专题4.3 用一元一次方程解决问题（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题4.3 用一元一次方程解决问题 教学目标 1、引导学生学会分析实际问题中的数量关系，将其转化为一元一次方程。 2、培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力，包括设未知数、列方程、解方程、检验答案等步骤。 3、让学生体会方程思想在解决实际问题中的重要性，感受数学与生活的紧密联系。 教学重难点 1.重点 （1）根据题干中的数量关系列出一元一次方程； （2）掌握一元一次方程实际应用的解题步骤； 2.难点 （1）一元一次方程实际应用中的配套问题； （2）一元一次方程实际应用中的分配问题； （3）一元一次方程实际应用中的销售问题 知识点01 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 知识点02 常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以6米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了6分钟，设小明以6米/秒的速度跑了x米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）李爽的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李爽招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李爽喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（   ） A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图是11月份的月历，用一平行四边形在月历上任意框出四个数，使这四个数的和为86．如果设其中最小的一个数为x，那么由题意得到的方程为 ． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页，若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了 页． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 ． 2 9 5 a 6．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知某茶具生产车间共有22名工人，其中生产茶杯的工人数量比生产茶壶的工人数量的2倍还多1人．(用一元一次方程解答下列问题) (1)该车间生产茶壶和茶杯的工人各有多少人？ (2)已知每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要调几名工人去生产茶壶？ 7．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 8．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）文体商店用7200元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获得利润2460元，问篮球和足球各有多少个？ 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 10．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 超过200度不超过300度的部分 超过300度的部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为136元，请求出小明家12月份的用电量． 题型01 配套问题 1．某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 2．某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 3．某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 4．今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 题型02 工程问题 5．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 6．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 7．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 8．为确保邵阳市第二届旅游发展大会“早安隆回，云上花瑶”成功举办，县委县政府要求云溪路彩虹大道修路工程6个月完工．现由甲、乙两工程队参与施工，已知甲队单独完成需要8个月，乙队单独完成需要12个月．为了能如期完工，前期由甲、乙两队共同施工，后期改由一个工程队单独施工．现工程队指挥部结合实际情况拟定两套工程方案： ①先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由甲队单独施工，保证恰好按时完成； ②先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由乙队单独施工，也保证恰好按时完成； 求两套方案中和的值． 题型03 销售盈亏 9．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠． （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠． （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？ 问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？ 10．某公司生产一种学生书包，每个成本价是元，销售价为元，第一季度销售了万个，为了进一步扩大市场，企业决定降低生产成本，经过市场调研，若第二季度这种书包每个的销售价降低，则销售量提高．问： (1)第二季度每个书包的销售价和销售量各是多少？ (2)要使第二季度销售利润（销售利润=销售价-成本价）与第一季度持平，那么该种书包的成本价应该降低多少元？ 11．甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多，然后甲、乙分别按获得和的利润率定价出售，两人都售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好能让他再购进这种时装9套，则乙原来购进这种时装多少套？ 12．材料股票市场，买卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的0.1%计算； ②过户费：按成交金额的0.1%计算； ③佣金按不高于成交金额的0.3%计算，不足5元按5元计算； 问题： (1)小王以每股5.00元的价格买入股票“美的电器”100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他盈利为_____元． (2)小张以每股元（）的价格买入以上股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算实出的价格每股是_____元（用的代数式表示），由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨_____%才不亏，（结果保留三个有效数字）． (3)小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？ 题型04 比赛积分 13．某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 14．某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 15．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分．在一场比赛中军军投了16个球，进了10个，没有罚球，总共得了24分．他在这场比赛中投进了几个3分球，几个2分球？ 16．某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 题型05 方案选择 17．一位商人来到一座新城市，想租一套房子，房东的条件是先交2000元（退租后不返还），每月租金1200元；房东的条件是每月租金1400元． (1)这位商人想在这座城市住半年，则租哪个房东的房子划算？ (2)当这位商人住多少个月时，租两个房东的房子所需租金一样？ 18．某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 19．2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 20．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 题型06 数字问题 21．如图，在的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行、同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等．下图是小兰同学要填的幻方，其中有三格被涂黑了，请你根据幻方的填数规则，求出的值． 22．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗?下面的解答过程会告诉你原因和方法．先阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设，方程两边都乘以10，可得由，可知，即（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得，即． (1)填空：将写成分数形式为______． (2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ①；②． 23．（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 24．将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 题型07 几何问题 25．如图，在水平桌面上有两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为和，且容器装满水，容器是空的．若将中的水全部倒入中，则中的水面高度比原先容器的水面高度高了，求容器的水面高度． 26．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M，N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． (1)求点M，点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； (2)若点M，点N均位于点A右侧，且，求t的值． 27．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分．现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升．注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平．又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平． (1)水槽的容积是多少？ (2)注满水槽共需几分钟？ 28．如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 题型08 动点问题 29．数轴上有点A、B、C，分别表示数、、 ． (1)求A、B两点之间的距离； (2)若点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，问多少秒后，点P与点Q重合？ 30．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 31．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合；若数轴上点A、点表示的数分别为、，则A、两点之间的距离，已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)求线段的长． (2)若点到点和点的距离相等，求的值． (3)若点到和点的距离之和为？请写出所有满足条件的值． 32．如图，点是数轴的原点，点分别是数轴上的点，且点表示的数是单项式的次数，点在原点的左侧，且． (1)点表示的数是______，点表示的数是______； (2)若点在原点的左侧，且点到点，点的距离满足，求点在数轴上表示的数； (3)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．设运动的时间为秒，当为何值时，？ 题型09 和差倍分问题 33．在一次读书日活动中，某班级把一批图书分给学生阅读．若每人分2本，则剩余30本；若每人分4本，则还缺10本．该班共有多少名学生？ 34．某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 35．甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3．求甲、乙两组的人数． 36．中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 题型10 电费和水费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 38．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 39．（分段计费）目前，某市对市区居民用气户的燃气收费以户为基础、以年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含400）的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 第二阶梯 （含1200）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 (1)一户家庭人口为3人，某年用气量为 则该年此户需缴纳燃气费用 元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5 人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 40．某物流公司一天邮寄20个包裹，若每个包裹收费以30元为标准，超出标准价格记为正数，不足标准价格记为负数，这一天的收费记录如下表： 与标准收费的差值 （单位：元） －4 －2 0 2 4 8 包裹个数 5 2 3 2 6 2 (1)该物流公司邮寄这20个包裹共收费多少元钱？ (2)该物流公司邮寄包裹按如下标准收取顾客费用（不足1千克按1千克收费）：不超过1千克收10元，超过1千克但不超过10千克，超过的部分按元／千克收费，超过10千克的部分按元／千克收费，若甲顾客邮寄的包裹重量为20千克，请用含的式子表示甲顾客邮寄包裹所需费用是多少元？ (3)在（2）的条件下，当包裹重量为14千克时，该物流公司收费40元；若乙顾客某次邮寄包裹的费用为88元，请计算乙顾客此次邮寄包裹重量是多少千克？（乙顾客邮寄包裹重量为整数千克） 题型11 行程问题 41．小王从A城到B城，速度是40千米/小时，小兰从B城到A城，速度是30千米/小时，两人同时出发，结果在距A、B两城中点10千米处相遇，求A、B两城间的距离． 42．甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 43．一天，小王和小颖在一条平缓的坡路上玩，小王从坡底跑到坡顶用时5分钟，从坡顶跑到坡底用时3分钟，已知他下坡比上坡每分钟多跑80米，小颖上坡、下坡的速度跟小王相同．从某一时刻开始，小颖从坡顶往下跑，同时小王从坡底往上跑，经过多长时间后他们俩相距56米？ 44．A、B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶． (1)如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)如果甲、乙同时出发，由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ 题型12 比例分配 45．我校食堂买来900千克大米，6天吃了180千克，照这样计算，剩下的还能吃几天？（用比例的知识解答） 46．某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 47．某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 48．六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 题型13 日历问题 49．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 50．数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 51．【综合与实践】 【知识背景】日历表中的日期数字都是按星期日，星期一，星期二，…，星期六的顺序来排列的，如图为某年1月份的日历表，在表中用一个小方框任意圈出4个阿拉伯数字（如图所示），设这4个数从小到大依次为． 【观察发现】小方框中的四个数总存在着某种数量关系． （1）若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：_______，_______，_______； （2）请用含有的式子表示； 【解决问题】利用发现的规律解决问题： （3）按照这种方法所圈出的四个数的和能否等于88？请列出一元一次方程并解答． 52．将偶数2，4，6，8，10，……按下表方式排列．请观察表格，根据表格规律回答问题： 若记表示第m行第n个数，则表示第2行第5个数是22，记为． (1)________； (2)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于102？若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (3)用含m，n的式子表示________． 题型14 古代问题 53．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 54．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 55．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 56． 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客几何？” ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭．”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等．请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐． 题型15 其他问题 57．小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：你的玻璃球的个数比我多，小亮说：你要是能给我你的，我就比你多330个了．小明原来有玻璃球多少个？ 58．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 59．商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如表： A型 B型 C型 满368优惠100 满168优惠68 满50优惠20 此次活动中，小尚和小东分别领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小尚最终使用了三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了________张B型“优惠券”． (2)若小东最终使用了5张A型、B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A型、B型“优惠券”各几张？ 60．列方程解应用题： (1)一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？ (2)一架飞机在两城之间飞行，风速为千米/时．顺风飞行需要小时分，逆风飞行需要小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程． 题型16 一元一次方程的新定义应用 61．给出定义如下：对于有理数对，我们称使等式成立的一对有理数为“有趣数对”． 如：，，所以数对，都是“有趣数对” (1)有理数对和，其中是“有趣数对”的为______； (2)若是“有趣数对”，求x的值； (3)若是“有趣数对”，求的值． 62．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，比如，，若有理数x满足，则x的值为（    ） A．4 B．5 C．21 D．5或21 63．定义：是不为1的数，我们把称为的差倒数，如的差倒数，若一个数的差倒数是7，那么这个数是 ． 64．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空：______；______． (2)若，求x的值 (3)a，b在数轴上的位置如图所示，化简． A 基础部分 1．有鸡、兔共12只，鸡和兔的腿共有28条，问鸡、兔各几只？设鸡有x只，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用一根铁丝可以围成一个长为20cm、宽为16cm的长方形．如果将它围成一个正方形，那么这个正方形的边长是（   ） A．24cm B．18cm C．12cm D．9cm 3．某服装店为回馈新老客户，打折销售店内服饰，已知店内某款服装每件的标价为380元，若按标价的八折销售，仍可获利75元，设这款服装每件的进价为x元（    ） A． B． C． D． 4．定义一种运算，规则为．若，则x的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 5．一个停车场里停有四轮小汽车和两轮摩托车共24辆．如果这两种类型的车子共有86个轮子，那么停车场里小汽车有 辆，摩托车有 辆． 6．某商场打折销售一款风扇，若每台风扇按标价的六折出售将亏损10元，而按标价的九折出售将盈利95元，则每台风扇的成本价为 ． 7．小帅把压岁钱按定期一年存入银行．当时该银行一年期定期存款的年利率为．到期支取时，利息为19.8元，则小帅的这笔压岁钱共 元，一年后小帅实得本息和为 元． 8．某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 9．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 10．为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织学生去红色革命圣地﹣延安开展研学旅行，若单独租用座客车若干辆，则恰好坐满：若单独租用座客车，则可少租一辆．且余个座位，求参加此次研学旅行的总人数． B 提高部分 11．在如图的2025年10月份的月历表中，任意框出表中同一横行上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（   ） A．9 B．24 C．30 D．36 12．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有几两？（   ） A．46 B．47 C．48 D．49 13．一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则这列火车的长度是（    ）米 A．120 B．160 C．200 D．240 14．如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是 ． 2 a b c 6 b … 15．已知数轴上两点A、B表示的数为和8．甲蚂蚁从A出发，以3个单位长度/秒向右运动；同时乙蚂蚁从B出发，以2个单位长度/秒向左运动．甲蚂蚁到原点后立即返回．向相反方向运动．甲乙蚂蚁速度一直不变，设从出发开始运动时间为t秒，则经过 秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 16．A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 (1)小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ (2)一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 17．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． C 培优部分 18．如图，在长方形中，，点在上，且．动点以1个单位长度/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间秒． 在点、在运动过程中，阴影部分（即点、、、构成的图形）面积为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 19．年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行．本次比赛共有支球队参赛，分为两个阶段．第一阶段采用单场循环赛，支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军．算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛 场． 20．【阅读理解】点A，B在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为AB，在数轴上，A，B两点之间的距离． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和-2两点之间的距离是___________；数轴上表示和3的两点之间的距离表示为___________； （2）可表示数轴上与数___________的距离；若，则___________； （3）若表示一个有理数，则的最小值是___________； （4）是所有符合成立条件的整数，则这些整数的和为___________； 【拓展探究】（5）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点对应的数为-10，点对应的数为90．若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 用一元一次方程解决问题 教学目标 1、引导学生学会分析实际问题中的数量关系，将其转化为一元一次方程。 2、培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力，包括设未知数、列方程、解方程、检验答案等步骤。 3、让学生体会方程思想在解决实际问题中的重要性，感受数学与生活的紧密联系。 教学重难点 1.重点 （1）根据题干中的数量关系列出一元一次方程； （2）掌握一元一次方程实际应用的解题步骤； 2.难点 （1）一元一次方程实际应用中的配套问题； （2）一元一次方程实际应用中的分配问题； （3）一元一次方程实际应用中的销售问题 知识点01 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 知识点02 常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以6米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了6分钟，设小明以6米/秒的速度跑了x米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键．设小明以6米/秒速度跑了x米，那么以5米/秒速度跑了米．根据“一共花了6分钟”列方程即可求解． 【详解】解：设小明以6米/秒速度跑了x米，那么以5米/秒速度跑了米． 根据题意列方程：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）李爽的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李爽招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李爽喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（   ） A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， 本题通过逆向推理，从第三天开始逐步计算每天喝饮料前的瓶数，建立方程求解． 【详解】解： 第三天：喝前剩下瓶，喝掉瓶后喝完，故，解得瓶． 第二天：喝前剩下瓶，喝掉瓶后剩下1瓶，故，解得瓶． 第一天：总共有瓶，喝掉瓶后剩下3瓶，故，解得瓶． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图是11月份的月历，用一平行四边形在月历上任意框出四个数，使这四个数的和为86．如果设其中最小的一个数为x，那么由题意得到的方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据日历特点列出方程，设其中最小的一个数为x，则其他三天分别为：，，，根据这四个数的和为86，列出方程即可． 【详解】解：设其中最小的一个数为x，则其他三天分别为：，，，根据题意得： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页，若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了 页． 【答案】35 【分析】本题考查工程问题，设当甲、乙打的字数相同时，乙打了页，根据甲、乙打的字数相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设当甲、乙打的字数相同时，乙打了页，甲、乙的工作效率（页/时间）之比为，故当乙打页时，甲在同期打了页，此期间甲打的字数为，由题意，得： ， 解得：； 故答案为：． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 ． 2 9 5 a 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列方程，，即可求解． 【详解】解：设左下角的数为，右上角的数为，第一列第二行的数为， 如图： 2 9 5 a 则由题意得：， 解得：， 由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知某茶具生产车间共有22名工人，其中生产茶杯的工人数量比生产茶壶的工人数量的2倍还多1人．(用一元一次方程解答下列问题) (1)该车间生产茶壶和茶杯的工人各有多少人？ (2)已知每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要调几名工人去生产茶壶？ 【答案】(1)该车间生产茶壶的工人有7人，生产茶杯的工人有15人； (2)需要调名工人去生产茶壶． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该车间生产茶壶的工人有人，则生产茶杯的工人有人，根据该车间共有22名工人，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要调名工人去生产茶壶，则安排人生产茶壶，)人生产茶杯，根据每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该车间生产茶壶的工人有人，则生产茶杯的工人有人， 依题意得： 解得： ， 答：该车间生产茶壶的工人有7人，生产茶杯的工人有15人； （2）解：设需要调名工人去生产茶壶，则安排人生产茶壶，人生产茶杯， 依题意得： 解得：， 答：需要调名工人去生产茶壶． 7．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 【答案】这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原计划天完成，根据两种生产方式下，这批服装的订货任务相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原计划天完成， 由题意得：， 解得， 则（套）， 答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）文体商店用7200元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获得利润2460元，问篮球和足球各有多少个？ 【答案】足球有65个，篮球有80个 【分析】本题考查了销售问题．方法一：先求出篮球的定价，然后求出15个篮球的销售总额，假设篮球的数量和足球的数量相同，求出总共的销售额，用总销售额除以篮球和足球合计单价即可求出足球的个数，足球的个数加上15即为篮球的个数．方法二：列一元一次方程进行求解，先求出篮球的定价，设足球有x个，篮球有个，根据题中数量关系列出一元一次方程并求解即可得到答案． 【详解】解：方法一：∵出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多， ∴每个篮球的定价：（元）， 15个篮球的销售额：（元）， 若篮球的数量和足球的数量相同，则总共的销售额为： （元） 此时篮球和足球合计单价：（元）， ∴足球个数：（个）， 篮球个数：（个）； 答：足球有65个，篮球有80个． 方法二： 解：设足球有x个，则篮球有个， ∵出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多， ∴每个篮球的定价为（元）， 由题意得， 解得， ∴篮球个数为（个）， 答：足球有65个，篮球有80个． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 【答案】(1)16 (2)20元 【分析】（1）根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可； （2）设每根跳绳的标价为元．根据题意，得．解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可， 故答案为：16． （2）解：设每根跳绳的标价为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：每根跳绳的标价为20元． 10．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 【答案】(1)点P表示的数为，点Q表示的数为 (2)两点在2.4秒后相遇 (3)第二次相遇的位置是 【分析】本题考查数轴、数轴上的动点，涉及解一元一次方程等知识，掌握数轴上的动点的性质是解题关键． （1）根据题意即可求出点和点所表示的数； （2）根据题意可得进行求解即可； （3）先分析点P到达点B的时间，再分析点Q到达点A的时间可得第二次相遇发生在点返回、点返回后，设第二次相遇时间为秒（），根据题意列出点和点的方程进行联立求解即可． 【详解】（1）由题意可得， 点从出发向右运动，秒后的位置为：， 点从出发向左运动，秒后的位置为：； （2）当时，两点相遇得，， ， ， ， ∴两点在2.4秒后相遇； （3）点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时，点的位置为， ∴点还未到达点，仍在向左运动； 点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时点已从返回运动秒，位置为， ∴第二次相遇发生在点返回、点返回后； 设第二次相遇时间为秒（）， 此时点经过秒到达，剩余秒向左运动， 位置为， 点经过秒到达A，剩余秒向右运动， 位置为， 联立方程得， ， ， ， 解得， 将t代入或计算位置得， ， ∴两点第二次相遇时的位置是． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 超过200度不超过300度的部分 超过300度的部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为136元，请求出小明家12月份的用电量． 【答案】(1)六月份，228 (2)当时，电费为元；当时，电费为元 (3)260度 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式，一元一次方程的应用； （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）分两种情况：当时，当时，根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）设小明家12月份的用电量为y度，根据“阶梯价格”，结合小明家12月份的电费为136元，即可求解． 理解“阶梯价格”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 六月份用电量最多， 实际用电量为（度）； （2）解：当时，小明家该月的电费为：元； 当时，小明家该月的电费为：元； （3）解：∵（元），（元）， ∴小明家12月份的用电量超过200度，不足300度， 设小明家12月份的用电量为y度，根据题意得： ， 解得：， 答：小明家12月份的用电量为260度． 题型01 配套问题 1．某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套 【分析】本题考查了一元一次方程在配套问题中的应用，解题的关键是根据＂一个盒身配两个盒底＂这一配套关系列出方程 设制作盒身的工人数为，则制作盒底的工人数为，根据盒底数量是盒身数量的2倍列出方程求解． 【详解】解：设安排人制作盒身，人制作盒底 才能使每小时制作的盒身与盒底恰如配套． ． 答：安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 2．某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 【答案】应安排人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆，利用生产螺母的总数量是生产螺杆总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆， 根据题意得：， 解得：． 答：应安排人生产螺母． 3．某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件， 由题意得：， 解得， （人． 答：应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 4．今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 【答案】用60张卡纸做底面 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面． 根据题意，得 解得 答：用60张卡纸做底面． 题型02 工程问题 5．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 【答案】先安排2人工作4小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 设先安排x人工作，把这份工作看作“1”，由题意易知一个人完成这份工作的工作效率为，然后根据题意可列方程求解即可． 【详解】解：设先安排x人工作，把这份工作看作单位“1”，由题意得： ， 解得：. 答：先安排2人工作4小时． 6．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)甲乙再合作10天才能把该工程完成 (2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量乙队完成的工作量总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用甲队每天的施工费用甲队工作的时间乙队每天的施工费用乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成． （2）解：（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． 7．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【答案】公司的工作时间为4天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：公司的工作时间为4天． 8．为确保邵阳市第二届旅游发展大会“早安隆回，云上花瑶”成功举办，县委县政府要求云溪路彩虹大道修路工程6个月完工．现由甲、乙两工程队参与施工，已知甲队单独完成需要8个月，乙队单独完成需要12个月．为了能如期完工，前期由甲、乙两队共同施工，后期改由一个工程队单独施工．现工程队指挥部结合实际情况拟定两套工程方案： ①先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由甲队单独施工，保证恰好按时完成； ②先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由乙队单独施工，也保证恰好按时完成； 求两套方案中和的值． 【答案】； 【分析】本题考查了工程问题，根据题意寻找等量关系是解题的关键； ①根据题意列方程，解方程可得m的值； ②根据题意列方程，解方程可得n的值； 【详解】①由题知，，解得； ②由题知，，解得． 答：方案①中；方案②中． 题型03 销售盈亏 9．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠． （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠． （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？ 问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？ 【答案】问题一：189或210元；问题二：600元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 问题一：分两种情况：若一次购物少于200元；若一次购物满200元，但不超过500元，即可求解； 问题二：设小强所购商品的原价为x元，根据“若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．”列出方程，即可求解． 【详解】解：问题一：若一次购物少于200元，则小明所购商品的原价是189元； 若一次购物满200元，但不超过500元，则小明所购商品的原价是元； 综上所述，小明所购商品的原价是189或210元； 问题二：根据题意得：小强所购商品的原价超过500元， 设小强所购商品的原价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：小强所购商品的原价为600元． 10．某公司生产一种学生书包，每个成本价是元，销售价为元，第一季度销售了万个，为了进一步扩大市场，企业决定降低生产成本，经过市场调研，若第二季度这种书包每个的销售价降低，则销售量提高．问： (1)第二季度每个书包的销售价和销售量各是多少？ (2)要使第二季度销售利润（销售利润=销售价-成本价）与第一季度持平，那么该种书包的成本价应该降低多少元？ 【答案】(1)第二季度每个书包的销售价为元，销售量为个 (2)该种书包的成本价应该降低元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）计算第二季度的销售价和销售量，直接应用百分比变化即可． （2）设成本价降低元，则第二季度每个的成本价为元，通过建立方程，使第二季度的总利润与第一季度相等，从而求解成本价降低的金额，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，新售价为：（元）． 新销售量为：（个）． 答：第二季度每个书包的销售价为元，销售量为个． （2）解：设成本价降低元，则第二季度每个的成本价为元． 第二季度每个利润为：元． 总利润为：． 第一季度总利润为：． 根据题意，第二季度总利润需与第一季度相等， ． ∴． 解得：． 答：成本价应降低1元． 11．甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多，然后甲、乙分别按获得和的利润率定价出售，两人都售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好能让他再购进这种时装9套，则乙原来购进这种时装多少套？ 【答案】乙原来购进这种时装套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，按比例设未知数是解题关键．分析题意，设甲原来购进这种时装套，则乙原来购进这种时装套，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲原来购进这种时装套，则乙原来购进这种时装套，甲、乙时装的进价为单位“1”． 由题意可得： 解得： 则 答：乙原来购进这种时装套． 12．材料股票市场，买卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的0.1%计算； ②过户费：按成交金额的0.1%计算； ③佣金按不高于成交金额的0.3%计算，不足5元按5元计算； 问题： (1)小王以每股5.00元的价格买入股票“美的电器”100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他盈利为_____元． (2)小张以每股元（）的价格买入以上股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算实出的价格每股是_____元（用的代数式表示），由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨_____%才不亏，（结果保留三个有效数字）． (3)小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？ 【答案】(1) (2)， (3)卖出的价格是每股元． 【分析】本题侧重考查一元一次方程应用． （1）当佣金小于等于5时，盈亏=股票卖价×股票数量-股票买价×股票数量-（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入），把相关数值代入即可求解； （2）佣金大于5，不赢不亏，则股票卖价×股票数量-股票买价×股票数量-（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入），把相关数值代入即可求解； （3）当佣金大于5时，盈亏=股票卖价×股票数量-股票买价×股票数量-（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入）（总成本+总收入），代入数据计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； 故答案为：； （2）解：∵， 设卖价为x，买入以上股票股， 由题意得：， 解得， ∴增长的百分率为； 故答案为：，； （3）解：∵， ∴可以直接用公式计算佣金， 设卖出的价格每股是x元， 依题意得：， 解之得：（元） 答：卖出的价格是每股元． 题型04 比赛积分 13．某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 【答案】(1)甲队没有资格参加决赛，理由见解析 (2)乙队在初赛阶段胜8场，负2场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解． （1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得； （2）设乙队在初赛阶段胜场，则负了场，根据以上数量关系列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：甲队没有资格参加决赛，理由如下： 甲队积分为（分），， 所以甲队没有资格参加决赛． （2）解：设乙队在初赛阶段胜x场，则负场． 由题意，得， 解得， 所以． 故乙队在初赛阶段胜8场，负2场． 14．某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 15．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分．在一场比赛中军军投了16个球，进了10个，没有罚球，总共得了24分．他在这场比赛中投进了几个3分球，几个2分球？ 【答案】4个3分球，6个2分球 【分析】本题主要是一元一次方程的应用，运用一元一次方程解法的知识进行计算，即可解答本题． 设他在这场比赛中投进了个3分球，则进了个2分球，根据总共得了24分即可列方程求解． 【详解】解：设他在这场比赛中投进了个3分球，则进了个2分球，根据题意得， ， ， 2分球： 个， 答：他在这场比赛中投进了4个3分球，6个2分球． 16．某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)该参赛者答对的题数为41． (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查读表能力和一元一次方程应用或假设法应用，掌握这些方法是解题关键． （1）通过读表格参赛者A即可得出答对一题得2分，通过参赛者B得知48×2=96，而实际只得94分，错了两个题扣了2分，所以答错一题扣1分； （2）通过设未知数或假设全对再求答错个数来求出实际答对个数； （3）通过（2）中的方法对答对题目个数进行求解，得到个数不是整数从而证明不可能得到90分． 【详解】（1）解：由表格知，答对一题得分，答错一题扣分； 故答案为：2；1； （2）设该参赛者答对的题数为x． 依题意，． 解得． 所以，该参赛者答对的题数为41． （3）若某参赛者的得分为90，设其答对题数为m． 则， 解得． 因为不是整数，参赛者的得分不可能是90． 题型05 方案选择 17．一位商人来到一座新城市，想租一套房子，房东的条件是先交2000元（退租后不返还），每月租金1200元；房东的条件是每月租金1400元． (1)这位商人想在这座城市住半年，则租哪个房东的房子划算？ (2)当这位商人住多少个月时，租两个房东的房子所需租金一样？ 【答案】(1)住半年时，租房东的房子划算 (2)当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样 【分析】分别计算住半年时,房东的租金并比较； 设住的月数为未知数，根据租金一样列一元一次方程求解． 【详解】解：（1）如果住半年，交给房东的租金是（元）； 交给房东的租金是（元）． 因为，所以住半年时，租房东的房子划算． 故答案为：住半年时，租房东的房子划算． （2）设当这位商人住个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 根据题意，得，解得． 故当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 故答案为：当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（收费问题），解题关键是根据不同房东的收费模式，准确列出租金的表达式，再通过计算或列方程求解． 18．某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 19．2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【答案】(1)种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； (2)见详解 (3)A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元，分别写出、关于的表达式，再比较二者大小即可； （3）设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个，根据题意列关于的一元一次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， ∴（元）， 种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； （2）解：设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元． 根据题意，， ． 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； ∴ ∴当购买B种款式吉祥物大于个时，选择方案二合算； 当购买B种款式吉祥物等于个时，选择方案一和方案二一样合算； 当购买B种款式吉祥物大于个且小于个时，选择方案一合算； （3）解：∵打折后一周内两款吉祥物共售出100个， ∴设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个， ∵A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，且A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个， ∴， 解得． ∴ 则A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个． 20．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有48名学生，（2）班有56名学生 (2)可以节省304元钱 (3)购买51张票比较省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生，分两种情况：根据题意，列出方程，即可求解； （2）求出作为一个团体购票，应付的费用，即可求解； （3）求出买48张13元的票以及 买51张11元的票花费的钱数，即可求解． 【详解】（1）解：设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生， 若，此时，根据题意得： ， 解得：，不符合题意； 若，此时，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：（1）班有48名学生，（2）班有56名学生； （2）解：∵， ∴作为一个团体购票，应付元， 元， 答：可以节省304元钱； （3）解：若买48张13元的票，则花费的钱数为元， 若买51张11元的票，则花费的钱数为元， 因为， 所以购买51张票比较省钱． 题型06 数字问题 21．如图，在的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行、同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等．下图是小兰同学要填的幻方，其中有三格被涂黑了，请你根据幻方的填数规则，求出的值． 【答案】的值是5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 答：的值是5． 22．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗?下面的解答过程会告诉你原因和方法．先阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设，方程两边都乘以10，可得由，可知，即（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得，即． (1)填空：将写成分数形式为______． (2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ①；②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用． （1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可； （2）①设，方程两边都乘以100，转化为，求出其解即可． ②设，就可以得到，就有，就有，求出其解即可． 【详解】（1）解：设， 方程两边都乘以10得：， ∴． 故答案为：； （2）解：①设，方程两边都乘以100，可得， 由，可知， 即， 解得， 即． ②设，则， ∴， ∴， 解得，， 即． 23．（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方 （3）见解析，答案不唯一 （4）13 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算， 对于（1），根据口诀填写即可； 对于（2），①求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方；②由（1）及（2）①中的幻方，即可得出答案； 对于（3），求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方； 对于（4），由第一行及对角线上的三个数字之和相等，可得出关于y的一元一次方程，求出解，再由第三行及第二列上的三个数字之和相等，可列出关于x的一元一次方程，求出解，接下来将其代入待求式，可得答案. 【详解】解：（1）如图所示， （2）①∵，， ∴将图1中每个方格中的数字即可， 如图所示. ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方； （3）∵， ∴图1中每个方格的数字即可， 如图所示.（答案不唯一） （4）∵， 解得. ∵， 即， 解得， ∴. 故答案为：13. 24．将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)150； (2)不能，理由见解析 【分析】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据图示进行计算便可得结果，可得这5个数的和；用a表示出其余4个数，再求和即可； （2）根据（1）中的代数式，结合题意列出a的方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，这5个数的和为：， 设正中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴十字框内5个数的和为：， 故答案为：150；； （2）解：不能，理由如下： 根据题意得，， 解得，，不是整数， ∴十字框中的五个数之和能等于2026． 题型07 几何问题 25．如图，在水平桌面上有两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为和，且容器装满水，容器是空的．若将中的水全部倒入中，则中的水面高度比原先容器的水面高度高了，求容器的水面高度． 【答案】 【分析】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体体积的计算方法是正确解答的关键．据立体图形的体积的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设容器的水面高度为，则容器中水面的高度为， 由题意得， 解得， 答：容器的水面高度． 26．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M，N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． (1)求点M，点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； (2)若点M，点N均位于点A右侧，且，求t的值． 【答案】(1)点M表示的数是，点N表示的数是 (2)运动时间t为4秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离． （1）根据运动方向和运动速度可表示出M与N表示的数； （2）分别用含t的代数式表示出和，再列方程即可． 【详解】（1）解：点M表示的数是，点N表示的数是 （2）解：∵，， 又 ∴， 解得， 即运动时间t为4秒． 27．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分．现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升．注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平．又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平． (1)水槽的容积是多少？ (2)注满水槽共需几分钟？ 【答案】(1)60升 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、长方体的体积，熟练掌握一元一次方程的应用是解题关键． （1）设右边每分钟注水升，根据3分钟之后，右边的水会流到左边，根据左边、右边的水的体积相等建立方程，解方程可得的值，再求出长方体水槽的长，然后利用长方体的体积公式计算即可得； （2）利用长方体水槽的体积除以左右两边注水速度即可得． 【详解】（1）解：设右边每分钟注水升， 由题意得：， ， ， ， ， ， （升， 18升立方厘米， （厘米）， （厘米）， （立方厘米）， 60000立方厘米升， 答：水槽的容积是60升． （2）解： （分钟）， 答：注满水槽共需分钟． 28．如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【答案】(1)原正方形纸片的边长为 (2)正方形纸片剩余部分的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设原正方形纸片的边长为，根据第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，列出方程，解方程即可； （2）根据长方形的面积公式列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设原正方形纸片的边长为， 根据题意，得， 解得，， 答：原正方形纸片的边长为7cm； （2）解：， 答：正方形纸片剩余部分的面积为． 题型08 动点问题 29．数轴上有点A、B、C，分别表示数、、 ． (1)求A、B两点之间的距离； (2)若点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，问多少秒后，点P与点Q重合？ 【答案】(1)6 (2)3秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等知识． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）设秒后重合，则P表示的数为，Q表示的数为 ，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， 答：A、B两点之间的距离为6． （2）解：设秒后重合， 则：P表示的数为： ，Q表示的数为： ， 令， 解得， 答：3秒后重合． 30．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 【答案】(1)4 (2)2 (3)2或6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题， 对于（1），先求出，再根据可得答案； 对于（2），先求出点Q运动到点O时，，再根据可知点Q从点O向点A运动，进而得出答案； 对于（3），先根据，可得或，再求出t值，进而求出，即可得出答案. 【详解】（1）解：当时，，且， ∴ ∴点Q到点O的距离是4； （2）解：当点Q运动到点O时，， ∵， ∴点Q从点O向点A运动， ∴, 所以点Q到点O的距离是2； （3）解：当时， 或， 解得或， 当时，； 当时，. 所以点P到点O的距离是2或6. 31．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合；若数轴上点A、点表示的数分别为、，则A、两点之间的距离，已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)求线段的长． (2)若点到点和点的距离相等，求的值． (3)若点到和点的距离之和为？请写出所有满足条件的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】根据距离公式进行计算即可； 根据两点间的距离公式，列出方程计算即可； 根据两点间的距离公式，列出方程计算即可． 本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：由题意，得：， 解得：或． 32．如图，点是数轴的原点，点分别是数轴上的点，且点表示的数是单项式的次数，点在原点的左侧，且． (1)点表示的数是______，点表示的数是______； (2)若点在原点的左侧，且点到点，点的距离满足，求点在数轴上表示的数； (3)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．设运动的时间为秒，当为何值时，？ 【答案】(1)， (2)或 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离的计算，一元一次方程与行程问题，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据单项式的次数可得点表示的数是，根据可得，由此即可求解； （2）点的位置有两种情况：当点在点的左边，，则；当点C在点的右边，，则；由此即可求解； （3）分两种情况讨论：当点相遇前，；当点相遇后，；根据行程问题列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是单项式的次数， ∴点表示的数是， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 答案为：，6； （2）解：点的位置有两种情况： 当点在点的左边，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在数轴上表示的数是； 当点C在点的右边，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在数轴上表示的数是； 综上可知，点C在数轴上表示的数是或； （3）解：分两种情况讨论： 当点相遇前，，如图1所示， 则有：，即， 解得（秒）； 当点相遇后，，如图2所示， 则有：，即， 解得（秒）， 综上可知，当为秒或秒时，． 题型09 和差倍分问题 33．在一次读书日活动中，某班级把一批图书分给学生阅读．若每人分2本，则剩余30本；若每人分4本，则还缺10本．该班共有多少名学生？ 【答案】该班共有名学生 【分析】运用一元一次方程中分配问题的处理方法.设这个班共有名学生，得出两次分配前后的表达式，建立关于图书的数量相等方程. 【详解】解：设该班共有名学生． 由题意，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故该班共有名学生． 【点睛】 考查学生对一元一次方程的分配问题的应用题的求解方法的掌握与运用，运用一元一次方程来解，重要的是弄懂题意中相等的数量关系，列出相等数量关系的方程，最后解出答案． 34．某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 35．甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3．求甲、乙两组的人数． 【答案】甲、乙两组的人数分别为人，人． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设乙组原有x人，则甲组有人，根据题意列方程得，再解方程即可. 【详解】解：设乙组原有x人，则甲组有人， 根据题意列方程得． 整理得：， ∴， 解得：， ∴， 答：甲、乙两组的人数分别为人，人． 36．中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 【答案】大号，小号中国结各编织2个，4个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设大号中国结编织x个，根据编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设大号中国结编织x个， 根据题意，得； 解得， ； 答：大号，小号中国结各编织2个，4个 题型10 电费和水费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 38．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 39．（分段计费）目前，某市对市区居民用气户的燃气收费以户为基础、以年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含400）的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 第二阶梯 （含1200）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 (1)一户家庭人口为3人，某年用气量为 则该年此户需缴纳燃气费用 元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5 人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 【答案】(1)534 (2)该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是列方程解决问题． （1）用200乘以第一阶梯的电价即可； （2）先根据甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，判断甲、乙两家的燃气量的范围，再分别计算出燃气量即可． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：534； （2）∵， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯， 设甲户该年用气量为， 由题意得：， 解得：， ， 且， 乙户该年的用气量达到第二阶段，但未达到第三阶段， 设乙户年用气量为，则有， 解得， ∴， 答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气． 40．某物流公司一天邮寄20个包裹，若每个包裹收费以30元为标准，超出标准价格记为正数，不足标准价格记为负数，这一天的收费记录如下表： 与标准收费的差值 （单位：元） －4 －2 0 2 4 8 包裹个数 5 2 3 2 6 2 (1)该物流公司邮寄这20个包裹共收费多少元钱？ (2)该物流公司邮寄包裹按如下标准收取顾客费用（不足1千克按1千克收费）：不超过1千克收10元，超过1千克但不超过10千克，超过的部分按元／千克收费，超过10千克的部分按元／千克收费，若甲顾客邮寄的包裹重量为20千克，请用含的式子表示甲顾客邮寄包裹所需费用是多少元？ (3)在（2）的条件下，当包裹重量为14千克时，该物流公司收费40元；若乙顾客某次邮寄包裹的费用为88元，请计算乙顾客此次邮寄包裹重量是多少千克？（乙顾客邮寄包裹重量为整数千克） 【答案】(1)620 (2) (3)30 【分析】本题考查有理数加减运算及一元一次方程，根据题意准确列出算式是关键． （1）根据表格中给出的与标准收费的差值和包裹个数，列出算式计算即可； （2）根据题目所给收费标准，列出关于的代数式，注意要化简； （3）在（2）的条件下，根据当包裹重量为14千克时，该物流公司收费40元，列出方程得出的值，得到邮寄包裹的费用为88元时重量超过10千克，最后计算得出超出10千克的重量，再加上10千克最后得出结果． 【详解】（1）（元） 答：邮寄这20个包裹共收费620元． （2）甲费用：元 答：甲顾客邮寄包裹所需费用是元． （3）依题意列方程：， 解得． 10千克收费：（元） 超出10千克的重量为：（千克） 共重：（千克） 答：乙顾客此次邮寄包裹重量是30千克． 题型11 行程问题 41．小王从A城到B城，速度是40千米/小时，小兰从B城到A城，速度是30千米/小时，两人同时出发，结果在距A、B两城中点10千米处相遇，求A、B两城间的距离． 【答案】A、B两城间的距离为140千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A、B两城间的距离为x千米，利用时间=路程÷速度，结合两人相遇时时间相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A、B两城间的距离为x千米，根据题意得： ， 解得：； 答：A、B两城间的距离为140千米． 42．甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 【答案】甲离开B地小时后才能追上乙 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设甲离开B地x小时后才能追上乙，根据题意列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设甲离开B地x小时后才能追上乙，依题意，得 ， 解得 答：甲离开B地小时后才能追上乙． 43．一天，小王和小颖在一条平缓的坡路上玩，小王从坡底跑到坡顶用时5分钟，从坡顶跑到坡底用时3分钟，已知他下坡比上坡每分钟多跑80米，小颖上坡、下坡的速度跟小王相同．从某一时刻开始，小颖从坡顶往下跑，同时小王从坡底往上跑，经过多长时间后他们俩相距56米？ 【答案】经过1.7分钟或2.05分钟后他们俩相距56米 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．先设坡路的长度为米，由等量关系列一元一次方程求出坡长，从而根据速度路程时间求出小颖下坡和小王上坡速度，进而设经过分钟后他们俩相距56米，分两种情况列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设坡路的长度为米， 根据题意，得， 解得， 则小颖下坡的速度为（米/分钟）；小王上坡的速度为（米/分钟）； 设经过分钟后他们俩相距56米， ①相遇之前相距56米，则，解得； ②相遇之后相距56米，则，解得； 答：经过1.7分钟或2.05分钟后他们俩相距56米． 44．A、B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶． (1)如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)如果甲、乙同时出发，由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ 【答案】(1)经或小时后，甲、乙相距 (2)经过小时乙追上甲． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找准等量关系，列出一元一次方程． （1）设经过小时甲、乙相距，根据题意分两种情况列方程求解即可； （2）设经过y小时乙追上甲，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过小时甲、乙相距， 根据题意得：或， 解得：或， 答：经或小时后，甲、乙相距； （2）解：设经过y小时乙追上甲， 根据题意得： 解得． 答：经过小时乙追上甲． 题型12 比例分配 45．我校食堂买来900千克大米，6天吃了180千克，照这样计算，剩下的还能吃几天？（用比例的知识解答） 【答案】见解析 【分析】设剩下的还能吃x天，根据题意联立方程，求解即可． 【详解】解：设剩下的还能吃x天，由题意可得： ， ， ， 答：剩下的还能吃24天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意联立方程是解题的关键． 46．某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 【答案】 【分析】设三种型号三种洗衣机分别生产台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机1500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设三种型号三种洗衣机分别生产台， 依题意得：， 解得：， ∴， ， 答：三种型号三种洗衣机分别生产． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，此题首先根据三种洗衣机的数量比为设未知数，然后根据今年计划生产洗衣机的总台数列出方程，由此即可解决问题． 47．某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 【答案】六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册 【分析】设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册，根据他们共捐了374册，列方程求出x，即可得出这三个班级各捐多少册． 【详解】解：设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册， 依题意有：， 解得， ∴，，， 答：六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 48．六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69 【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x）， 由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1， 即（192-x）：x=2：1， 解得：x=64， ∴133-64=69（人）． 答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人． 【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 题型13 日历问题 49．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）由题意观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （2）由题意可得，，求出，根据不是整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵十字框中间的数为a， ∴这十字框中五个数的和为． （2）设十字框中间的数为a，根据题意，得：， 解得：． ∵不是整数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2023． 50．数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)29 (3)不能，理由见解析 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可； （3）设型框正中间的数字为．同（2）求解方程，结合日历表即可求解 【详解】（1）解：根据题意得． （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，； 所以这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 所以． 答：这七个数字中最大的数字是29． （3）不能． 理由：设型框正中间的数字为．由（2）可知，这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 因为，32不在月历表中， 所以型框框住的七个数字之和不能为168． 51．【综合与实践】 【知识背景】日历表中的日期数字都是按星期日，星期一，星期二，…，星期六的顺序来排列的，如图为某年1月份的日历表，在表中用一个小方框任意圈出4个阿拉伯数字（如图所示），设这4个数从小到大依次为． 【观察发现】小方框中的四个数总存在着某种数量关系． （1）若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：_______，_______，_______； （2）请用含有的式子表示； 【解决问题】利用发现的规律解决问题： （3）按照这种方法所圈出的四个数的和能否等于88？请列出一元一次方程并解答． 【答案】（1）1，7，8；（2），，；（3）可以圈出四个数的和等于88，解答见解析 【分析】本题考查了日历中的规律问题，一元一次方程的应用： （1）观察日历，即可求解； （2）观察日历可得上下相邻的两个数相差，左右相邻的两个数相差1，据此即可求解； （3）由（2）可得方程，解方程，即可求解； 掌握日历中的规律：“左右两数相差，上下相邻的两个数相差．” 是解题的关键． 【详解】解：（1）观察日历可知：，，； （2）根据日历可知：，，； （3）设最小的数为a，由（2）知，，， 则有：， 解得， 所以：，，， 按照这种方法所圈出四个数为，，，， ∴按照这种方法所圈出的四个数的和可以等于88． 52．将偶数2，4，6，8，10，……按下表方式排列．请观察表格，根据表格规律回答问题： 若记表示第m行第n个数，则表示第2行第5个数是22，记为． (1)________； (2)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于102？若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (3)用含m，n的式子表示________． 【答案】(1)46 (2)所覆盖的4个数之和不能等于102，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，用代数式表示，一元一次方程的应用， 对于（1），根据第三行的最后一个数，依次增加可得答案； 对于（2），分别设这四个数，再根据和等于102得出方程，求出解，然后判断即可； 对于（3），先表示出第m行第n个数的代数式，再整理即可． 【详解】（1）解：46． 第三行的最后一个数是36，可知第四行的第一个数是38，第五个数是46． 故答案为：46； （2）解：所覆盖的4个数之和不能等于102． 理由：设4个阴影格子中的数分别为、2n、、，（n为的整数）， 由题意可得， 解得， 因为n为的整数， 所以所覆盖的4个数之和不能等于102； （3）解：． . 故答案为：． 题型14 古代问题 53．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【答案】20天 【分析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题． 设良马天可以追上劣马，根据等量关系：劣马每天跑的里数（良马跑的天数劣马先走的天数）良马每天跑的里数良马跑的天数，列方程即可． 【详解】解：设良马天可以追上劣马，则可列方程为 ． 解得：， 答：良马20天可以追上劣马． 54．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据丢番图一生各阶段的时间占比和具体年数，找出等量关系列出方程求解． 设丢番图活了x岁，分别表示出童年、青年、结婚后到儿子出生前、儿子在世及悲痛中生活的时间，根据各阶段时间之和等于他的总年龄列方程求解即可． 【详解】解：设丢番图活了x岁，根据题意得： ， 解得：． 答：丢番图活了84岁． 55．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 【答案】天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天，根据“快马追上慢马时，两匹马所走的路程相同”列出方程求解即可．正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】解：设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天， 依题意得：， 解得：， 答：快马天可以追上慢马． 56． 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客几何？” ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭．”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等．请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐． 【答案】有60位客人用餐． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设来了位客人，则共使用个饭碗，个汤碗，个肉碗，根据共用了65个碗，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设来了位客人，则共使用个饭碗，个汤碗，个肉碗， 依题意得：， 解得：． 有60位客人用餐． 题型15 其他问题 57．小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：你的玻璃球的个数比我多，小亮说：你要是能给我你的，我就比你多330个了．小明原来有玻璃球多少个？ 【答案】小明原来有玻璃球个 【分析】本题考查利用分数的意义应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． 设小明原来有玻璃球个，则小亮的玻璃球的个数为，再由小亮说：你要是能给我你的，我就比你多330个了，这个等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小明原来有玻璃球个， 小亮的玻璃球的个数比小明多， 小亮的玻璃球的个数为； 小明把他玻璃球个数的给小亮，小亮玻璃球个数就比小明的多330个， ， 解得， 答：小明原来有玻璃球个． 58．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 59．商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如表： A型 B型 C型 满368优惠100 满168优惠68 满50优惠20 此次活动中，小尚和小东分别领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小尚最终使用了三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了________张B型“优惠券”． (2)若小东最终使用了5张A型、B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A型、B型“优惠券”各几张？ 【答案】(1)5 (2)小东使用了2张A型“优惠券”，3张B型“优惠券”． 【分析】本题主要考查了列方程解应用题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）设小尚使用了x张B型“优惠券”，根据小尚使用的“优惠券”共优惠了520元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小东使用了y张A型“优惠券”，则使用了张B型“优惠券”，根据小东使用的“优惠券”共优惠了404元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值（即使用A型“优惠券”的张数），再将其代入中，即可求出使用B型“优惠券”的张数． 【详解】（1）解：设小尚使用了x张B型“优惠券”， 根据题意得：， 解得：， ∴小尚使用了5张B型“优惠券”． 故答案为：5； （2）解：设小东使用了y张A型“优惠券”，则使用了张B型“优惠券”， 根据题意得：， 解得：， ∴（张）． 答：小东使用了2张A型“优惠券”，3张B型“优惠券”． 60．列方程解应用题： (1)一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？ (2)一架飞机在两城之间飞行，风速为千米/时．顺风飞行需要小时分，逆风飞行需要小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程． 【答案】(1)装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个； (2)无风时飞机的航速为千米/小时，两城之间的航程千米． 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设装橙子的箱子有x个，则装梨的箱子有个，根据题意列方程即可得出答案． （2）设无风时飞机的航速为x千米/小时，根据题意列方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子个，依题意有 ， 解得：， ． 答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个； （2）设无风时飞机的航速为x千米/小时． 小时分小时 根据题意，列出方程得：， 解这个方程，得． 航程为千米）． 答：无风时飞机的航速为千米/小时，两城之间的航程千米． 题型16 一元一次方程的新定义应用 61．给出定义如下：对于有理数对，我们称使等式成立的一对有理数为“有趣数对”． 如：，，所以数对，都是“有趣数对” (1)有理数对和，其中是“有趣数对”的为______； (2)若是“有趣数对”，求x的值； (3)若是“有趣数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的加减运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“有趣数对”的定义进行分析，即可作答． （2）根据“有趣数对”的定义列出方程，得，解得，即可作答． （3）根据是“有趣数对”，得出，整理，即可作答． 【详解】（1）解： ，， 有理数对不是“有趣数对”； ，， 有理数对是“有趣数对”； 故答案为：； （2）解：是“有趣数对”， ， 解得； （3）解：是“有趣数对”， ， ． 62．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，比如，，若有理数x满足，则x的值为（    ） A．4 B．5 C．21 D．5或21 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算，解题的关键是熟练掌握新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程； 根据定义运算分两种情况讨论：当 时，根据定义得：；当 时，根据定义得：；分别求解并验证是否符合条件. 【详解】解：若， ①当 时，根据定义得：， 解得：， 此时满足，故有效； ②当 时，根据定义得：， 解得：； 但不满足的条件，故舍去； 综上，的值为， 故选：B. 63．定义：是不为1的数，我们把称为的差倒数，如的差倒数，若一个数的差倒数是7，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的应用，正确列出方程是解本题的关键． 设这个数是x，根据定义称为的差倒数列方程求解即可． 【详解】解：设这个数是x，由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 64．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空：______；______． (2)若，求x的值 (3)a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)5；4 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的新定义运算及绝对值的化简，解题的关键是根据新运算的定义进行计算和化简． （1）根据新运算“※”与“◎”的定义，分别代入相应数值进行计算； （1）根据新运算“※”与“◎”的定义，分别代入相应数值，再通过移项等方法求解未知数； （3）在化简含有绝对值的式子时，根据数轴判断绝对值内式子的正负，再根据新运算的定义，去掉绝对值符号化简． 【详解】（1）解：根据，可得， 根据，可得， 故答案为：5，4； （2）解：， 则， 移项可得， 解得：； （3）由数轴可知， ，， 根据， 可得， 原式=， ． A 基础部分 1．有鸡、兔共12只，鸡和兔的腿共有28条，问鸡、兔各几只？设鸡有x只，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据等量关系，建立等式是解决本题的关键． 设鸡有x只，则兔有只，由“鸡和兔的腿共有28条”建立等式即可． 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只， ∵鸡和兔的腿共有28条， ∴． 故选：B ． 2．用一根铁丝可以围成一个长为20cm、宽为16cm的长方形．如果将它围成一个正方形，那么这个正方形的边长是（   ） A．24cm B．18cm C．12cm D．9cm 【答案】B 【分析】题目中给出同一根铁丝围成长方形和正方形，因此两者的周长相等。需先计算长方形的周长，再利用周长求正方形的边长． 【详解】解：首先计算长方形的周长 正方形的周长为，设其边长为，则： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了长方形和正方形的周长公式，解题关键是抓住等量关系，先求长方形周长，再求正方形边长． 3．某服装店为回馈新老客户，打折销售店内服饰，已知店内某款服装每件的标价为380元，若按标价的八折销售，仍可获利75元，设这款服装每件的进价为x元（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用利润标价折扣率进价，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 4．定义一种运算，规则为．若，则x的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解新定义的运算规律是解题的关键．根据新定义的运算规律列出方程并求解即可． 【详解】解：， ， 去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得， 故选：A． 5．一个停车场里停有四轮小汽车和两轮摩托车共24辆．如果这两种类型的车子共有86个轮子，那么停车场里小汽车有 辆，摩托车有 辆． 【答案】 19 5 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设停车场共有x辆小汽车，则有辆摩托车，根据题意有关系式：小汽车轮子个数摩托车轮子个数，列方程求解即可． 【详解】解：设停车场共有x辆小汽车，则有辆摩托车， 解得： （辆） 所以四轮小汽车有19辆，摩托车有5辆． 故答案为：19，5． 6．某商场打折销售一款风扇，若每台风扇按标价的六折出售将亏损10元，而按标价的九折出售将盈利95元，则每台风扇的成本价为 ． 【答案】元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． 设每台风扇的标价为元，根据题意找出等量关系，列方程求解，代入标价与成本的关系式，计算即可． 【详解】解：设每台风扇的标价为元， 根据题意可得，， 解得， ∴， ∴每台风扇的成本价为元， 故答案为：元． 7．小帅把压岁钱按定期一年存入银行．当时该银行一年期定期存款的年利率为．到期支取时，利息为19.8元，则小帅的这笔压岁钱共 元，一年后小帅实得本息和为 元． 【答案】 1000 1019.8 【分析】本题考查的是简单的一元一次方程的应用，掌握“本金利率利息”是解本题的关键. 设小帅的压岁钱为元，则，再进一步求解即可. 【详解】解：设小帅的压岁钱为元，则 小帅 解得：， ∴一年后小帅实得本息和为（元）； 故答案为：， 8．某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可知生产乙零件的工人有名， 根据题意有：． 故答案为：． 9．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 10．为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织学生去红色革命圣地﹣延安开展研学旅行，若单独租用座客车若干辆，则恰好坐满：若单独租用座客车，则可少租一辆．且余个座位，求参加此次研学旅行的总人数． 【答案】参加此次研学旅行的总人数为人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设租用座客车辆，根据总人数不变即可建立方程求解． 【详解】解：设租用座客车辆，则： ， 解得：， ∴（人）， 答：参加此次研学旅行的总人数为人． B 提高部分 11．在如图的2025年10月份的月历表中，任意框出表中同一横行上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（   ） A．9 B．24 C．30 D．36 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设框出的中间的数是x，可知这三个数的和是，分别根据各选项列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设框出的中间的数是x，则另外两个数是，，这三个数的和是， A、若，则，框出的三个数是2，3，4，故该选项不符合题意； B、若，则，框出的三个数是7，8，9，故该选项不符合题意； C、若，则，框出的三个数是9，10，11，故该选项不符合题意； D、若，则，框出的三个数是11，12，13，从图可知不能框出11，12，13，故该选项符合题意； 故选：D． 12．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有几两？（   ） A．46 B．47 C．48 D．49 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是由总数不变这一条件建立等式． 设出未知数，即设分银子的人数为x人，根据银子总数不变列方程即可求解． 【详解】解：设分银子的人数为x人， 每人分七两时，剩余四两，银子总数为两， 每人分九两时，还差八两，银子总数为两， ∵银子总量不变， ∴，解得， 将代入两中，可得两， 所以，所分的银子共有46两． 故选：A． 13．一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则这列火车的长度是（    ）米 A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系．根据行程问题利用火车的速度不变，列出一元一次方程即可求解. 【详解】解：设这列火车的长度是． 根据题意，得 解得． 所以这列火车的长度是． 故选：C． 14．如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是 ． 2 a b c 6 b … 【答案】6 【分析】本题主要考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是可得，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， 解得：， ， 解得：， ∴数据从左到右依次为2、6、b、2、6、b， 第9个数与第三个数相同，即， ∴每3个数“2、6、”为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为6． 故答案为：6． 15．已知数轴上两点A、B表示的数为和8．甲蚂蚁从A出发，以3个单位长度/秒向右运动；同时乙蚂蚁从B出发，以2个单位长度/秒向左运动．甲蚂蚁到原点后立即返回．向相反方向运动．甲乙蚂蚁速度一直不变，设从出发开始运动时间为t秒，则经过 秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 【答案】或3 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及到分类讨论思想和一元一次方程的应用．解题的关键在于根据蚂蚁的运动方向、是否到达原点、是否折返等不同情况，分析它们在不同时刻的位置关系，进而列出对应的方程求解． 本题需要分情况讨论甲乙蚂蚁的位置关系，即甲蚂蚁到底原点前和甲到达原点后，根据它们的运动速度和方向，结合相距距离列出方程求解即可． 【详解】解：情况一：甲蚂蚁到达原点前，向右出发， 此时， 甲蚂蚁从A出发，甲蚂蚁表示的数为， 乙蚂蚁从B出发，乙蚂蚁表示的数为． 因为甲乙蚂蚁相距8个单位长度， 所以．解得． 满足， 即经过秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 情况二：甲蚂蚁到达原点时，甲乙蚂蚁各运动了1秒， 此时甲蚂蚁表示的数为0，乙蚂蚁表示的数为6， 甲蚂蚁到达原点后，开始向左出发， 此时， 甲蚂蚁表示的数为，乙蚂蚁表示的数为． 因为甲乙蚂蚁相距8个单位长度， 所以．解得． 即经过3秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 故答案为：或3． 16．A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 (1)小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ (2)一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 【答案】(1)A玩具城 (2)125元 【分析】本题主要考查最优化问题，关键是明确两家玩具城的优惠政策； （1）根据两家玩具城的优惠政策，分别计算所需钱数；然后比较两家玩具城所需钱数，即可得出结论． （2）一个一百多的玩具熊，在玩具城只能优惠25元，设这个玩具熊的标价是元，根据促销后的优惠价也相同列方程解答即可． 【详解】（1）解：玩具城： （元） 玩具城： （组） （元） （元） 答：在玩具城买便宜． （2）解：设这个玩具熊的标价是元． 答：这个玩具熊的标价是125元． 17．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【答案】(1)1班购票需要704元 (2)2班有46人 (3)当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有人，列方程，求解即可得到答案； （3）设有人，由题意得，得，当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 【详解】（1）解：（元， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； （3）解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． C 培优部分 18．如图，在长方形中，，点在上，且．动点以1个单位长度/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间秒． 在点、在运动过程中，阴影部分（即点、、、构成的图形）面积为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，点P在上运动时，，当点P在上运动时，，据此分别建立方程求解即可． 【详解】解：当点P在上运动时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在上运动时，， ∴， 解得（此时点P不在上，舍去）； ∴的值为， 故选：B． 19．年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行．本次比赛共有支球队参赛，分为两个阶段．第一阶段采用单场循环赛，支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军．算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛 场． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是组合问题和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段单场循环赛的比赛场次，再计算第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次． 【详解】解：设总比赛场次为场 第一阶段:单场循环赛中，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次． （场） 第二阶段:淘汰赛中，每场比赛淘汰支球队，要决出冠军需淘汰支球队，因此比赛场次为淘汰球队数， （场） 总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次， 解得： 答：本次“苏超”共要比赛场． 故答案为：． 20．【阅读理解】点A，B在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为AB，在数轴上，A，B两点之间的距离． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和-2两点之间的距离是___________；数轴上表示和3的两点之间的距离表示为___________； （2）可表示数轴上与数___________的距离；若，则___________； （3）若表示一个有理数，则的最小值是___________； （4）是所有符合成立条件的整数，则这些整数的和为___________； 【拓展探究】（5）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点对应的数为-10，点对应的数为90．若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】（1）5；；（2）；或；（3）6；（4）；（5）经过12秒或28秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式． （）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （）根据绝对值意义即可求解； （3）分为：当时，当时，当时，三种情况分别去绝对值或解方程即可得到答案； （4）表示x与数的距离和x与数的距离之和，，在数轴上和的距离为，据此进行解答即可； （5）分相遇前和相遇后两种情况，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3和两点之间的距离是； 数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为； （2）可表示数轴上x与数的距离； ∵， ∴， 解得：或； （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值； （4）∵表示上x与数的距离和x与数的距离之和，，在数轴上和的距离为， ∴x在和之间包括和， ∵x为整数， ∴x为或或或或或， 则， 故答案为： （5）由题意得，， 设经过t秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度，根据题意得： 当两只蚂蚁相遇前，， 解得：； 当两只蚂蚁相遇后，， 解得：， 综上所述，经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $