专题08 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题08.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，，∴， 解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平分BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平分BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平分BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平分BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：设与交于点，作于点， 点A的坐标为，点C的坐标为，，， 四边形是矩形，， ，由翻折变换的性质可知，， ，，在中，设，则， 由勾股定理得，解得，即，， 在中，，， 由得，， 在中，由勾股定理得， ，点的坐标为，故答案为：． 例2（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】3 【详解】解：长方形纸片沿折叠，∴， ∵在长方形纸片中，，，∴， ∴，∴，设，∴， ∴，解得：，∴；故答案为：3． 例3（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】∵四边形是长方形，，， 由折叠的性质得：，，， 设，则，在中，，即，解得：， 则，则．故选B． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）如图，将矩形纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】D 【详解】四边形是矩形，， 设，则，由折叠，得， 在中，，， 在中，，即，解得，故选：D． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，折叠矩形，使点C落在对角线上的点E处，若，，则线段的长为 ． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， 在中， ，，∴， ∵折叠，∴，，∴， 设，则，在中，， ∴，解得：，∴．故答案为：5． 例3（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，，∵四边形是长方形，∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形，∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形，∴，由翻折的性质，可得，，， ∴，∵，，，∴， ∴，设，则，， 在中，，∴，∴，故答案为：或． 例4（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【答案】 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形，∴，． 由折叠的性质可知，∴． 在和中，， ∴，∴，∴， 设，则，∴． 根据勾股定理，得，即，解得， ∴，∴． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：为中点，，由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，，，解得：，故答案为：． 例2（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵在矩形纸片中，，，设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中，即解得． ∴的面积为：故答案为． 例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 【答案】 【详解】解：设，则， 又 ∵在中，即，解得．故答案为：． 例4（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵，∴，在中，， 即，解得：； （2）解：①∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵长方形纸片的边，∴，∴，∴； ②∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴，，，∴， 在中，，∴． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【详解】解：设，根据折叠的性质得，∴， ∵根据勾股定理，得，∴，解得， ∴，∴阴影部分的面积．故选：D． 例2（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】在中，，，，， 由翻折的性质知，，．故选：B． 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折，，，， ，，，，，， ，， ，， ，，，，故答案为：． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（25-26八年级上·广东·单元测试）如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 【答案】C 【详解】解：，，，，． 由折叠的性质可得，． 设，则，．在中，， ，解得，即，，．故选C． 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴， ∵D为中点，∴，∴， ∵，即，∴，即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 例3（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，过作于，∵，，， ∴由勾股定理得，由折叠可得，与全等，    ∵的面积是面积的一半，， ∴的面积是面积的一半，，∴F是的中点，∴ 又∵是的中点，∴，即是的中点， 又∵，∴，∴， 又∵，∴中，，故选：A． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，由折叠的性质可得，是的中点，，， 在中，，解得．即．故选：C． 例2（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【详解】解：在中，，，∴； ①当时，如图，由折叠得：， ∴，设，则， 在中，，∴，解得，，即：； ②当时，如图，由折叠得，， ∵，∴，又，∴， 设，则，∴, ∵，∴，解得：， 经检验，是原方程的解，∴；综上，的长为或． 例3（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，是的中点，∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴，设，则， 在中，由勾股定理得，∴，解得，∴． 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则．根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形，∴．∴． 在和中∵，∴．∴． 在中，即．解得：．∴．故选：A． 2．（2025·河南南阳·统考一模）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，∵矩形沿对角线翻折，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在中，，∴，解得：， ∴，∴点的坐标为．故选：A． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【详解】∵，∴，∴根据勾股定理得， 根据折叠可得：，∴， 设，则， 在中：，即，解得：，答案为：B． 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴，∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得故选：A． 5．（24-25·江苏·九年级专题练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC，∠B＝∠C＝90° 由折叠的性质可得：AB＝＝CD＝＝2， ∠B＝∠＝90°＝∠C＝∠，BE＝，CE＝， ∠BEA=∠=，∠CED=∠= ∴∠AED=+===90 ∴是直角三角形∴AD2＝AE2+DE2， ∵点恰好为的中点，∴＝2，∴BE＝2CE， ∴BC＝AD＝3EC， ∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，∴(3CE)2= AB2+BE2+DC2+CE2 即9CE2＝8+4CE2+8+CE2，∴CE＝2，∴＝BE＝4，BC＝AD＝6，＝2，∴＝2， ∵∠＝∠DC'F＝90°，∠AF＝∠DFC'，A＝D，∴AFDF（AAS）， ∴F＝F＝1，∴EF＝C'E+F＝3，故选：A． 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，由折叠可知：， 在中，，故选：B． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则：，连接，，    在中，，在中，， ∵折叠，，， 即，解得，即，故选：B． 8．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，． 根据折叠的性质，得 ，， ，． 在中，由勾股定理，得．∴． 在中，由勾股定理，得．∴．解得．故选B． 9．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接，，， 在中，，，，， ，设，则， 在中，，即：，解得：，．故选：A． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【详解】解：在中，， 根据折叠的性质可知：．∴．故选：A． 11．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵沿翻折，使点A与点B重合，∴，∴， 设，则，， 在中，∵，∴，解得，∴，故选：D． 12．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：点为的中点，，由折叠的性质可得：， 设，则，由勾股定理可得：， ，解得：，，故选：D． 13．（24-25八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 【答案】A 【详解】解：连接，根据折叠的性质得，， 又，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 14．（2025广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故C正确．故选：C． 15．（2024·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ，，， ，是等腰直角三角形，，， 在中，由勾股定理得：，， 在中，由勾股定理得：，， ，故答案为：． 16．（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，则的面积＝ ． 【答案】78 【详解】解：长方形中，∴，∴， 由折叠的性质知，∴，∴， 设，则，在中，， 即，解得：，则， 则．故答案为：78． 17．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，则在矩形中，根据翻折的性质和是的中点，可得： ，，，， 在与中， ∴；∴， ∵，，∴， ∴∴， 在中，故答案为：． 18．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形，∴， 由折叠的性质得：， 在和中，，∴ ∴，∴，设，则 ∴， 在中，，即解得：．故答案为：． 19．（24-25·重庆八年级课时练习）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】2或 【详解】解：当为直角三角形时，可有： ①当时，如图1， 此时，由折叠性质可知，， ∵，∴，∴； ②当时，如图2， 由折叠性质可知，，，， ∴，即M、E、C三点共线，设，则， 在中，，∴， 在中，有，即， 解得 ，即， ③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意． 综上所述，满足条件的BN的长为2或．故答案为：2或． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将四方形沿折叠得到四边形，点的对应点恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【答案】或 【详解】解：如图1，点在边上，连接交于点，作于点，则， 四边形是边长为的正方形， ，， 四边形是长方形，， 由折叠得点与点关于直线对称，垂直平分，，， ，，， ，且，，解得：， ； 如图，点在边的延长线上，连接交的延长线于点，作于点， ，四边形为矩形，， 垂直平分，，，， ， ，，， ，且，， 解得： ，综上所述，线段的长度为或．故答案为：或． 21．（24-25·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于，    将沿直线翻折，，，， ，，， ，，， ，， ， ，，，， ，故答案为：． 22．（24-25·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 【答案】． 【详解】如图所示，∵，∴BC==8， ∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y， 根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：． 23．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：连接，是的中线，且沿着直线翻折， ， 是等腰三角形， ， ，为等边三角形， ， 在中，，． 24．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设，∵，，∴，， ∵，∴，解得：，∴，故答案为： 25．（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    【答案】 【详解】解：，，，    由翻折可知，，，，， ，，，， 设点到的距离为，则有，，故答案为：． 26．（24-25·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时. 【详解】解：（1）由题意可得,∴ 设,则在中, ∴重叠的面积 （2）由题意可得∴    在中∵∴∴ 在中解得： 此时 ∴当时，点恰好落在边上 这时. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平分BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平分BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平分BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平分BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ． 例2（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 例3（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）如图，将矩形纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，折叠矩形，使点C落在对角线上的点E处，若，，则线段的长为 ． 例3（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 例4（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 例2（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 例4（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 例2（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（25-26八年级上·广东·单元测试）如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 例3（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 例2（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 例3（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·统考一模）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25·江苏·九年级专题练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 8．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 9．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 11．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（    ） A．2 B． C．5 D． 12．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 13．（24-25八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 14．（2025广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（    ） A． B．3 C． D．4 15．（2024·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 16．（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，则的面积＝ ． 17．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______． 18．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 19．（24-25·重庆八年级课时练习）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将四方形沿折叠得到四边形，点的对应点恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 21．（24-25·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．    22．（24-25·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 23．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 24．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 25．（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    26．（24-25·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $