专题09 赵爽弦图模型与勾股树模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题09.赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 10 14 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△； S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（24-25八年级下·青海西宁·期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形围成的一个小正方形和一个大正方形．若大正方形的面积是49，小正方形的面积是4．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．(1)用含有的式子表示图2中正方形的边长；(2)当时，小正方形的面积是多少？ 例3（24-25八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 例4（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    例5（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D．(1)求证：．(2)若，求AE． 例6（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． (1)如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； (2)如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 模型2.勾股树模型 例1（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，先以的三边为边向外作正方形，再以三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为，，，相应的三个正方形的面积分别为，，，则下列关系式中正确的是（     ） A． B． C． D． 例2（24-25·成都·八年级专题练习）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25·八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 例4（24-25重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（    ） A．12 B．32 C．64 D．128 1．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 3．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，则图中的阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（    ） A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积 C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积 7．（2025·广东清远·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 8．（24-25广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（   ） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2 9．（24-25八年级下·上海·期中）有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 10．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 11．（24-25浙江·八年级专题练习）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 12．（24-25成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________． 13．（24-25八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是 ． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．(1)求证：(2)若AC＝13，DE＝5，求DB的长． 16．（24-25八年级上·浙江·专题练习）在中，，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过作于，延长交于点． (1)如图（1）若，，试通过计算证明：四边形的面积等于正方形的面积． (2)请利用图（2）证明直角三角形勾股定理： 17．（24-25四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）． （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ）． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ），请说明理由． （3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（ ），请说明理由． 18．（24-25广东八年级课时练习）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形． （1）试画出2次操作后的图形．（2）如果原来直角三角形斜边长为，写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和．（3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？（4）图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？ 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：(1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：(2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题：(3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．请你解答这三个问题． 20．（24-25山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理； S大正方形=_____ ，还可以表示为_____ ，所以可得到_______ =______ ， 化简后最终得到____ ． (2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． (3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09.赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 10 14 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24，， 小正方形的面积是4，，， 图2中最大的正方形的面积；故选：D． （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形，故答案为：31． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△； S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（24-25八年级下·青海西宁·期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形围成的一个小正方形和一个大正方形．若大正方形的面积是49，小正方形的面积是4．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵大正方形的面积是49，小正方形的面积是4．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为，∴，， ∴，故A、C选项正确，不符合题意； ∵，∴，选项B正确，不符合题意； ∵，∴， ∴，选项D错误，符合题意．故选：D． 例2（24-25八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案． (1)用含有的式子表示图2中正方形的边长；(2)当时，小正方形的面积是多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，， 图2中正方形的边长是； （2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边， 由勾股定理可知，当，时，，小正方形的面积等于5． 例3（24-25八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得，，，， ，， 即，解得，的值是，故选：B． 例4（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【详解】解：正方形的边长为10，“赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积小正方形面积．故答案为：． 例5（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D． (1)求证：．(2)若，求AE． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵，，∴，∴， 又∵，且，∴在和中，， ∴(AAS)，∴； （2）由（1）可得，∴，， ∵AE是BC边上的中线，∴，∴，在中，∴． 例6（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． (1)如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； (2)如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （2）（1）中的结论不成立，线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）如图：线段的数量关系是，证明如下： ∵，∴，即， ∵直线l，则，∴， ∵，则，∴， ∵在（2）的条件下，则，在和中， ∴，∴，在中，由勾股定理得：， ∵，∴． 模型2.勾股树模型 例1（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，先以的三边为边向外作正方形，再以三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为，，，相应的三个正方形的面积分别为，，，则下列关系式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由勾股定理可得，，，， 即 无法得出和 故A、D错误； ，，，， ，故B正确，C错误，故选：B 例2（24-25·成都·八年级专题练习）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，，． 观察，发现规律：，，，，， ．当时，．故选：C． 例3（24-25·八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024，故选A． 例4（24-25重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（    ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形， 图（3）比图（2）多出8个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32个正方形， ； 照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C． 1．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴，∴，即④错误； 综上，正确的有①②③．故选B． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，，，故， ，所以，故选：B 3．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，则图中的阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵直角三角形的长直角边为，短直角边为， ∴，，∴，∴， ∴图中的阴影部分的周长为，故选：B． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是，故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4， ∴，， ∴， ，∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴ ∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4， ∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（    ） A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积 C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E， ∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN， 又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN 同理可证△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴， ∴ ， ∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D 7．（2025·广东清远·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 【答案】C 【详解】解：一个直角三角形的面积为．故选：C． 8．（24-25广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（   ） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2 【答案】C 【详解】解：正方形⑤的面积是，各三角形都是等腰直角三角形， 正方形④的面积为，同理，正方形③的面积是， 正方形②的面积是，正方形①的面积是．故选：C． 9．（24-25八年级下·上海·期中）有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 【答案】3，2 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，小正方形的边长为， 小正方形面积是1，，， 大正方形面积是13，即，，， ，，， ，故答案为：3，2． 10．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 【答案】12 【详解】解：如图，连接，由题意可知：，，，． 在直角和中，，即， ，．故答案为：12 11．（24-25浙江·八年级专题练习）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，∴设，则 根据勾股定理得， ∵ ∴ ∴ ∴图①中正方形面积和为： 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 故答案为： 12．（24-25成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________． 【答案】16 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为48，∴AB2=48，设AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x， Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16， ∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD， ∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG， ∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF）•FG=EF•FG=S正方形EHGF， ∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8−x）=2x2-16x+48=-16+48=32，则S△CFP-S△AEP的值是16；故答案为：16． 13．（24-25八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，则 ，，，，， ，，即正方形的面积为12， 正方形的边长为，故答案为：． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵点、、分别是、、的中点，，， ∵和是等边三角形，∴，，∴， 又∵， ∴，∴， ∴，，， ，∴，故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．(1)求证：(2)若AC＝13，DE＝5，求DB的长． 【答案】(1)见解析(2)7 【详解】（1）证明：∵AC⊥CE，∠ABC=∠CDE=90°， ∴∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°∴∠DCE=∠A． ∴在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE (AAS)． （2）∵△ABC≌△CDE，DE＝5，AC＝13∴BC＝DE＝5，CE＝13 ∴在中，∴． 16．（24-25八年级上·浙江·专题练习）在中，，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过作于，延长交于点． (1)如图（1）若，，试通过计算证明：四边形的面积等于正方形的面积． (2)请利用图（2）证明直角三角形勾股定理： 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，， ∴四边形的面积等于正方形的面积． （2）解：∵四边形的面积等于正方形的面积．∴， 同理可得：，∴． 17．（24-25四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）． （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ）． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ），请说明理由． （3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（ ），请说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3），理由见解析 ． 【详解】解：（1）由题意可得：，，，， ，故答案为：； （2）由题意得：，，，， 故答案为：； （3）过D作，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故， 又∵BC=2AD，∴， ， ∴，∵，，，， ∴，故答案为：． 18．（24-25广东八年级课时练习）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形． （1）试画出2次操作后的图形．（2）如果原来直角三角形斜边长为，写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和．（3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？（4）图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【详解】（1）2次操作后的图形如图所示． （2）原来直角三角形的斜边为1cm,则最下面的正方形的面积为cm2, 根据勾股定理可得 则原图①中三个正方形的面积为2cm2， 根据勾股定理可得每操作一次，增加的正方形的面积刚好等于第一个正方形的面积，即1cm2；故2次操作后所有正方形的面积和为2+2=4(cm2）2次操作后的图形中所有正方形的面积和为． （3）如果一直画下去，则看起来像一棵树； （4）如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，“毕达哥拉斯树”将是轴对称图形． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：(1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：(2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题：(3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．请你解答这三个问题． 【答案】(1)6(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：设，则，∵，∴， ∵，∴在中，，即，解得（负值舍去）， ∴，，∴． （2）证明：∵，∴，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴． （3）证明：设，正方形的边长为b，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ，∵平分，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴．∴． 20．（24-25山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理； S大正方形=_____ ，还可以表示为_____ ，所以可得到_______ =______ ， 化简后最终得到____ ． (2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． (3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②；；；；；(2)(3)7.5 【详解】（1）解：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ②图2：大正方形的面积为， 还可以表示为：四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 所以可得到，化简后最终得到：； 故答案为：；；；；； （2）解：设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为， 由圆的面积公式得：，，， 由勾股定理得：，则，即，故答案为：； （3）解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，由（2）可知，， 则阴影部分的面积为，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $