专题4.1 等式与方程（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题4.1 等式与方程 教学目标 1、认识等式与方程，了解方程的解的概念，能判断方程的解。 2、具备根据实际问题列方程的能力，熟练求解各种方程。 3、感受方程在解决实际问题中的便捷性，增强对数学的应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）等式的性质1，等式的性质2； （2）方程的概念； 2.难点 （1）能根据方程的概念解决实际问题； （2）学会运用方程解决实际问题，体会方程在数学建模中的重要作用。 知识点01 等式 1、等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式. 2、列等式的步骤： （1） 分析条件，找出等量关系； 常用的等量关系：速度×时间＝路程；售价＝标价×折扣；利润＝售价－售价等 （2） 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系. 知识点02 等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则c； （2）等式的对称性：若，则a. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列等式变形中，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）利用等式的基本性质可将等式变形为 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中根据等式的性质可以推导出的条件有 （填序号即可）． 知识点03 方程 1、方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、方程一定是等式，等式不一定是方程. 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，是方程的个数为（　　） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．5个 D．4个 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点04 方程的解和解方程 1、方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2、解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3、方程的解可能不止一个（如x=1和x=-1都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4、检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如果是关于x的方程的解，则a的值为 ． 8．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）若关于的方程有无数个解，则 ． 题型01 等式的性质1 1．把方程变形为，其方法是（    ） A．方程两边都乘1 B．方程两边都乘-1 C．方程两边都乘2 D．方程两边都乘-2 2．下列不是直接运用等式的基本性质1变形的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．若，则 ．（填“”“”或“”） 4．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（      ） 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（      ） 题型02 等式的性质2 5．设x，y，c是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 7．（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 8．有下列变形：①由，可得到；②由，可得到；③由，可得到．其中正确的是 （填序号）． 题型03 判断各式是否是方程 9．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 12．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 题型04 判断是否是方程的解 13．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 14．关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 15．是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 16．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 题型05 列方程 17．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 18．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 19．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 20．根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 题型06 已知方程的解求参数 21．方程的解是，则等于（    ） A． B． C． D． 22．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 23．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 24．已知方程中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程的解为．则这个常数是 ． 题型07 根据等式的性质解方程 25．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 26．求未知数x． (1)； (2)． 27．利用等式的性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 28．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 题型08 等式与方程新定义问题29．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 30．一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 31．已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 32．阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． A 基础部分 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列变形中，符合等式性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 5．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 6．（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 7．写出一个方程，使其满足下列条件：①它是关于的一元一次方程；②该方程的解为；③在求解过程中，至少运用一次等式的性质进行变形． 该方程可以是 ． 8．若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 9．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 10．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． B 提高部分 11．下列变形后的等式不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则（a≠0） C．若，则 D．若，则 12．已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 13．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 14．若是方程的解，则的值为 ． 15．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 16．已知是关于的方程的解，求的值． 17．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． C 培优部分 18．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 19．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 20．阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 等式与方程 教学目标 1、认识等式与方程，了解方程的解的概念，能判断方程的解。 2、具备根据实际问题列方程的能力，熟练求解各种方程。 3、感受方程在解决实际问题中的便捷性，增强对数学的应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）等式的性质1，等式的性质2； （2）方程的概念； 2.难点 （1）能根据方程的概念解决实际问题； （2）学会运用方程解决实际问题，体会方程在数学建模中的重要作用。 知识点01 等式 1、等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式. 2、列等式的步骤： （1） 分析条件，找出等量关系； 常用的等量关系：速度×时间＝路程；售价＝标价×折扣；利润＝售价－售价等 （2） 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系. 知识点02 等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则c； （2）等式的对称性：若，则a. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边都加上（或减去）同一个数或式，所得结果仍是等式，等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，熟练掌握等式的性质是关键． 根据等式的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、如果，当时，可得，故本选项变形错误； B、如果，那么，故本选项变形错误； C、如果，当时，可得，故本选项变形错误； D、如果，那么，故本选项变形正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列等式变形中，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，熟记等式的性质是解题的关键．根据等式的性质解答判断即可． 【详解】解：A、的两边都加上或减去m，得到，故该项不符合题意； B、的两边都乘以m，得到，故该项不符合题意； C、如果，在等式两边都除以，得到，当时，分式无意义，故该项符合题意； D、如果，在等式两边都除以，得到，故该项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）利用等式的基本性质可将等式变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时减去2，即可求解． 【详解】解： 等式两边同时减去2，得 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中根据等式的性质可以推导出的条件有 （填序号即可）． 【答案】①②⑤ 【分析】根据等式的性质：等式两边加同一个数）或式子）结果仍得等式;等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，由此即可求解． 【详解】，等式两边同时减2，得到，故①符合题意； ，等式两边同时除以，得到，故②符合题意； ，利用等式的性质不能得到，故③不符合题意； ，等式两边同时加1，得到，当时，可以得到；当时，不等得到，故④不符合题意； ，可以得出，等式两边同时乘以，得到，故⑤符合题意； 故答案为：①②⑤ 【点睛】此题考查的是等式的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 知识点03 方程 1、方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、方程一定是等式，等式不一定是方程. 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，是方程的个数为（　　） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式，即可判断． 【详解】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合题意； ③不是等式，故不是方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 知识点04 方程的解和解方程 1、方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2、解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3、方程的解可能不止一个（如x=1和x=-1都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4、检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如果是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出a的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得， 故答案为：4． 8．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）若关于的方程有无数个解，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程移项合并，令x系数等于0，求出的值，即可得到结果． 【详解】解：原方程经整理，得， ∵，有无数个解， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型01 等式的性质1 1．把方程变形为，其方法是（    ） A．方程两边都乘1 B．方程两边都乘-1 C．方程两边都乘2 D．方程两边都乘-2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用． 把方程变形为，我们通常称为“系数化为”，其方法是：方程两边都除以或方程两边都乘以，由此即可判断. 【详解】解：将方程变形为， 需要方程两边都除以或方程两边都乘以 故选： B． 2．下列不是直接运用等式的基本性质1变形的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是关键． 利用等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由，得，运用了等式的基本性质，不符合题意； B、由，得，是加法交换律，没有运用等式的基本性质变形，符合题意； C、由，得，运用了等式的基本性质，不符合题意； D、由，得，运用了等式的基本性质，不符合题意； 故选：B. 3．若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答，即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 4．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（      ） 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（      ） 【答案】A ，B 【分析】本题主要考查了数学基本事实应用，根据2个苹果+1个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质；2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果+1个梨个梨， 等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质； 2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克， 运用了等量的等量相等； 故答案为：A，B． 题型02 等式的性质2 5．设x，y，c是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则，故该选项错误，不合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不合题意； D. 若，则，即，故该选项错误，不合题意． 故选：B 6．下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查等式的性质．根据等式的性质逐一分析即可求解． 【详解】解：A．若，则，正确；     B．若，则，原变形错误； C．若，则，正确；     D．若，则，正确； 故选：B． 7．（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． （1）根据等式的性质1求解即可； （2）根据等式的性质2求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么，根据的是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是， ∴． 故答案为：． 8．有下列变形：①由，可得到；②由，可得到；③由，可得到．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查的是等式的性质，解决问题的关键是熟知等式的两个基本性质． 根据等式的性质对各小题进行逐一分析即可． 【详解】①、由，可得到,符合等式的性质，故符合题意； ②、由， 可得到，符合等式的性质，故符合题意； ③、由 ，将含小数的分母化为整数，方程可变为 ，题干中的变形将等式右边的错误地变成了，故变形错误，不符合题意． 故答案为：①②． 题型03 判断各式是否是方程 9．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 10．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，含有未知数的等式，叫做方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，是方程，故①正确； ，不是等式，不是方程，故②错误； ，是方程，故③正确； ，是方程，故④正确； ，不是等式，不是方程，故⑤错误； ，是方程，故⑥正确； ，是方程，故⑦正确； ，是方程，故⑧正确； 故选D． 11．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 12．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 题型04 判断是否是方程的解 13．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个方程中，看对应方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； B、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边相等， ∴是方程的解，符合题意； C、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； D、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 14．关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 15．是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． （1）将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答； （2）分别将代入方程左边和右边，看是否符合方程解得定义即可解答． 【详解】（1）将代入方程，得方程左边20， 方程右边． 因为左边右边，所以是方程的解． （2）将代入方程，得 方程左边， 方程右边． 因为左边右边，所以不是方程的解． 16．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 题型05 列方程 17．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 18．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 19．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程解应用题．根据题意，将文字描述转化为代数方程；需要找到表示某数的变量，并根据条件建立等式． 【详解】（1）解：已知某数的倍与的差等于，设某数为， 可列出方程：， 故答案为：； （2）设女生人数为， ∵班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少， ∴方程为：， 故答案为：． 20．根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （）设这个数为，根据题意列出方程即可； （）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可； （）设大约周后树苗长高到，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 题型06 已知方程的解求参数 21．方程的解是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用方程的解求参数，根据方程的解是，把代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得到： 解得：． 故选：D． 22．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值．将代入中得，将整体代入中即可得出答案． 【详解】解：将代入，得： ，即， ∴． 故选：D． 23．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：①把代入得：，故结论正确； ②若，关于x的方程，移项，得：， 则，则原结论错误； ③把代入方程得，方程一定成立， 则一定是方程的解，结论正确． 故选：B． 24．已知方程中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程的解为．则这个常数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，设这个常数为a，把代入方程得出，再求出a即可． 【详解】解：设这个常数为， 将代入，得：， 解得， 故答案为：12． 题型07 根据等式的性质解方程 25．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1解答即可； （2）根据等式的基本性质2解答即可； （3）根据等式的基本性质1和2解答即可； （4）根据等式的基本性质1和2解答即可． 【详解】（1）解：∵，等式两边同时加上得：． （2）解：，等式两边同时除以得：． （3）解：，先两边同时减去得， 再同时乘以得：． （4）解：，先两边同时减去1得， 再同时除以得：． 26．求未知数x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程，熟练掌握等式的性质2是解题的关键． （1）方程两边同时除以； （2）方程两边同时乘以． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 27．利用等式的性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，每个方程均需利用等式的性质，通过在等式两边同时进行相同的加减乘除运算，逐步将未知数单独放在等式一边，从而得知未知数的值. 【详解】（1）解：两边同时减，得 化简，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时加，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （4）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时减，得， 化简，得， 两边同时乘，得． 28．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)不正确．理由见解析 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． （1）根据等式的性质，可得答案； （2）根据等式的性质，可得答案． 【详解】（1）解：不正确，理由： 等式两边都乘， 所得等式为． （2）解：不正确，理由： 等式两边都除以， 所得等式为． 题型08 等式与方程新定义问题 29．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 30．一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解方程的运用，根据题目中方程的变化规律，即可求解，理解数量关系，找出规律是解题的关键． 【详解】解：第1个方程是，解为， 第2个方程是，解为， 第3个方程是，解为， ， 根据规律，第个方程为，解为， ∴第10个方程是，解为， 故答案为：． 31．已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于的方程得到含有，，的等式，根据题意可得恒成立，列出关于，的一元一次方程，解方程求出，，然后代入进行计算即可. 【详解】解：把代入关于的方程 得： ， ， ， ， ， ∵无论为何值，它的解总是 ∴无论为何值，恒成立， ， 解得：， ， 故答案为：． 32．阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据的结果中不含一次项，得出关于m的方程，解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到，根据方程有无数个解可得出，，求解即可． 【详解】解：（1）若，经过小魔方后的多项式， 故答案为：； （2）由题意得：，， ∵结果中不含一次项， ∴， 解得； （3），， 又 ∴， ∴， ∵方程有无数个解， ∴方程有无数个解， ∴，， ∴，． A 基础部分 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 2．下列变形中，符合等式性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的变形，关键是掌握等式的基本性质． 利用移项的知识作出判断即可确定A、B，根据等式的性质2变形即可确定C、D． 【详解】解：A、移项得，不是，选项错误，不符合题意； B、，移项得，不是，选项错误，不符合题意； C、给两边都除以，得，不是，选项错误，不符合题意； D、给两边都乘以，得，正确，符合题意； 故选：D． 3．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.如果，那么，故原说法错误，不符合题意； B.如果，那么，故原说法错误，不符合题意； C.如果，那么，说法正确，符合题意； D.如果，那么，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 5．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值及方程的解，先整理得，根据表格数据，得出当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 观察表格数据，得出当时，则； 即关于的方程的解是 故选：D． 6．（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． 根据等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么； （2）如果，那么． 故答案为：，． 7．写出一个方程，使其满足下列条件：①它是关于的一元一次方程；②该方程的解为；③在求解过程中，至少运用一次等式的性质进行变形． 该方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等式的性质，根据题目要求列一个符合要求的一元一次方程即可. 【详解】解：可逆向从入手，在方程两侧同时加减乘除相同的数； 则可得到（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） ． 8．若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 将代入方程，得即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 9．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1解答即可； （2）根据等式的基本性质2解答即可； （3）根据等式的基本性质1和2解答即可； （4）根据等式的基本性质1和2解答即可． 【详解】（1）解：∵，等式两边同时加上得：． （2）解：，等式两边同时除以得：． （3）解：，先两边同时减去得， 再同时乘以得：． （4）解：，先两边同时减去1得， 再同时除以得：． 10．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程解应用题．根据题意，将文字描述转化为代数方程；需要找到表示某数的变量，并根据条件建立等式． 【详解】（1）解：已知某数的倍与的差等于，设某数为， 可列出方程：， 故答案为：； （2）设女生人数为， ∵班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少， ∴方程为：， 故答案为：． B 提高部分 11．下列变形后的等式不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则（a≠0） C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质．根据等式的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．若，两边同时加5，等式仍成立，故A一定成立，不符合题意； B．若且，两边同时除以，等式仍成立，故B一定成立，不符合题意； C．若，两边同时除以（非零数），得，故C一定成立，不符合题意； D．若，当时，两边除以得；但若，无论、取何值等式均成立，此时无法确定，因此D不一定成立，符合题意． 故选：D． 12．已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义及解一元一次方程，解题的关键是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将代入原方程，转化为关于的一元一次方程求解． 根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的方程；对该方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出的值；将求出的值与选项对比，确定答案． 【详解】解：∵方程的解是， ∴将代入方程得：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 即． 系数化为1： 故选：B． 13．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 14．若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方程的解的应用，熟练掌握方程的解的定义并能对式子进行变形是解题的关键．先将代入方程，得到与的关系，再对所求式子变形，代入计算． 【详解】解：把代入，得，即． 把代入，得 ， 故答案为：． 15．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由题意可知，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴（千米）， 故答案为：． 16．已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】24 【分析】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，即可求得a的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 则． 17．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． C 培优部分 18．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程及其解的规律推导特定方程，解题的关键是找出解的数值与方程中第一个分式的分母、第二个分式的分子中常数项的对应关系． 设方程的解为，观察已知方程：当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为，由此得规律：解为的方程是；将代入规律式，即可得到对应方程． 【详解】解：设方程的解为， 由已知规律：解为时，方程第一个分式的分母为，第二个分式的分子为，右边恒为1， 故方程形式为． 当时，，， 代入得方程：． 故答案为：． 19．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 20．阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据的结果中不含一次项，得出关于m的方程，解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到，根据方程有无数个解可得出，，求解即可． 【详解】解：（1）若，经过小魔方后的多项式， 故答案为：； （2）由题意得：，， ∵结果中不含一次项， ∴， 解得； （3），， 又 ∴， ∴， ∵方程有无数个解， ∴方程有无数个解， ∴，， ∴，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $