y的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、解二元一次方程组，由非负数的性质可得，再解二元一次方程组即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：． 16．（24-25八年级上·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)当和1时，始终输不出的值，理由见解析 (3)25，5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）按照数值转换器的规则，逐步对输入的16取算术平方根，直到得到无理数为止． （2）思考哪些数的算术平方根是其本身且为有理数，使得始终输不出无理数的值． （3）根据输出的，反向推导，找出经过一次或多次取算术平方根能得到的值． 【详解】（1）解：， ，（是无理数）， 所以输出的的值是． （2）解：或，理由如下： 因为，，0和1的算术平方根是它们本身，且是有理数， 所以当或时，始终输不出的值． （3）解：因为，， 所以或（答案不唯一）． 17．（25-26八年级上·北京·单元测试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用） 问题： (1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）； (2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）． 【答案】(1)8.25 (2) 【分析】本题考查完全平方公式，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提，理解题目中所提供的方法是解决问题的关键． （1）仿照提供的解法进行解答即可； （2）根据题目中提供的方法用含有、的代数式表示即可． 【详解】（1）解：∵， 设， ， ，解得， ， 故答案为：8.25； （2）解：∵， 设， ， ， ． 18．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1) = ； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把所求式子的分子与分母同时乘以进行分母有理化即可得到答案； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子每一项分母有理化，再计算求解即可； （3）先分母有理化得到，则可求出，再把所求式子中的替换为，进一步化简后把用替换，最后化简求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：（n为正整数） ， ∴ ； （3）解：∵， ， ，即， ， ∴ ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $