2.5.1 直线与圆的位置关系（教学设计）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年道县优质教学资源评选活动 ---高二选择性必修一第二章第五课《直线与圆的位置关系》教学设计 （注：标题采用四号宋体，正文采用五号宋体，1.5 倍行距。模板可根据需求稍微调整） 课程基本信息 主备人 郑佳红 课型 新授课 学科 数学 年级 高二 学段 高中 版本章节 人教A版选择性必修一第二章第五节 教学目标 1.根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，切实让学生感受到由图形位置到代数法的逻辑推理. 2.通过对直线与圆的位置关系的探究，使学生对于类比思想，数形结合、分类讨论、特殊到一般的思想有更深层次的理解，使得学生在高中抽象问题情境下学会提出问题、分析问题、以及解决问题. 3.通过引导归纳与推理直线与圆的位置关系，合作交流积极讨论，使学生的抽象思维能力与归纳总结能力、合作交流能力得到进一步的加强，能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 教学重难点 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 学情分析 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. 教学准备 黑板、希沃白板、Geogebra作图软件、导学案、点名器 教学过程 教学环节 主要内容 教师活动 学生活动 环节1 情景导入 探索新知 如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，1.地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 2．观察下列三幅图片，在日出的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系？ 学生回答： 直线与圆的位置关系有3种： 相离、相切、相交. 【设计意图】联系现实生活情境，通过对直线与圆的直观感知，为接下来的学习做铺垫. 学生观察日出过程，在欣赏美景的过程中，感受到数学的奇思妙用，带着愉快的心情进入到本节课的学习当中. 环节2 温故知新 铺设台阶 教师提问： 教师使用希沃白板的形状功能，画出圆形，移动直线的位置，让学生观察. 1.对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？ 2.除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？ 圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r. 学生回答： 学生小组合作，思考后回答 【判定方法1】 通过直线与圆的公共点个数来判断： 直线与圆相交时有两个公共点；相切时有一个公共点； 相离时没有公共点. 【判定方法2】 比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系： 当d<r时，直线与圆相交； 当d=r时，直线与圆相切； 当d>r时，直线与圆相离. 【归纳总结】 判定直线与圆的位置关系的方法有两种： (1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； (2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r 的关系来判断． 这两种判定方法都是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线和圆的方程，已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系呢？下面，我们将通过具体例子来进行研究. 解：(1)圆心,, 所以圆心C到直线l的距离. 因为，所以直线l与圆C相交. (2)方程，配方得，圆心,. 所以圆心C到直线l的距离. 因为，所以直线l与圆C相切. (3)方程，配方得，圆心,. 所以圆心C到直线l的距离. 因为，所以直线l与圆C相离. 【设计意图】学生自主思考后，希沃白板展示答案，教师进行讲解和批改.回顾初中判断直线与圆的位置关系的方法，从几何直观入手、通过层层问题逐步探究数学问题，培养深入思考，发展数学逻辑推理的素养. 环节3 探索问题 发现新知 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系．前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系． 下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系． 我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 如何将直线与圆的方程和直线与圆的位置关系两者联系起来？ 用方程研究直线与圆的位置关系，你能尝试解决下面的问题吗？ 研究一：判断直线与圆的位置关系 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系. 思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解； 思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系. 【代数法】联立直线与圆的方程，得 消去y，得,. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 【几何法】圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 【方法小结】 变式训练1： 已知直线和圆心为C的圆,当直线与圆相交、相切、相离时，求a的值. 解析：【代数法】联立 　 【几何法】圆的方程可化为， 因此圆心的坐标为，半径为， 圆心到直线l的距离. 【设计意图】利用Geogebra软件，展示a的取值，从直线与圆的位置关系体现数学直观.解题从特殊到一般，逐步思考深入探究直线与圆的位置关系，学会用几何法和代数法解题，发展数形结合、类比的数学思想方法，培养数学直观想象、逻辑推理的素养. 研究二：求直线与圆相交的弦长 例1(续) 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 【分析】思路1：由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 思路2：依据圆心到直线的距离与半径，利用勾股定理求得弦长． 【代数法】联立直线与圆的方程，得 消去，得，解得，． 所以，直线与圆相交，有两个公共点． 把，分别代入方程①，得，． 所以，直线与圆的两个交点是，． 因此． 【几何法】圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．所以直线l与圆C相交，有两个公共点．如图2.5-1，由垂径定理，得． 环节4 归纳探索 形成概念 教师提问： 把以上的方法一般化，即：在平面直角坐标系中，直线与圆,如何根据方程来判断直线与圆的位置关系？ 【代数法】在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 【几何法】我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系若相交，则可利用勾股定理求得弦长． 适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算． 追问：以上两种方法你更喜欢哪一种？说出你的理由. 总结：联立方程组用判别式法的代数特征更明显，更具有一般性，这在以后研究直线与圆锥曲线的位置关系时仍然适用.d与r的大小关系法更关注几何图形的结构特征，注重“形”的运用，解析几何是研究几何图形的，若能充分挖掘形的特征，往往会有意外的惊喜. 变式训练2（例1改编）： 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l和圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 【解析】联立直线与圆的方程，得 消去y，得到 ，直线与圆相交； 由韦达定理得，， 弦长的推广公式 【设计意图】以小组合作形式进行探究，发展学生独立思考、自主学习、合作交流.通过学生之间合作交流归纳判断直线与圆的位置关系以及求弦长的方法.从具体的问题中推广弦长公式，弦长公式的本质是两点间距离公式的变形. 变式训练3.已知过点M的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程. 【解析】圆C的方程可化为， 因此圆心C的坐标为，半径为， 因为直线l被圆所截得的弦长为， 所以弦心距为， 即圆心到所求直线l的距离为 因为直线l过点M,所求直线l的斜率不存在时，不成立； 显然直线l的斜率存在， 所以设直线方程为，即. 圆心到直线的距离为，即， 整理得，解得. 所以所求直线l有两条，即或. 【设计意图】此题为弦长问题的变式题.在直线方程、圆的方程、弦长这三个元素中，知二可求一，对于变式题，要结合本节课所学，融会贯通，以不变应万变.对于直线方程，要考虑斜率是否存在. 环节5 全课总结 布置作业 (1) 课堂总结 (2) 完成教材：教科书第95页 习题第2,3,4题. 板书设计 2.5.1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 联立方程组解的个数 d与r数量关系 二、弦长公式 三、典例分析 四、变式训练 教学反思 通过本节课的教学，发现学生在理解利用方程判别直线与圆的位置关系时存在一定困难.因此，教学设计中增加更多实例演练，并采用逐步引导的方式，帮助学生更好地掌握这一知识点.同时，在课堂上引入更多的互动环节，提升学生的参与度和学习兴趣. 学生对几何与代数的结合任然有所困惑，在课程中增加更多对比和联系的教学内容，帮助学生更清晰地理解几何法和代数法的异同，使用更多现实生活中的实例，使数学问题更加具体和生动. — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $