2.5.1 直线与圆的位置关系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系及弦长计算，通过类比两条直线位置关系的方程研究方法导入，搭建旧知与新知的学习支架，引导学生从定量计算角度探究位置关系。 其亮点在于以数形结合思想为主线，通过几何法（距离与半径比较）和代数法（判别式）分析位置关系（如例1用两种方法求参数范围），培养数学思维与数学语言表达能力。课堂小结系统梳理知识清单与方法，助力学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 学习目标 1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用(重点). 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题(难点). 刘雨萌 导语 教材91页 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 刘雨萌 新知探究 一、直线与圆的位置关系 问题2 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 问题1 直线和圆有几种位置关系？ 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 2 1 0 提示　转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 刘雨萌 知识梳理 直线l：Ax+By+C=0与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d= ____ ____ ____ 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ _____ _____ _____ 2 1 0 d<r d=r d>r Δ>0 Δ=0 Δ<0 刘雨萌 例1 已知直线方程mx-y-m-1=0，圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； 典例分析 方法一　将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 则Δ=4m(3m+4). 当Δ>0，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. 方法二　已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4， 设圆心为C(2，1)，半径r=2. 圆心C(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d== . 当d<2，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. 刘雨萌 6 例1 已知直线方程mx-y-m-1=0，圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线： (2)只有一个公共点； 典例分析 (3)没有公共点. 方法一　当Δ=0，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. 方法二　当d=2，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. 方法一　当Δ<0，即-<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法二　当d>2，即-<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 刘雨萌 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 反思与感悟 刘雨萌 跟踪训练1 　(1)已知圆C： x2+y2-4x=0，l是过点P(3，0)的直线，则 A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 跟踪训练 √ (2)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离，则实数m的取值范围是 A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) √ 由题意得，圆心到直线的距离d=>， ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 将点P(3，0)代入圆C的方程，得32+02-4×3=9-12=-3<0， ∴点P(3，0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交. 刘雨萌 典例分析 例2 (课本91页例1)　已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 方法一　联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 把x1=2，x2=1分别代入方程①，得y1=0，y2=3. 所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3). 因此|AB|==. 刘雨萌 例2 (课本91页例1)　已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 方法二　圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5，因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为 圆心C(0，1)到直线l的距离d==<. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 如图，由垂径定理， 得|AB|=2=. 典例分析 刘雨萌 知识梳理 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有+d2=r2，即|AB|=2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|==|x1-x2|= |y1-y2|(直线l的斜率k存在且k≠0). 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练2 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直. (1)求直线l的方程； 由已知得解得 ∴两直线交点为(2，1). 设直线l的斜率为kl， ∵直线l与x+y-2=0垂直，∴kl=1， ∵直线l过点(2，1)， ∴直线l的方程为y-1=x-2，即x-y-1=0. (2)若圆C的圆心坐标为(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程. 设圆的半径为r，依题意，得圆心(3，0)到直线x-y-1=0的距离为=， 则由垂径定理得r2=()2+()2=4， ∴r=2， ∴圆的标准方程为(x-3)2+y2=4. 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)弦长公式. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况. 刘雨萌 随堂演练 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 √ 2.已知直线l：kx-y+-k=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2，点(m，n)是直线l上的任意一点，则m2+n2的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为　 　.  2 4.若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围 是　　　　　　　　　.  ∪ 刘雨萌 课后作业 步步高练透167页 作业25 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $